2021年全国普通高等学校招生统一考试北京卷数学试卷.pdf
绝密启用前2021年全国普通高等学校招生统一考试 北京卷数学试卷注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上本试卷共5页，1 5 0 分，考试时长1 2 0 分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答题卡。第 一 部 分（选择题共4 0 分）一、选择题共10小题，每小题4 分，共 40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1 .已知集合 A =；d I v x v l ,B =x|0 x 2 ,贝 IAU 8=（）A.x|0 x 1 B.x|-l x 2 C.x|l x 2 D.x|0 x /7 0)过点4(0,-2),以四个顶点围成的四边形面积为4 6.a b(1)求椭圆E 的标准方程；(2)过点2(0,-3)的直线/斜率为&,交椭圆E 于不同的两点B,C,直线A8,A C 交 y=-3 于点M、N,直线AC交 y=-3 于点N,若1PM+|/W|4 1 5,求人的取值范围.21.定义R.数列 对：对实数p,满足：q+pN O,a2+p=0；V e N,a4,a4 n；q“+“e +an+p,am+an+p+.(1)对于前4 项 2,-2,0,1的数列，可 以 是&数 列吗？说明理由；(2)若 q 是凡数列，求知的值；(3)是否存在p,使得存在R.数列 4 ,对 VeN，,5.2 孔？若存在，求出所有这样的p；若不存在，说明理由.参考答案1.答案：B解析：由集合的基本定义可得AUB=x|-l x 2 ,故选B.2.答案：D解析：法一:z =2.(l+i)=1 +.1-i(l-i)(l+i)法二：设 Z=Q+方 i,则(a+b)+(6-a)i=2,联立 “十?,解.得 a=Z?=l,故 z=l+i.选 D.h-a=O3.答案：A解析：前推后，一定成立；后推前，若 f(x)在 0,1上的最大值为了，找反例，开口向上对称轴为X=J 的二次函数.选A.44.答案：A解析：画正方体，删点，剩下的4 个点就是三棱锥的顶点，如图:c 1 1 1 I、3+5/3S寿=3 x x 1 x 1 +x(l+1)=-表 2 4 25.答案：B解析：双曲线离心率，e=2 9故c=2a,b=x3 a,将点(a,6)代入双曲线方程，得a4 3=4 =1,故a=1,h=3,故双曲线方程为d-上=1 .a 3a-a-36.答案：C解析：由题，幺=%，则仇=6 4,故 =192+64=128.4 2 27.答案：D解析：函数/(x)定义域为R,K /(-x)=f(x),偶函数：/(x)=cos x-(2cos2 x-1)=-2 cos2 x+cos x+1 =-2 cos x+2,故最大值为2.选D.8 88.答案：B200解析：按相似，小圆锥的底面半径，=g-=5 0,故%、锥=gx7tx5O2xl5O=5 O 3 F,积水厚度V 50?-7Th=-=-r=12.5,属于中雨，选 B.S大 圆 100-9.答案：C解析：数形结合，机为直线在y 轴上的截距，m=1寸一f=土出，选 C.10.答案：C解析：要想最大，前面的项应该越小越好，3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14前.12项和为102超过了1 0 0,故”的最大值为 11.如 3.4,5,6,7,8,9,10,11,12,25.选 C.11.答案：-4解析：由二项式展开公式可得C1(x3).(一=-4.12.答案：5；4石解析：抛 物 线 的 定 义=6-1=5；故 M(5,2石)，N(5,0),5晒=1(5-l)x 2 6 =4石.13.答案：0；3解析：由可得。=(2,1),b=(2,-1)c=(0,1),故(a+b)=(4,0)(0,1)=0；。用=4 1=3.14.答案:-解析：点尸、。都在单位圆上，=.f0=+K e z 2 2 12 I 12 J15.答案：解析：零点问题.转化成两个函数的交点来分析.令 f(x)=|lg x|-丘一2=0,可转化成两个函数x=|lgx|,必=丘+2 的交点问题.对于，当4=0时，|lg x|=2,两个交点，正确；对于，存在k 0,使 m lg x|与%=入+2 相切，正确;对于，若 0 时，过点(0,2)存在函数g(x)=lgx(xl)的切线，此时共有两个交点，当直线斜率稍微小于相切时的斜率时，就会有3 个交点，故正确.填.h c16.答案：(1)由正弦定理-=-，W sinC=2sinBcosB=sin2 B,sin B sin Cjr故 C=28(舍)或 C+28=7 t,故 B=A=-；6(2)由(I)知，c=6,故不能选.选，设 BC=AC=2 x,则 AB=2x/Ir,故周长为(4+2括)x =4+2 6,解得 x =1,即 B C =A C=2,AB=2A/3，设5 c中点为。，则在 A B O中,由余弦定理,c o s 3 =A B?+BD-A。)2 x A B x B D1 +1 2-A D2 _ V 34 6-2解得A O =.选，设 3 C =A C=2 x,贝i jA 8 =2 G x,故 S.KBC=g *(2x)x (2x)x s i n 120 =6f=，6解得 x =,H P BC=A C =17 3 )AB=3 2设BC中点为 ,则在中，由余弦定理，c AB2+B D2-A D2c o s B=-2 x A B x B D9 +图一心3 s多解得如冬.解析：17.答案：(1)证明：因为ABCZ5-ABCQ为正方体，所以A。始G，C D g D、.又因为C )o平面A B C R，CQ u平面A B R ,所以C D H平面A B D 因为平面 C D E F C I平面 A B Q=E F ,且 C )u平面 C D E F,所以 CD/EF,故 C.DJ/EF.所 以 四 边 形 为 矩 形，又点E为A0中点，故CL =AE=gA =g4,故点尸为4G的中点.(2)因为ABCD-ABCR为正方体，故D 4,DC,Q两两垂直，以。为坐标原点，分别以Z M,D C,。所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系,令正方体ABCD-A8CQI的棱长为2,设 啊 =/1 4瓦(0 4 2 4 1).则 C(0,2,0),(1,0,2),尸(1,2,2),M(2,2 4 2).C E =(l,-2,2),C F =(1,0,2),CW=(2,2/1-2,2).设平面C E F的法向量为阳=(与 加zj ,则 产.二 ,即 八 一2%+210,C F n =0 1占+2 4=0故 y =0,令 Z =-1 ,%=2 ,可取 勺 =(2,0,-1).设平面CM F的法向量为2 =(,丫2/2)，贝/西 =(),即(2 占+(2 2)%+2 4=0、C F n=O，X2+2Z2=0令 z?=-l，贝!|%=2，可取=(2,占,一)设二面角M-B-石为乐 且夕为锐角，故COSe=|cOSq,2|=同 同_ 4+_旦+(-1“2 2+匕)+(-1)2 3解得4 =w 0,l ,故 刊=L2 AB12解析：1 8.答案：(1)(i )共测两轮，第一轮1 0 0 人 分 1 0 组，故测了 1 0 次，第二轮，对两名患者所在组每个人都进行检测一次，共 1 0 次，故总检测次数为1 0 +1 0 =2 0 次；(i i)由(i )知，两名感染患者在同一组时，共需测2 0 次.若两名患者不在一组，需要测1 0 +1 0+1 0 =3 0 次.故 X 可取值为：2 0,3 0.贝 l P(X=2 0)=,，P(X=3 0)=l-=,1 1 1 1 1 1则 X 的分布列为：”1 “1 0 2 0 +3 0 0 3 2 0故 E(X)=2 0 x +3 0 x =-=.X2 03 0P1T T1 0T T1 1 1 1 1 1 1 1(2)E(X)E(F).解析：1 9.答案：(1)当 a =0 时，/。)=与=,/0,x ：时，/(x)j5联立 解得 1 或左一 1,-3 0 k 3 0 k2 5%1 +%-=-5-k2；-+-4=-54Z2-+-4 ，X 1-X）=-5-4-2-+-4-y+%=M 玉 +X2)-6 =-5J4,y%=(例-3)(点2 -3)二%与丙 一3%(为 +2)+9=?：直线AB的方程为y+2=x,令 y=-3,则*=-国X+2，故M-3 L(X+2)直线AC的方程为y+2=x,令 y=-3,则、=-故 N-2%+2 IX2%+2|PM|+1 PN|=一y+2|卜 岛 二_%(%+2)+9(y+2)_.他-1)+4 ,的 T)(y+2),(+2)y +2(y+必)+42kxxx2-(Xj+x2),f+z 5+y?)+4c,25 30k2k x-5)+4 5左 2+436-203 48,5 r+4 5k2+4=5k|1 5,即|Z 区3,解得一3父 3.综上，k 的取值范围为-3,T)U(1,3.解析:2L答 案:(1)不可以是国数列，当机=1时，%q+q+2,q+q+3 ,故不可以是此数列;(2)若/是凡)数列，2+0=0,故 里=。，令小=1,4 金 2,24+1,故q=0或 4=-g(舍),则 4=0,令 m=1,n=2 9 得到%0,1,令 m=n=2,得到,。，1，又%，故=一，a4=-p +l f%-P+-P +2,a5 e-p,-p +l ,故=-p +l,4 c_p+l,_p+2，a6 G-p,-p+l ,故4=_ p +l，%p+L-p+2,%-+1,-p+2,又 q%,故 O7=-p+,8=_p+2.a()p+2,p+3 ta)_p+l,_p+2,故%=_p+2,4o 一 +2,-+3,4()一 p+l,-p +2,故 4o=-p +2,4 1 +2,p+3,q?e-+2,-p+3,又 故 4 i=_ p +2,2=一 +3,故 q=%=%=-p，%=%4 =%=-P+1，仆=%=%=%i=一+2,al2=-p +3.假设a”=-p +k(4k 4Z+3,Z E N,N*),之后数学归纳法可证出.联立-p+2 0解得p=2.解析:
