2021年全国统一高考数学试卷（文科）（学生版+解析版）（甲卷）（学生版+解析版）.pdf

2021年全国统一高考数学试卷（文科）（甲卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5 分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.(5 分)设 集 合 =1,3,5,7,9,N=xlxrl,则 MA N=()A.7,9B.5,7,9C.3,5,7,9 D.1,3,5,7,9)2.（5分）为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图:A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间3.(5 分)已 知(1-/)2 z=3+2 i,则2=(3 3A.-B.7 +宁4.(5分)下列函数中是增函数的为()2A.f(x)=-x B.f(x)=(-)”3 3C.-2 D.-2 iC.f(x)=/D.f(x)=V%5.（5分）点）到 双 曲 线x2/一y力2=1的一条渐近线的距离为（）6.（5分）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满 足L=5+lgV.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为)(V l O 1.2 59)A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.67.（5 分）在一个正方体中，过顶点A 的三条棱的中点分别为E,F,G.该正方体截去三棱锥4 -E F G 后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（）A.1 B.V 2 C.V 5 D.39.（5 分）记 S为等比数列 a 的前项和.若S 2=4,S 4=6,则 S6=（）A.7 B.8 C.9 D.1010.（5 分）将 3个 1 和 2个 0 随机排成一行，则 2个 0 不相邻的概率为（）A.0.3B.0.5 C.0.6D.0.811.(5 分)若(0,),ta n 2 a=2-stna9 则 ta n a =()V15A.15V 5 V 5B.C.5 3V15D.312.(5 分)设是定义域为R的奇函数，且/（1+x）=f (-x).若/(-=|则/5(-)=3()A.-|B.-41 C.1一3 35D.-3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共2（）分。13.（5 分）若向量Z,b 满足向=3,a-b5,a*b=1,则|b|=.14.（5 分）已知一个圆锥的底面半径为6,其体积为30 m 则该圆锥的侧面积为T C15.（5 分）已知函数/（x）=2 c o s（u）x+（p）的部分图像如图所示，则/（）=.X V16.（5 分）已知四，尸 2 为椭圆C：7 +-=1 的两个焦点，P,。为 C上关于坐标原点对1 6 4称的两点，且|尸。|=尸1 尸 2|,则四边形P F 1 Q F 2 的 面 积 为.三、解答题：共 7 0 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60分。1 7.（1 2 分）甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了 2 0 0 件产品，产品的质量情况统计如下表：一级品二级品合计甲机床1 5 05 02 0 0乙机床1 2 08 02 0 0合计2 7 01 3 04 0 0（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？（2）能否有9 9%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？nad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P（启2）0.0 5 00.0 1 00.0 0 1k3.8 4 16.6 3 51 0.8 2 81 8.（1 2 分）记 S”为数列 的前 项和，已知a 2=3 a i,且数列 医 是等差数列，证明：“”是等差数列.1 9.（1 2 分）已知直三棱柱A 8 C-4 B 1 C 1 中，侧 面 A A 1 B 1 8 为正方形，A B=BC=2,E,F分别为AC和 C C i 的中点，BF L AB.（1）求三棱锥F -E B C的体积；（2）己知。为棱43上的点，证明：BF L D E.DB ic2 0.(1 2 分)设函数/(x)cx+ax-?)lnx+,其中 a 0.(1)讨论/(x)的单调性：(2)若y=f(x)的图像与x轴没有公共点，求的取值范围.2 1.(1 2分)抛 物 线C的顶点为坐标原点。，焦点在x轴上，直线/：x=l交C于P,。两点，且O P L O Q.已知点M(2,0),且OM与/相切.(1)求C,OM的方程；(2)设A i,A 2,A 3是C上的三个点，直线4 A 2,A 1 A 3均与OM相切.判断直线A M3与OM的位置关系，并说明理由.(二)选考题：共 10分。请考生在第22、2 3 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修4-4：坐标系与参数方程(10分)2 2.(1 0分)在直角坐标系X。)，中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为p=2 V 2 cos 6.(1)将C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点A的直角坐标为(1,0),M为C上的动点，点 尸 满 足/=注 薪，写 出P的轨迹C l的参数方程，并判断C与。是否有公共点.选修4-5：不等式选讲(10分)2 3.已知函数/(x)=|x-2|,g(x)=|2 x 4-3|-|2 r -1|.(1)画出y=/(x)和y=g (x)的图像；(2)若(x+“)2 g (x),求a的取值范围.2021年全国统一高考数学试卷（文科）（甲卷）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5 分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.（5 分）设集合 M=1,3,5,7,9,N=x2xlf 则 MG N=（）A.7,9 B.5,7,9 C.3,5,7,9 D.1,3,5,7,9 7【解答】解：因为 N=M 2x7=x|x/,M=1,3,5,7,9）,所以 M C N=5,7,9）.故选：B.2.（5 分）为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：，,频率赢0 20 -0.14-0.10-0.0 4-0 0 2 -1-1-10 I vJ-1-1-1-2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5 8.5 9.5 10.5 11.5 12.5 13.5 乂5 收入/万元根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（）A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至&5 万元之间【解答】解：对于A,该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率为（0.0 2+0.0 4）X I=0.0 6=6%,故选项4 正确；对于5,该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率为（0.0 4+0.0 2X 3）X l=0.1=1 0%,故选项B正确；对 于 C,估计该地农户家庭年收入的平均值为3X0.0 2+4X0.0 4+5X0.1 +6X0.14+7X0.2+8X 0.2+9 X 0.1 +10 X 0.1+11 X 0.0 4+12 X 0.0 2+13 X 0.0 2+14 X 0.0 2=7.68 6.5 万元，故选项 C错误；对于D,家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的频率为(0.1+0.14+0.2+0.2)X 1=0.640.5,故估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间，故选项D正确.故选：C.3.(5 分)已 知(1 -z)2z=3+2i,则 2=()3 3 3 3A.-1 2 B.-1 +2，C.)+，D.-2 一，【解答】解：因 为(1-z)2z=3+2i,n r r l3+2i 3+2i (3+2i)i -2+3i -3.所以故选：B.4.(5分)下列函数中是增函数的为()2A.f(x)-x B.f(JC)=(-)*C.f(x)x1 D.f(x)=yfx【解答】解：由一次函数性质可知/(x)=-x 在 R上是减函数，不符合题意；由指数函数性质可知f(x)=(|)x在 R上是减函数，不符合题意；由二次函数的性质可知/(X)=f在 R上不单调，不符合题意；根据箱函数性质可知/(x)=Vt R上单调递增，符合题意.故选：D.5.(5分)点(3,0)到双曲线一X 2 一V二2=1 的一条渐近线的距离为()16 99 8 6 4A.一 B.C.-D.一5 5 5 5X2 V2【解答】解：由题意可知，双曲线的渐近线方程为五-，=0,即 3x4y=0,结合对称性，不妨考虑点(3,0)到直线3 x-4 y=0 的距离，则 点(3,0)到双曲线的一条渐近线的距离d =唐&=3故 选:A.6.(5分)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满 足L=5+lgV.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为()(VlO 1.259)A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6【解答】解：在 L=5+/gV 中，L=4.9,所以 4.9=5+/gV,即/gV=-0.1,解得 V=10 0 1=$=昌 4 0.8,10u l llV10 L259所以其视力的小数记录法的数据约为0.8.故选：C.7.(5 分)在一个正方体中，过顶点A 的三条棱的中点分别为E,F,G.该正方体截去三棱锥A-E F G 后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是()【解答】解：由题意，作出正方体，截去三棱锥A-E F G,根据正视图,可得A-E F G 在正方体左侧面，如图，根据三视图的投影，可得相应的侧视图是D图形,故选：D.8.(5 分)在 ABC 中，已知 8=120,AC=V19,A B=2,则 8 C=()A.1 B.V2 C.V5 D.3【解答】解：设角4,B,C 所对的边分别为小b,c,结合余弦定理，可 得 19=a2+4f X aX 2X c o s l 20 ,即 J+2 a T 5=0,解得 a=3（a=-5 舍去），所以8 c=3.故选：D.9.（5 分）记 S为等比数列。”的前项和.若52=4,5 4=6,则 S6=（）A.7 B.8 C.9 D.10【解答】解：.金为等比数列“”的前项和，52=4,54=6,由等比数列的性质，可知S 2,S4-S2,S 6-S 4成等比数列，：,4,2,S 6-6成等比数列,/.22=4 （56-6）,解得 56=7.故选：A.10.（5 分）将 3 个 1 和 2 个 0随机排成一行，贝 II 2 个 0不相邻的概率为（）A.0.3 B.0.5 C.0.6 D.0.8【解答】解：将 3 个 1和 2 个 0随机排成一行的方法可以是:0 0 111,0 10 11,0 110 1,0 1110,10 0 11,10 10 1,10 110,110 0 1,110 10,1110 0,共 10 种排法,其 中 2 个 0不相邻的排列方法可以是:0 10 11,0 110 1,O H I O,10 10 1,10 110,110 10,共 6 种方法,满足题意的概率 为 卷=。.6,故选：C.11.（5 分）若 a/（0,八一）,，t anc2 a=7 5 c o s：-a2 2 stna,则 t an a=（）V15A.15V5B.5cd3V15D.3【解答】解:由 t an 2a=cosa2 sina,得，sin2a cosacos2a 2-sinaIsinacosa cosa即百病2-sina71VaG （0,一）,.c o s aW O,2则 2s in a（2-s in a）=1 -2s in2a,解得 s in a=则 c o s a=V 1 sin2 asina t an a=-1cosa715T 5-故选：A.12.(5分)设/(x)是定义域为R 的奇函数，且/(1+无)=/(-%).若/(一 基=g，则/5(-)=()35 1153 3 3 3【解答】解：由题意得/(-x)=-/(x),又/(1+x)=f(-X)=-/(X),所以 f(2+x)=f(x),又一 (-荥=15 1 11则/)=f(2 吟=/(-1)=1.故选：C.二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分。13.(5分)若向量2I 满足曰|=3,a-b=5,a-b=1,则而=3鱼 .【解答】解：由题意，可得(a-b)2=a2-2a b+庐=25,因为而=3,ab=1,所以9-2 xl+%2=25,所以Z 2=18,|f e|=3/2.故答案为：3 V L14.(5分)已知一个圆锥的底面半径为6,其体积为3 0m则该圆锥 的 侧 面 积 为 39n .【解答】解：由圆锥的底面半径为6,其体积为3(h r,设圆锥的高为/?,则 x (T T x 62)X h=30T T,解得力=所以圆锥的母线长I =居+62=竽，1 2所以圆锥的侧面积S =7rM =兀x 6 x 2 =397r.故答案为：39mji15.(5分)已知函数f(x)=2c o s(3x+(p)的部分图像如图所示，则/(5)=-V 34 13n TC【解答】解：由图可知，f（x）的最小正周期7=可-）=71,所以 3=2,因为 f（）=0,所以由五点作图法可得2 x 界 隼=皆 解得年=一?所以/（x）=2c o s （2x 看），所以 f（一）=2c o s （2x =-2c o s-=V 3.J 2 2 6 6故答案为：-陋.x2 y216.（5 分）已知尸1,尸 2为椭圆C：+=1 的两个焦点，P,。为 C 上关于坐标原点对16 4称的两点，且|P Q|=|a尸 2|,则四边形P B O F 2 的 面 积 为 8.【解答】解：因为P,Q为 C 上关于坐标原点对称的两点，且|P Q|=|为尸2|,所以四边形P B Q F 2 为矩形，设|P Fi|=/n,|P F2|=，由椭圆的定义可得|P Fi|+|P F2|=，+=2a=8,所以 m2+2mn+n2=M,因为|P Fl +|P 尸 2|2=|FI尸 21=4C2=4（J-庐）=48,H P /M2+n2=48,所以 2=8,所以四边形P F QF i的面积为|P FI|P F2|=，=8.故答案为：8.三、解答题：共 7 0 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60分。1 7.（1 2 分）甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了 2 0 0 件产品，产品的质量情况统计如下表：一级品二级品合计甲机床15050200乙机床12080200合计270130400(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？(2)能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？2附.玄=_ _ _ _ _a d 儿)_ _ _ _ _ _ _叫,A(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【解答】解：由题意，可得甲机床、乙机床生产总数均为200件，150 3因为甲的一级品的频数为1 5 0,所以甲的一级品的频率为二=:；200 4120 3因为乙的一级品的频数为1 20,所以乙的一级品的频率为7200 5根据2 X 2列联表，可得A衣扁粽揄砌7_ 400(150 x80-50 x120)/270 x130 x200 x200 10.256 6.635.所以有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异.18.(12分)记册为数列 的前项和，已知板0,42=3m,且数列 医 是等差数列,证明：是等差数列.【解答】证明：设等差数歹U 图 的公差为d,由题意得-y/ai+a2=J 4al=2y/a,则 d=2Vi A/HI=所以=Vi+(-1)Vi=V7，所以；当时，有 S_ i=(7i-1)2m.由，得 a=Sn-Sn-=ra-(H-1)2a=(2n-1)ai，经检验，当=1时也满足.所以(2-1)Qi,EN+,当 时，an-an-=(2n-1)a-(2-3)m=2m,所以数列 飙 是等差数列.1 9.(1 2 分)已知直三棱柱A B C-A i B C i 中，侧面A 4 8 出为正方形，A 8=B C=2,E,分别为A C 和C C 1 的中点，BFLAB.(1)求三棱锥F-EBC的体积；(2)已知。为棱4 B 1 上的点，证明：BFLDE.【解答】解：(1)在直三棱柱A B C-4 1 直三中,BBiLAiBi,又 B E L4 B 1,BBiCBF=B,BB,B F u 平面 B C C 山i,平面 BCCB,：AB/AB,.8,平面 BCCB,J.ABVBC,又 AB=AC,故A C =V 22+22=2 企，：.CE=42=BE,而 侧 面 为 正 方 形，1 1A CF=2 C C i =1,=扣AEBC CFjx/xgx近 xlj 即三棱锥F-EBC的体积为1；(2)证明：如图，取8 c 中点G,连接E G,B iG,设B i G A B 尸=”，:点E是A C 的中点，点G时B C 的中点，：.EG/AB,：.EG/AB/BD,:.E、G、8 1、。四点共面，由 可得A B _ L平面B C C 1 8 1,；.E G _ L平面 BCCiBi,J.BF1EG,:tan/CBF=降=3,tan乙BBG=翳=等 且这两个角都是锐角,；.NCBF=NBBiG,：.NBHBi=NBGBi+NCBF=/BGBi+NBBiG=90,：.BFLBG,又 EGCBiG=G,EG,BiGu平面 EGBO,平面 EGBD,又 OEu平面EGBD,J.BFLDE.20.(12 分)设函数/(x)crr+ax-3/nx+l,其中 a0.(1)讨论/(x)的单调性：(2)若)，=/(x)的图像与x 轴没有公共点，求 a 的取值范围.【解答】解：(1)/(x)=2总+。-3=2a-3=(2ax+3)(a*-l),%0)J X X X因为0,所以一9 吟1所 以 在(0,-)上，f (x)0,/(x)单调递增.1 1综上所述，/(x)在(0,-)上单调递减，在(一，+8)上/(X)单调递增.a a(2)由(1)可知I,f (x)min=f(-)=a2X(-)+x-3/?+1 =3+3加 a,JJ a a a Q因为y=/(x)的图像与x 轴没有公共点，所以 3+3/”a0,所以1所以a的取值范围为（-，+8）.e2 1.（1 2 分）抛物线C的顶点为坐标原点。，焦点在x轴上，直线/：x=l交 C于 P,。两点，j a O P O Q.已知点M（2,0）,且OM与/相切.（1）求 C,OM的方程；（2）设 A i,4 2,A 3 是 C上的三个点，直线A M 2,4A3 均与OM相切.判断直线A M 3与。M 的位置关系，并说明理由.【解答】解：（1）因为x=l与抛物线有两个不同的交点，故可设抛物线C的方程为：/=2px（p 0）,令冗=1,则y =y/2pf根据抛物线的对称性，不妨设P在X 轴上方，。在 X轴下方，故P（i,廊）,+y 2=2,表示圆心为C(V L 0),半径为四的圆.(2)设点尸的直角坐标为(x,y),M(X i,)，i),因为A(1,0),所以4P =(x -1,y),AM=(x i-1,y i),由G=传 嬴即卜 T =&8 T),ly =AT(X 1 ：%:所以M(化简得点p的轨迹方程是(x -3 +夜)2 +y 2=4,表示圆心为C i(3-V 2,0),半径为2的1)+11)+1,V 22(xxX乃&/2T圆；化为参数方程是俨？一?+2 C O S ,e为参数;y 2sin9计算|C G|=|(3-V 2)-V 2|=3 -2 V 2 2g(x)=|2 x+3|-2x-1|=4%+2,、-4,x 画出y=/(x)和 y=g (x)的图像；1-2 x3-23-2(2)由图像可得：/(6)=4,g(1)=4,若2 g (x),说明把函数/(x)的图像向左或向右平移单位以后，/(x)的图像不在g(x)的下方，由图像观察可得：+4=1 1二。的取值范围为 3，+8).