2021届高考数学冲刺模拟测试卷（解析版）卷01（北京卷）.pdf

卷 01(北京卷数学)-2021届高考数学冲刺模拟测试卷一、选择题 共 10小题，每小题4 分，共 40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.已知集合4 =*|1082兀 1,B =x|x N l ,则 A B=()A.(1,2 B.(l,+o o)C.(1,2)D.l,+o o)【答案】D【分析】由对数函数性质确定集合A，然后由并集定义计算.【详解】由题意4 =%|1082%1 =|*2,；.4 B=x|x l .故选：D.【点睛】本题考查集合的并集运算，考查对数函数的性质，属于基础题.2.在复平面内，复数z =i(l +i)对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【分析】根据复数的乘法运算化简复数，得出其对应的点，进而可求出结果.【详解】因为 z=i(l +i)=-l +i,所以其在复平面内对应的点为(-L 1)位于第二象限.故选：B.【点睛】本题主要考查求复数对应的点所在的象限，考查复数的乘法运算，属于基础题型.3.在极坐标系中，直线/:pcos61+psin6=2与圆C:Q =2cos。的位置关系为（）A.相交且过圆心 B.相交但不过圆心 C.相切 D.相离【答案】B【分析】首先把直线和圆的极坐标方程转化为直角坐标方程，进一步可利用点到直线的距离公式求出结果.【详解】解：直线/：Qcos61+Qsin，=2,转换为直角坐标方程为：x+y-2=（）.圆 C p=2cos9,转换为直角坐标方程为：N+y2=2x,整理得：（x-1）2+y2=1,所以圆心（1,。到直线+。-2=。的距离=J：=变 1=;，所以直线与圆相交.又由于直线不经过点（1,0）故：直线与圆相交但不过圆心.故选B.【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的转化.点到直线的距离公式的应用，以及直线与圆的位置关系.4.已知=（2_，分C=log3丁 则（）A.a b c B.c b a C.b c a D.c a =是 单 调 递 减 函 数,所 以0 4=1,函 数y =(|)是单调递增函数，所 以6 =2函 数y =l o g3 X是单调递增函数，所 以c =l o g 3 l o g 31 =0，即 c a c =(2,l),且(a z l b)J _ c,贝 U%=()A.3B.2C.-2D.-3【答 案】A【分 析】根据向量的坐标运算法则先计算得出a _ 4 b，然 后 根 据(a-%b)_ L c,利用向量垂直的坐标运算法则求解2的值.【详解】因 为a =(1,1),/?=(1,3),所 以a 4人=(1 +4,1 32),当(。一 助)J _ c时,则 有2(1+4)+(1 3X)=0,解 得2=3.故选：A.3【点 睛】本题主要考查向量垂直的坐标运算公式，设 向 量：=（4 y）,力=（%，丫2），则 储，b时,中2+)|必=06.为了解某年级400名女生五十米短跑情况,从该年级中随机抽取8名女生进行五十跑测试，她 们 的 测 试 成 绩（单 位：秒）的 茎 叶 图（以整数部分为茎，小数部分为叶）如图所示.由此可估 计 该 年 级 女 生 五 十 米 跑 成 绩 及 格（及 格 成 绩 为9.4秒）的 人 数 为（）7 88 69 11 85 7 8A.150B.250C.200D.50【答 案】B【分 析】结合古典概型公式求出成绩合格的概率，再 由 频数=总数x频率即可求解【详 解】由茎叶图可知，成 绩 在9.4秒以内的都为合格，即合格率为P =（,故估计该年级女生五十米跑成绩及格的人数为400 x|=250,故选：B【点 睛】本题考查概率及频数的求解，属于基础题7.下列函数中，在 其 定 义 域 上 是 减 函 数 的 是（）1_-X +2,x W 0A.y=B.y=tan（-x）C.y=-exD.yxx-2,x 0【答 案】D【分 析】4对选项逐一分析函数的定义域和单调性，由此判断出正确选项.【详解】对于A选项，了 =-的定义域为|。0 ,在定义域上没有单调性，不符合题意.对于B选项，y =ta n（-x）=-t a n x,定义域为 x|x R%r +1 ,A e z ,在定义域上没有单调性，不符合题意.对于C选项，y =-、=-5 的定义域为R,在 R上递增，不符合题意.对于D选项，y=.八的定义域为R，在 R上递减，符合题意.-x 2,尤0故选：D【点睛】本小题主要考查函数的定义域和单调性，属基础题.8.，一%）的展开式中/的系数是（）A.-2 1 0 B.-1 2 0 C.1 2 0 D.2 1 0【答案】B【分析】根据题意，结合二项展开式的通项公式，可得2 r 1 0 =4,则 r=7,将 r=7 代入通项公式计算可得答案.【详解】（1 l0-r由二项展开式，知其通项为7；+1 =!（为）=（D C Z f z o,令 2 r1 0 =4,解得 r=7.5所以/的系数为（-I）,C =-1 2 0.故选B.【点睛】本题考查指定项的系数，应该牢记二项展开式的通项公式，属于基础题.兀2万9,已知函数f a）=s i n（o M 3 O）,贝I J“函数八元）在 上单调递增”是“0 尤2”的（）6 3A.充分而不必要条件C.充分必要条件【答案】A【分析】B.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件由1 w 4 得出6 y x的取值范围，由正弦型函数的单调性列出不等式组可得。范围，即可_ 6 3判断出关系.【详解】,*X G 6 9 CDX -2K716 2 3 03故人只能取0,即0。工一，4/2-3 +1 2 万解得 07t 2 7 r“函数/（X）在上单调递增”是 0 V C D W 2”的充分不必要条件.6 3故选：A.6【点睛】本题考查了简易逻辑的判定方法、三角函数的图象与性质、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.10.某企业生产A 8两种型号的产品，每年的产量分别为10万支和20万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的A,5两种产品的年产量的增长率分别为50%和2 0%,那么至少经过多少年后，A产品的年产量会超过5产品的年产量(取1g 2=0.3010)()A.2年 B.3年 C.4年 D.5年【答案】C【分析】直接计算出若干年后A 8产品的产量，由此确定正确选项.【详解】1年后，A产品产量为10 x(l+50%)=15万支；5产品产量为20 x(1+20%)=24万支.2年后，A产品产量为15x(l+50%)=22.5万支；B产品产量为24x(l+20%)=28.8万支.3年后，A产品产量为22.5x(1+50%)=33.75万支；B产品产量为28.8x(1+20%)=34.56 万支.4年后，A产品产量为33.75x(l+50%)=50.625万支；8产品产量为34.56 x(l+20%)=41.472 万支.所以经过4年后A产品的年产量会超过B产品的年产量.故选：C【点睛】本小题主要考查指数增长模型，属于基础题.第二部分(非选择题共110分)7二、填空题 共 5 小题，每小题5 分，共 25分。1 1.抛物线y =/的焦点到准线的距离是.【答案】,2【分析】由抛物线的解析式求出P,即可求解【详解】由y =f变形得f=y ,故抛物线焦点在y的正半轴，2 P =1,p=g,故抛物线y =V的焦点到准线的距离是p=；故答案为：一2【点睛】本题考查由抛物线解析式求解基本量，属于基础题1 2.设 小 是等差数列,且m=3,an+i=an-2,则数列。的前项和S=.【答案】-+4【分析】由 +1=4-2,可得：小+=-2,利用等差数列的求和公式即可得出.【详解】由 +1=斯-2,可 得:小+L-2,.数列 为等差数列，公差为-2.nn-W则数列 的前 n 项和 Sn=3 n+-X (-2)=-n2+4 n.2故答案为：-/+4.【点睛】本题主要考查了等差数列前项和公式的应用，属于基础题.81 3 .过 点（T,2）且 与 圆（x I f+V=4相 切 的 直 线 方 程 为.【答 案】=1或y =2【分 析】分斜率存在和不存在两种情况进行讨论，利用圆心到直线的距离等于半径求切线方程.【详 解】解：当 x =-l,y =2 时，（%一1）2 +/=（一1-1）2+2 2=8,所 以（一 1,2）在圆外，由标准方程可知，圆心为（1,0），半 径 为2，当所求切线斜率不存在时，方 程 为x =-l，圆心到该直线的距离为d =2和半径相等，所 以 =1是所求切线；当所求切线斜率存在时，设斜 率 为“，则 切线方程为y 2 =女（尤+1）,k+k+?即日一+&+2 =0,圆 心 到 直 线 的 距 离=4=2,解 得&=0,我+1所以 切 线方 程为y =2,综上所 述，切 线 方 程 为1=1或y =2.故答案为：x=l或y =2.【点 睛】本题考查了圆切线方程的求解，属于基础题.本题的易错点是未讨论全面.21 4 .双 曲 线f-汇=1的渐近线方程为,焦距为.4【答 案】y=2x 2小【分 析】根据双曲线的方程，可直接得出渐近线方程，以及焦距.【详 解】922令丁2 1 =0得丁=2%，即双曲线f 一 上=1的渐近线方程为丁=2；44焦距为207=2 6.故答案为：y=i2x；2 V 5 【点睛】本题主要考查求双曲线的渐近线方程，以及双曲线的焦距，属于基础题型.1 5.在平面直角坐标系x O y中，角a与角0均以。X为始边，它们的终边关于原点对称，点M(x,T)在角夕的终边上.若s in a =g,则si n=；x=.答案】2 0【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得结果.【详解】解：在平面直角坐标系x O y中，角a与角夕均以O x为始边，它们的终边关于原点对称，点在角的终边上，则N(-x,l)在a的终边上，贝ij s i n a1 1 L .A-13 =解 得-2点 且sm行13,故答案为：一 ；【点睛】本题考查任意角三角函数的定义，属于基础题.三、解答题共6小 题，共8 5分。解 答 应 写 出 文 字 说 明，演 算 步 骤 或 证 明 过 程。1 6.(本 小 题1 3分)10在 后?c o s 0 1 =a s i n 6,J G a s i n 8 =3 b c o s A这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题.在 A BC 中，BC=6,c o s B =3（1）求A C的长；（2）求 A BC的面积.【答 案】条件选择见解析；（1）A C =4；6 7 2 +2 .【分 析】若选择条件，（1）在A A 5 C中，由正弦定理可得、行s i n B c o s O t C=s i n As i n B,利用诱2导公式及二倍角公式可求c o s =3的值，结合正弦定理得到A C的长；（2）利用两角和正2 2弦公式得到s i n C，利 用 三 角 形 的 面 积 公 式 即 可 求 解.若 选 择（1）由正弦定理，可得t a n A=6,结合正弦定理得到A C的长；（2）同选择.【详 解】选择B+C（1）由正弦定理可得J J s i n B c o ss i n As i n B,2又s i n B w O,；下cos-7T-A-=s.m A,23 s i n =2 s i n 2 2.Cs 4=立，即22 2 2 6 34c o s ,2由 c o s B=可得 s i n3B=/3根据正弦定理BCAC6ACs i n A s i n B，即 丑一忑.，A C =4.T Tit(2)sinC=sin(A+B)sin Acos B4-cos Asin B=小 X亚+L3=3拒+g2 3 2 3 6S=-AC-BC-sinC=-x 4 x 6 x i =672+2 .2 2 6选择(1)由 Gasin B=3/?cos A，可得 6 sin Asin B=3sin Bcos A，又 sinBwO,-s-i-n-A-=J3r7 ,8cP1r l tan A=V3广 r .A人又sin 8=Jl-cos?8=且，结合正弦定理 阮=3sin A sin B6 AC逅 迈 AC=4.T T(2)sinC=sin(A+B)=sin A cos B+cos A sin B=石#1 G 3 a +指 x-1 x-2 3 2 3 6S=-AC-BC-sinC=-x 4 x 6 x i =6/2+2.2 2 6【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角恒等变换公式，余弦定理，三角形的面积公式，三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题.1 7.（本小题13分）如图，三棱柱ABC-ABCi中，AA_L底面4B C,。是A 8的中点,AAi=AC=CB=2,AB=2 6 -D12B(I)证明：8 C /平面4C Z)；(I D 求直线A 4 与平面AC。所成角的正弦值.【答案】(I)证明见解析；(I I)立.3【分析】(I)连结AG,交 A C 于o ,连结8,推导出。/IBC,由此能证明B C J!平面AC D.(I I)以C 为原点，C 4为x 轴，C B 为V 轴，CG 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线4 A 与平面 C D所成角的正弦值.【详解】解：(I)证明：连结A ,交 A C 于 0，则。是 A 的中点，连结8,(5。是 4?的中点，二。/8&,平面 A C D,0。(=平面4。，8。1/平面4。.(I I)三棱柱 ABC AM G 中，A 4,，底面 A B C，。是 A B 的中点，A4,=AC=C8=2,A B =2 ：.A C2+B C2 A B2-A AC IBC，以C 为原点，C 4为x 轴，C 8 为y 轴，CG 为z 轴，建立空间直角坐标系，则 4 2,0,0),4(2,0,2),B(0,2,0),D(1 ,1,0),C(0,0,0),AA=(0,0,2),6=(2，0，2),8 =(1,1,0),设平面AC。的法向量 =(x,y,z),/z-CA=2x+2z=0则n-CD=x+y=0取 =1得=(1-1 T)，设直线M与平面CD所成角为e,13则s g记3邛直线A A与平面A C D所成角的正弦值 为 且3【点睛】本题考查线面平行的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置有关系等基础知识，考杳运算求解能力，是中档题.18.（本 小 题1 4分）十一 黄金周某公园迎来了旅游高峰期，为了引导游客有序游园，该公园每天分别在1 0时，1 2时，1 4时，1 6时公布实时在园人数.下表记录了 1 0月1日至7日的实时在园人数：1 S2 H3 B4 B5 S6 S7日1 0时在园人数1 1 5 2 61 8 0 0 51 9 6 8 28 2 8 41 3 8 3 01 0 1 0 16 6 6 31 2时在园人数2 6 5 1 83 7 0 8 94 2 9 3 11 6 8 4 53 4 0 1 72 3 1 6 81 4 8 0 01 4时在园人数3 7 3 2 23 8 0 4 54 0 6 3 12 0 7 1 13 6 5 5 82 4 7 0 61 5 1 2 5141 6时在园人数2 7 3 0 62 9 6 8 73 0 6 3 81 6 1 8 12 0 8 2 11 6 1 6 91 0 8 6 6通常用公园实时在园人数与公园的最大承载量（同一时段在园人数的饱和量）之比来表示游园舒适度，4 0%以下称为“舒适”，已知该公园的最大承载量是8万人.（I）甲同学从1 0月1日至7日中随机选1天的下午1 4时去该公园游览，求他遇上“舒适”的概率；（I I）从1 0月1日至7日中任选两天，记这两天中这4个时间的游览舒适度都为“舒适”的天数为X，求X的分布列和数学期望；（I I I）根据1 0月1日至7日每天1 2时的在园人数，判断从哪天开始连续三天1 2时的在园人数的方差最大？（只需写出结论）【答案】（I）,；（I I ）X的分布列见解析，数学期望（X）=S：（用）从1 0月3日开始连续三天1 2时的在园人数的方差最大.【分析】（I ）由题意得，在园人数为8 x 4 0%=3.2万人以下为“舒适”，由此根据古典概型的概率计算公式求解即可；（I I）从0月1日至7日中，这4个时间的游览舒适度都为“舒适”的有4日、6日、7日，得X的取值可能为0,I,2,且服从超几何分布，由此可求出答案；（I I I）根据方差的定义观察波动幅度，由此可得出结论.【详解】解：4 0%以卜称为“舒适”，该公园的最大承载量是8万人，二在园人数为8 x 4 0%=3.2万人以下为 舒适”，（I ）1 0月1日至7日的下午1 4时去该公园游览，“舒适”的天数为3天，3.甲同学遇上“舒适”的概率P =；7（I I）从1 0月1日至7日中,这4个时间的游览舒适度都为“舒适 的有4日、6日、7日,15.X的 取值可能为0，1,2,且服从超儿何分布,尸”。）=等4争）=等若争（X=2）=普V76（I I I）从1 0月3 I I开 始 连 续 三 天1 2时的在园人数的方差最大.【点 睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列及数学期望，考查古典概型的概率计算公式，考查方差的定义，属于基础题.1 9.（本 小 题1 5分）设 函 数/（x）=odnx,其 中aeR,曲线=/（可 在 点（1,1）处的切线经过点（3,2）.（1）求。的值；（2）求 函 数/（x）的极值：y 2（3）证明:/（%）.【答 案】1 )0,结 合(2)可得x)=x l n x N ex e e e e1 x故只要证明即可，(需验证等号不同时成立)结合导数可证.e e【详解】解：(1)fx=anx+a,则 7(1)=0,/=。，故V =/(X)在(1 J。)处的切线方程y =1)，把点(3,2)代入切线方程可得，a=l,(2)由(1)可 得/(x)=l n x+l,x 0,易得，当0 x工时，1f(x)0,函数单调递增,1 1故当x=一时，函数取得极小值/一 =一一，没有极大值，e 3 e无 2 x 2证明：(3)/(%)-等价于xl n x +-0,ex e ex e由(2)可得/(x)=x l n x -(当且仅当x=L时等号成立)，e e“-i x 2、1 x所以 xinx-1-2-,ex e e ex1 Y故只要证明7之。即可，(需验证等号不同时成立)e e设 g(尤)=：-十，X0则当0 x l时.，g (x)1时，g (x)o,函数单调递增，所以g(x g=0,当且仅当x=l时等号成立，因为等号不同时成立,17Y 2所以 当%0时，/（%）.e e【点睛】本题主要考查了导数的几何意义及导数与极值的关系，还考查 利用导数证明不等式，体现了转化思想的应用.2 0.（本 小 题15分）己知桶圆C的两个顶点分别为A（2,0）,B（2,0）,焦点在x轴上，离心率为!.2（I）求椭圆C的方程；（I I）设。为原点，点P在椭圆。上，点。和点P关于x轴对称，直线AP与直线8Q交于点M，求证：P，M两点的横坐标之积等于4,并 求 的 取 值 范 围.2 2【答案】（I）亍+（=1；（11）证明见解析；|。加|的取值范围是（2,+8）.【分析】（I）根据椭圆的顶点、离心率以及=匕2+2求得a,b,c,从而求得椭圆的方程.（I I）设出P,。的坐标，求得直线A尸和直 线 的 方 程，由此求得交点M的坐标，进而证得R M两点的横坐标之积等于4 .求 得 的 表 达 式，由此求得|O M|的取值范围.【详解】a=2（.a=2c 1（I）由于椭圆焦点在X轴上，所以 C =1 ,a 2a2b2+c2 U 32 2所以椭圆的方程 为 上+汇=1.4 32 2 （2（I I）设 P（m,）则。（租,一 ）、g +彳=1=2=3 .依题意可知一2/2,18 77且根w 0.直线A P的方程为y=-（X+2）,直线B Q的方程为y=-（x-2）.由m+22-myy (x+2)x=-2+2 解得，m,B|JMn/八 2n4.所 以 两 点 的 横 坐 标 之 积 为“2 一m=4.由|0M|28/OQ由于一2（根 2,且相。0,所以0 /7,3 2.也即|QW|的取值范围是（2收）.【点睛】本小题主要考查根据 c求椭圆方程，考查椭圆中的定值问题，考查椭圆中的范围问题，属于中档题.2 1.（本 小 题15分）设集合入=1 4,4,4,g，其中4，。2，%，。4是正整数，记 必=4+42+。3 +%对于对，ayeA（lz；4）,若存在整数火,满足M 4+?）=SA，则称4+为 整除臬，设%是满足,+勺整除SA的数对/）的个数.（I）若4=1,2,4,8,8=1,5,71 ,写 出%,勺 的值；（II）求明的最大值；（III）设A中最小的元素为a,求使得取到最大值时的所有集合A.【答案】（1）=2,阳=4；（2）4；（3）A=a,5a,7a,11a,或 A=9a29 a.【分析】（1）根据定义得到SA,SB,即可得到nA,nB的值；19(2)结合条件得到G,4)最多有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3).(2,4),(3,4)六种情况,排除(2,4),(3,4)即可得到nA的最大值；(3)假设。a =4 4 。3 4，=%+。2，丫 =6+的，根据定义可得 =6 q =6。或M =1 2 q=1 2 a,进而得到A.【详解】(1)根据条件所给定义,SA=15=5(1+2)=3(1+4),故A=2,5B=2 4=4(1 +5)=2(5+7)=2(1+11)=3 (1+7),故%=4.(2)不妨设 0 q 4，因为万 =5(4 +a,+。3 +。4)(“2 +。4 /+。4 S*所 以%+%，/+包 不能整除枭,因为(V)最多有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)六种情况，而(2,4),(3,4)不满足题意，所 以%4 6-2 =4,当 4 =悔 时，%=4,所以的最大值为4 ；(3)假设0 a =q%。3 因;S.W ma x q+a4,a2+a3j SA,故S.=ma x a,+a4,a2+a3,所以4+4=生+/，2 A设 =q +4,丫 =4 +o,则,u 是 S =2(%+/)=2(+u-2 q)的因数,所以u 是2(一2%)的因数，且 是2(v 2 q)的因数，因为“八所以 2(“-2 q)2“2u,因为 v 是 2(一2%)的因数，所以 v=2 -4 q,因为是2(v-2 q)=4-1 2 q 的因数，所以是1 2%的因数，20因为 u 4q,所以 =6q=6。或 =124=12。，故 A=a,5a,7al,1 a,或 A=4,114，19q,2 9 4,所以当 取到最大值 4 时，故 A=a,5a,7a,ll。,或 A=,11。,19。,29。.【点睛】本题主要考查合情推理与演绎推理，考查集合的性质21