2021年九年级数学中考一轮复习与相似三角形有关的综合性解答题专项训练（含答案）.pdf

2021年九年级数学中考一轮复习与相似三角形有关的综合性解答题专项训练(含答案)1.如图，ABC和BEC均为等腰直角三角形，且NACB=/BEC=90,A C=4&,点P为线段B E延长线上一点，连 接C P以C P为直角边向下作等腰直角(?,线 段BE与CQ相交于点F(2)连接B D,请你判断4 c与8。有什么位置关系？并说明理由;(3)设PBQ的面积为S,求S与x之间的函数关系式.2.如图，4OE由4ABC绕点A按逆时针方向旋转90得到，且点B的对应点。恰好落在BC的延长线上，AD,EC相交于点P.(1)求NBOE的度数；(2)尸是EC延长线上的点，且/C D F=N D 4c.判 断。尸和P F的数量关系，并证明；求证:EP=PCPF CFD3.如图，在矩形ABC。中，AB=20,点E是BC边上的一点，将ABE沿着4 E折叠，点B刚好落在CQ边上点G处；点F在。G上，将AQF沿着A F折叠，点。刚好落在AG上点”处，此时 SAGFH：SAFH=2：3,(1)求证：M EG S IXGFH、(2)求 的 长；(3)求 tanNGFH 的值.C GD4.如 图1,矩形4 B C。中，点E为A B边上的动点(不与A,B重合)，把 A D E沿O E翻折，点A的对应点为4,延长E4交直线D C于点F,再把N 8 E F折叠，使点8的对应点B i落在E F上，折痕E H交直线B C于点H.(1)求证：A AIDESA BIEH；(2)如 图2,直线N是矩形A B C D的对称轴，若点4恰好落在直线MN上，试判断 O E F的形状，并说明理由；(3)如图3,在(2)的条件下，点G为O E尸内一点，且N D G F=1 5 0 ,试探究。G,E G,F G的数量关系.5.如 图1所示，在四边形A 8 C C中，点O,E,F,G分别是4 8,B C,C D,A。的中点,连接。E,E F,FG,GO,GE.(1)证明：四边形0 E F G是平行四边形；(2)将 0 G E绕 点。顺时针旋转得到 0 M N,如图2所示，连接G M,E N.若O E=、/5，0 G=,求 典 的 值；试在四边形A B C Q中添加一个条件，使G M,E N的长在旋转过程中始终相等.(不要求证明)6.在四边形ABC。中，点E为AB边上的一点，点F为对角线8。上的一点，且EFJ_A8.(1)若四边形ABC。为正方形.如 图1,请直接写出A E与。F的 数 量 关 系；将EB尸绕 点B逆时针旋转到图2所示的位置，连接A E,DF,猜想AE与DF的数量关系并说明理由；(2)如 图3,若四边形A8CD为矩形，B C=m A B,其它条件都不变，将ZE B F绕 点 B顺时针旋转a(0 a 0),平行四边形A 1 81 C1 D 1 的 面 积 为(W 0),试求/A 1 E 1 B 1+/A iD iB i的度数.1 0.如图，在ABC 中，A B=A C-0 cm,8O_LAC 于点。，B O=8CT;2.点 M 从点 4 出发，沿 AC的方向匀速运动，速度为2cw/s；同时直线P Q 由点8 出发，沿 BA的方向匀速运动，速度为cmls,运动过程中始终保持PQ/A C,直线PQ 交 AB于点P、交 BC于点Q、交 8。于点F.连接P M,设运动时间为r 秒(0V t，求 了 与 f 之间的函数关系式；(3)是否存在某一时刻/，使 S 四 边 形PQCM=SAABC?若存在，求出f 的值；若不存在，说明理由；(4)连接P C,是 否 存 在 某 一 时 刻 使 点 M 在线段PC 的垂直平分线上？若存在，求出此时r 的值；若不存在，说明理由.C11.(1)模型探究：如 图1,D、E、尸分别为ABC三边8C、AB.A C上的点，且C=ZEDF=a.BOE与CF相似吗？请说明理由；(2)模型应用：A8C为等边三角形，其边长为8,E为AB边上一点，F为射线A C上一点，将沿E F翻折，使A点落在射线CB上的点。处，且30=2.如 图2,当点。在线段BC上时，求 岖 的 值；AF 如 图3,当点。落在线段CB的延长线上时，求BCE与 的 周 长 之 比.图1图2图312.如图，在矩形A8CD中，点P是BC边上任意一点(点尸不与5、C重合)，连接AP,作 PQ_LAP,交 C 于点 Q,若 AB=6,BC=8.(1)试证明：AABPs pcQ；(2)当3 P为多少时，CQ最长，最长是多少？(3)试探究，是否存在一点P,使APQ是等腰直角三角形?1 3.如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，A点的坐标为(3,0),以0 A为边作等边三角形OA B,点B在第一象限，过点B作A 8的垂线交x轴于点C.动点P从O点出发沿着O C向点C运动，动 点Q从B点出发沿着区4向点A运动，P,。两点同时出发，速度均为1个单位/秒.当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止.设运动时间为，秒.(1)求线段B C的长;(2)过 点。作x轴垂线，垂足为H,问r为何值时，以P、Q、H为顶点的三角形与A B C相似；(3)连接P Q交线段。8于点E,过点E作x轴的平行线交线段B C于点F.设线段E F的长为m,求m与f之间的函数关系式，并直接写出自变量1的取值范围.1 4.课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题.如 图 1,A B C 中，若 A B=1 2,AC=8,求 8 C边上的中线AO 的取值范围.小颖在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2,延长AO 到点E,使。E=A D,连结8 E.请根据小颖的方法思考：(1)由已知和作图能得到 A OC 也：以 依据是；A.SSS B.SAS C.AAS D.HL(2)由“三角形的三边关系”可求得A。的 取 值 范 围 是.解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.完成上题之后，小颖善于探究，她又提出了如下的问题，请你解答.(3)在 A B C 中，D 是 B C 上一点,连结4 0,E是 A。上一点，连结B E并延长交边4 C于点F.如 图 3,若 4。是 A B C 的中线，且 4 尸=凡 求证：AC=BE.如 图 4,若 E是 BF的中点，求证：AF-CD=AC-BD1 5.如图，平面直角坐标系中，菱形OABC的边0A 在 x 轴正半轴上，04=10,cos/COA=提.一个动点尸从点0 出发，以每秒1 个单位长度的速度沿线段0A 方向运动，过点P 作 P Q L O A,交折线段0C-CB于点Q,以 PQ 为边向右作正方形PQ W N,点 N 在射线 0 A 上，当尸点到达A 点时，运动结束.设点P 的运动时间为r 秒 G 0）.（1）C 点 的 坐 标 为,当/=时 N 点与A 点重合；（2）在整个运动过程中，设正方形PQMN与菱形0A 8C的重合部分面积为S,直接写出S 与 f 之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；（3）如图2,在运动过程中，过 点。和 点B的直线将正方形PQMN分成了两部分，请问是否存在某一时刻，使得被分成的两部分中有一部分的面积是菱形面积的工？若存在,5请求出对应的r 的值；若不存在，请说明理由.1 6.如图，四边形ABCQ是矩形.(1)如 图1,E、F分别是A。、C O上的点，B F C E,垂足为G,连接A G.求证：碧山；BF BC 若G为C E的中点，求证：s i n N A G B=理；BF(2)如图2,将矩形A B C。沿MN折叠，点A落在点R处，点B落在C D边的点S处,连接8s交MN于点P,。是RS的中点.若A 8=2,B C=3,直接写出PS+PQ的最小值为.1 7.如图，四边形A 8C。是正方形，点E、F分别是B C、C。上的点，且B E=C F,连接A E.B F 交于点P.(1)如图，判断4 E和B尸之间的数量关系和位置关系，并证明；(2)如图，连接A F,点”是A F中点，若 B E=2,C E=3,求线段P M的长度;(3)如图，作C Q J _ B F于点Q,若04BSA10 E C,求证：点E是8 C中点.图1图2图3参考答案：1.(1)证明：:B C E和(?)均为等腰直角三角形,：.ZECB=ZPCD=45,NCEB=NCPD=90,:.BCEsXDCP,.PC C E-=-;C D C B(2)解：AC/BD,理由：V ZPCE+ZECD=ZBCD+ZECD=45,：/PCE=/BCD,又P C _ E C,D C-C B?:Z C ESRDCB,；NCBD=NCEP=90,V ZACB=90,NACB=NCBD,：.AC/BD,(3)解：如图所示：作P M _ L B O于M,；A C=4、巧，Z VI B C和 B E C均为等腰直角三角形,；.B E=C E=4,：/PCE/DCB,.毁=里 即 一 =工，C B B D 啦 B D：.BD=y/2x,；NPBM=NCBD-NCBP=45 ,BP=BE+PE=4+x,；.PM=sin45。-(4+x)=&+x),2：./PBD 的面积 S BDPM=X y/2xX4+X-=?+2x.2 2 2 22.解：(1).AOE由AABC绕点A按逆时针方向旋转90得至lj,：.AB=AD,NBAD=90,/ABC/ADE,在 RtZvW。中，ZB=ZADB=45,.NADE=/8=45,:.NBDE=NADB+NADE=90.(2)DF=PF.证明：由旋转的性质可知，AC=AE,NC4E=90,在 RtZXACE 中，ZACE=ZAEC=45,：ZCDFZCAD,NACE=/4OB=45,，ZADB+ZCDF=ZACE+ZCAD,即 NFPO=NFDP,：.DF=PF.证明：过点P作尸”石。交。产于点儿:./H PF=/D EP,=-,P F H F*.x.,P F H F.E P P C -=-.P F C F3.(1)证明：四边形A8CQ是矩形，N B=C=90,由折叠对称知：ZAGE=ZB=90,ZAHF=ZD=90,A ZGHF=ZC=9 0 ,Z G C+ZW G F=90,/GFH+/HGF=90,:/EGC=/GFH,:/EGCS/GFH.(2)解：TS&GFH：SAFH=2：3,且 G F H和A F等高，：.GH：AH=2：3,将a A B E沿着AE折叠，点8刚好落在CO边上点G处，：.AG=AB=GH+AH=20f:GH=8,A H=1 2,：.AD=AH=2.(3 )解：在 R tZ A OG 中，DG=qA G 2 -A D 2=J2 0 2 _ 2 2 =1 6，由折叠的对称性可设DF=FH=x,则G F=1 6-x,V G H2+/7 F2=G F2,A82+X2=(1 6 -x)2,解得：x=6,:.HF=6,在 R tZ XG F”中，tan N G H/二 型 卫 .H F 6 34.解：(1)证明：由折叠的性质可知：ZDAE=ZDAE=90,NEBH=NEBiH=90,ZAED=ZAiED,NBEH=NBiEH,：.ZDEA+ZHEB90.又；NHEBi+NEHBi=90,:.NDEAi=NEHBi,AAiDEABiE/；(2)结论：尸是等边三角形；理由如下：.直线MN是矩形ABCD的对称轴，.点 A1 是 EF 的 中 点,B P AE=AF,在 4 1 O E和4。/中DAi=DA.ZDA1E=ZDA1F=90,AE=A1F/.AiDEAAiDF(S4S),：.DE=DF,ZFDAZEDA,又；AADE出 AAiDE,ZADF=90.：.NADE=NEDAi=NFDAi=30,:.NEDF=60,.：/是等边三角形；(3)DG,E G,尸G的数量关系是0G2+G/2=GE2,理由如下：由(2)可 知 尸 是 等 边 三 角 形；将OGE顺时针旋转6 0 到DG尸位置,如 解 图(1),A GF=GE,DG=DG,ZGDG=60,.QGG是等边三角形，：.GG=DG,NOGG=60,V Z)GF=150,.NGGF=90,r.GG2+GF2=GF2,：.DG2+GF2G E1.5.解：(1)如 图 1,连接AC,.点 0、E、F、G 分别是 AB、BC、CD、A 的中点,J.OE/AC.OE=AC,GF/AC.GF=AC,2 2AOE/GF,OE=GF,四边形OEFG是平行四边形；(2)；OGE绕点。顺时针旋转得到OMN,：.OG=OM,OE=ON,ZGOM=ZEON,.O G =0M 丽 丽：./OGM/OEN,:典=能=百G M 0G添加AC=2O,如图2,连接AC、BD,.点。、E、F、G 分别是 A3、BC、CD、A。的中点,:.OG=EF=LBD、OE=GF=AC,2 2：AC=BD,：.OG=OE,/OGE绕点O顺时针旋转得到OMMA OG=OM.OE=ON,NGOM=NEON,：.OG=OE、OM=ON,在AO G M和OEN中，OG=OEJ ZGOM=ZEON,OM=ON:.AOGM=AOEN(S45),：.GM=EN.6.解：(1)四边形ABC。为正方形，：.A B D 为等腰直角三角形，：.BD=y/2AB,：EFAB,.BEF为等腰直角三角形，BF=MBE,：.BD-8尸=&48-近BE,B|J DF=皿AE；故答案为DF=AE；D F=A E.理由如下：EBF绕点B 逆时针旋转到图2所示的位置,，NABE=/DBF,整=&，粤=&，BE AD B F _ B D*B E A B ABE/XDBF,A E B E 72,即 DF=y2AE；(2)如图3,:四边形ABC。为矩形，.AD=BC=/nAB,BD=A B2+A D l+m2 A B,：EFAB,J.EF/AD,B E _ B F*B A B D.B F _ B D _ I-xB E B A Um，:EB尸绕点8 顺时针旋转a(0 a =/X 5X 5 2多仔2噜小.根据二次函数的性质可知，当t至 时，y的值最小.2此时，y 最小=旨而8.解：V ZACP=ZB,/A=N A,.ACPs/MBC,.A C A B -，A P A CJ.AA P A B；(2)取 4 P 的中点G,连接M G,设 A G=x,则尸G=x,B G=3-x,：何是尸C 的中点，：.MG/AC,：.NBGM=NA,；NACP=NPBM,：.AAPCSAGMB,.A P A C,，GF B G,._ 3 V 5 x-,2：AB=3,；.AP=3-代,：.PB=娓;过C作CHLAB于H,延长AB到E,使BE=BP,设 BPx.；NABC=45,NA=60,：.C H=M，HE=M+X,；CE2=()2+(y/3+x)2,PB=BE,PM=CM,：.BM/CE,：.ZPMB=ZPCE=60：.PB=yf7-1.9.解：（1）平行四边形有一个内角是120度,：.a=60,.1 1 2 a；sin a sin600 3 故答案为：挛：31 s i(2)=L,sina S2理由：如 图 1,设矩形的长和宽分别为，4变形后的平行四边形的高为近S2=ah,sina=，b.S 1 一 ab 一 b.1 _ b.S I _ 1 .S2 ah h sinCL h S?sina*Si=abf(3)U：AB1=AE*AD,C.AB1=AE*AD,A,即而MlAV ZB1A1E1=ZD1A1B1,/.ABiAiEi,ZAIBIEI=ZAIDIBI,9：AD/BC,：.ZAIEIBI=ZCIBIEI,:.ZAiEiBi+ZAiDiBi=ZCiBiEi+ZAiBiEi=ZA1B1C1,由(2)知焉号可知s i n N：BQ=A=2,*sin /A i B i C i-，28 1 cl=3 0 ,1 0.解：(1)假设四边形尸2 c M 是平行四边形，则P M Q C,：.AP：AB=AM：AC,：A B=A C,：.AP=AM,即 1 0-r=2 f,解得：t=学，,当，=时，四边形P Q C M 是平行四边形；(2)V PQ/AC,.P B Q 为等腰三角形，PQ=PB=t,.B F B P 日 n B F t 二 ,t x|J-JB D B A 8 1 0解得：54：.FD=BD-BF=S-t,5又 V MC=AC-AM=1 0-2 6；.)，=1 iPQ+MOFD(r+1 0-2 r)(8 -f)=r2-8 f+4 0；2 2 5 5(3)不存在；SA/iB C=y A C-B D =X 1 0 X8=4 0,2当S四 边 形PQCM=SAABC时，y=-8 1+4 0=4 0,解得：f=0,或f=2 0,都不合题意，因此不存在;(4)假设存在某一时刻f,使得M在线段P C的垂直平分线上，则M P=M C,过M作例交A B于，如图所示：V Z A=Z A,NAHM=NADB=90,/XAHMADB,.HM AH AM*BD =AD =AB又：A )=N 10 2-8 2=6,.HM AH 2t 二-f8 6 10*-HM tr 5 5：.HP=0-t-t=o-t,5 5在 R t Z X HM P 中，加产二(t)2+(10-t)2=-44/+100,5 5 5又：M C 2=(10-2r)2=100-40/+4?,:M h=M d,A?-44r+100=100-40/+4产，5解 得t,9，f2=0（舍去），1 17.，=患5时，点M在线段PC的垂直平分线上.11.解：(1)丛 BDEs 丛 CFD,理由：NB=NC=NEDF=a,在BOE 中，NB+/BDE+NBED=180,：.ZBDE+ZBED=180Q-ZB=180-a,NBDE+NEDF+N CDF=180,；.NBDE+NCDF=180-ZEDF=180-a,:.NBED=NCDF,:NB=NC,.BDEsCFD；(2)设 AE=x,AF=y,ABC是等边三角形，.N 4=/8=/C=6 0 ,AB=BC=AC=8,由折叠知，DE=AE=x,DF=AF=y,ZEDF=ZA=60,在BOE 中，ZB+ZBDE+ZBED 180,:.NBDE+NBED=18O-ZB=I2O,/4BDE+4EDF+NCDF=180,：.ZBDE+ZCDF=S0，-NE。尸=120,NBED=NCDF,：/B=/C=6 0 ,:.丛 BDEs 丛 CFD,.BD _ BE _ D E*C F =C D =F D：BE=AB-AE=S-x,C F=A C-AF=S-y,CD=BC-BD=6,.2 _ 8-x _x,8-y 6 y，.(2y=x(8-y)16x=y(8-x).x J O 二 5 J G I 节，.,AE 5 AF 7设 AE=x,AF=y,ABC是等边三角形，.NA=NABC=NACB=60,AB=BC=AC=S,由折叠知，OE=AE=x,DF=AFy,N E D F=/A=60,在BDE 中，NA8C+NBOE+N8EO=180,：.ZBDE+ZBEDSO-ZABC=120,N BDE+N EDF+N CDF=180,：.ZBDE+ZCDF=SO-NEO/=120,：.ZBED=ZCDF,V ZABC=ZACB=60,：.ZDBE=ZDCF=120,BDEs/CFD,BD J E JE*CF CD FD9：BE=AB-AE=S-xf C F=A F-A C=y-Sf CD=BC+BD=Of 2 _8-x 工“二 10 Ff2y=x(y-8)(10 x=y(8-x).x _ 1-.y 3:/XBDEsACFD,:.A B D E与A C FD 的周长之比为理=三=工.DF y 31 2.解：JPQVAP,.NAPB+/QPC=90,而 NQPC+NPQC=90,NAPB=APQC,；NABP=NPCQ=90,丛 ABPs 丛 PCQ；(2),:丛A B P s/pcQ,.C Q _ P C nnC Q 8-xBP AB x 6则 CQ=-+x (%-4)2监 反，6 3 6 3 3故当x=4 时，C。的最大值为卷，即 B P为 4 时，CQ最长，最长是5；(3)APQ是等腰直角三角形，则 以=PQ,而 AABPS/XPCQ,则ZVIBP丝PCQ(AAS),：.AB=PC=6,贝 U BP=8-6=2,即 B P=2时，APQ是等腰直角三角形.13.(1)解：如 图 1,.AOB为等边三角形，.NBAC=NAOB=60.BC.LAB,：.ZABC90,ZACB=30,NOBC=30NACB=NOBC,：.CO=OB=AB=OA3,：.AC=6,.-.B C=A C=35/3：2(2)如图2,过 点。作 x 轴垂线，垂足为H,则 Q，=AQsin60=返 容 电.3 3 Tli 我(3-t)需要分类讨论：当PHQS2A B C时，型=世，即=2 _=-=-2-AB BC 3 3 3解得，f=0.同理，当Q/ZPs/VlBC时，f=l.综上所述，=0 或 f=l；(3)解：如 图 1,过点。作 QN0 5 交元轴于点N.：.ZQNA=ZBOA=60=/Q A N,:.QN=QAAQN为等边三角形，：.NQ=NA=AQ=3 7,：.ON=3-(3-r)=3：.PN=t+t=2t,：.OE/QN.：./P O E P N Q.0E _ P Q而,，.0E 1-=，3-t 2：EFx 轴，NBFE=/B C O=NFBE=30：.EF=BE,1 3：.m=BE=OB-O E=j U (0f3).2 214.(1)解：在AOC 和MB 中，AD=DE ZADC=ZEDB,CD=BD:.ADCaAEDB(SAS),故选：B-,解：VAADCAEDB,：.BE=AC,在ABE 中，AB-BEAEAB+BE,：.42AD20,：.2ADIO,故答案为：24。10；(3)证明：如图，延长A。到点G,使。G=A O,连接8G.*：AD=DGf/ADC=/GDB,CD=DB,：./ADC/GDB(SAS),：.AC=BG,NDAC=NG,：.BG/AC,：.ZFAE=ZG,9AF=EF,：.AFAE=NAEF,:/B E G=/G,：.BE=BG,：.AC=BE.证明：延长AQ到兄 使得H=A E,连接3”.图4：AE=EH,/AEF=/BEH,EF=EB,.AEF注AHEB(SAS),：.BH=AF,/H=NEAF,：.BH/AC,.BD=BHCD AC.BD AFCD AC：.AFCD=ACBD.15.解：（1）:菱形 0A8C 中，O A=10,，0 C=10,3V cos ZCOA=,5.点C的坐标为：（6,8）,:动 点P从点。出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段O A方向运动,VcosZCOA=,OP=t,5 0Q54:Q P=，V O A=10,N点与A点重合，4*/+，=10,3.307.“=毁 时，N点与A点重合；7 0 t 4乎，S喈t 2，乎 t 4 6,5=等2年1；聋，.（y o6 t 8,8VtW10,S=104-8/；（3）S菱 形=8 0,直线OB过 原 点（0,0）,B点、（16,8）,故直线。8解析式为y=1,直线0 8与PQ、MN分别交于E、尸点，如图：当 0当 6 8,EP=-，EQ=8-I，FN=y+4 FM=4-若S四边形EPNFS菱形则/（t+4A 8=：L 6-=（舍），若S四 边 形 两 寺 菱 形，则（12-t）8=16,n=8；8/W 10,不存在符合条件的t值.16.（1）证明：如 图1中，.四边形ABC。是矩形，：.ZC D E /BCF=9QQ,：BF1CE,；.NBGC=90 ,ZBCG+ZFBC=NBCG+NECD=90,：./FBC=/ECD,:Z B C sA E C D,.C E =C De*BF BC,证明：如 图1中，连接BE,GD.VBFCE,EG=CG,3E垂直平分线段EC,；BE=CB,NEBG=NCBG,:DG=CG,:./CDG=/GCD,V ZADG+ZCDG=90,ZBCG+ZECD=90,:.NADG=/BCG,9：AD=BC9：.AADGABCG(SAS),：NDAG=NCBG,:NDAG=NEBG,：.ZAEB=ZAGB,：.sin N A G sin ZAEB=AB=AB=C D =C EBE-BC-BC -BF(2)如图2中，取A8的中点丁，连接尸7,CP.,四边形MNSR与 四 边 形 关 于MN对称，T是4 5中点，。是SR中点,：.PT=PQ,MN垂直平分线段BS,:.BP=PS,V ZBC5=90,：.PC=PS=PB,：.PQ+PS=PT+PC,当 T,P,C 共线时，PQ+PS的值最小，最 小 值=,5,2 +BT 2=+2=3 10,PQ+PS的最小值为W&故答案为1 7.解：(1)AE=BF,AEVBF,证明：,四边形ABC。是正方形，：.AB=BC,NABC=NBCD=90,:BE=CF,:.ABE94BCF(SAS),J.AEBF,NBAE=NCBF,：ZABP+ZCBF=9O二 ZBAE+ZABP=90：.ZAPB=90,：.AEBF；(2)I四边形ABC。是正方形，：BC=DC=AD,由(1)知，AE=BF,;BE=2,CE=3,BE=CF,：.DF=DC-CF=BC-BE=CE=3,AD=BC=BE+CE=2+3=5,在 Rt/ADF 中，由勾股定理得，AF=yjAD?+DF 2=yj52+2=J34,在 RtZXAPF 中，ZAPF=90,点 M 是 AF 中点，1 V34(3)VCQLBF,：.ZBQCZBCF=90Q,又 NCBQ=NFBC,：.4CBQ 丛 FBC,.CQ BQ .-,CF BC：AB=BC,BE=CF,.CQ BQ ,BE AB,.,QABYQEC,.1 BQ 二.A B,CQ CE.-C-Q-=-B-Q-,CE AB.-C-Q z?C Q ,BE C E：.BE=CE,.点E 是 BC中点