2021年上海市虹口区高考数学二模试卷（解析版）.pdf

2021年上海市虹口区高考数学二模试卷 填 空 题（16 题每小题4 分，712题每小题4 分）1.已知集合 A =y|y=l（X,xE R,B=yy=jfi,1WXW 2,则 AG3=ir*8 3n+l3.在（x+工）6 的二项展开式中，常数项为.X4 .某班级要从4名男生和3名女生中选取3名同学参加志愿者活动，则选出的3人中既有男生又要有女生的概率等于.5 .给出下列命题：若两条不同的直线垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行；若两个不同的平面垂直于一条直线，则这两个平面互相平行；若一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直.其 中 所 有 正 确 命 题 的 序 号 为.6 .已知P为抛物线C：y2=2 px（p 0）上一点，点尸到抛物线C的焦点的距离为7,到 y轴的距离为5,则夕=.7 .若 s i n 0=Z:c o s 6,则 s i n S e c o s O 的值等于.（用 k 表示）8 .设函数/（X）的定义域为。.若 对 于。内的任意X X 2 （莺工及），都 有（X 2 -X I ）/（J C 2）-/（X.）0,则称函数/（X）为“Z函数”.有下列函数：ay（X）=1;f（X）=-2 x+l；f（x）=3；f（x）=lgx.其 中“Z 函数”的序号是（写出所有的正确序号）9.已知直三棱柱的各棱长都相等，体积等于1 8 1帆3）.若该三棱柱的所有顶点都在球O的表面上，则 球。的体积等于（加 3）.1 0.在平面直角坐标系x O y 中，定义A（X I,）,8（X 2,冲）两点的折线距离（4,B）=卜|-刈+6-y2.设点尸（府,2）,Q（相，），。（0,0）,c （2,0）,若 d （P,。）=1,则 d （Q,C）的取值范围.x-y+2401 1 .已知MN为圆x 2+y=i 的一条直径，点 p （x,的坐标满足不等式组0,2则百i t 由 的 取 值 范 围 是-1 2 .在 数 列 中，对 任 意 CN*,an=k,当 且 仅 当 2 0 且 aW l,76 R,已知函数/(x)=lo g (x+1),g(x)=21o ga(2 x+t).(1)当，=-1 时，求不等式/(x)W g (x)的解；(2)若函数尸(x)=，*+*-2什1在 区 间(-1,2 上有零点，求 f的取值范围.TT JT19.如图某公园有一块直角三角形ABC的空地，其中Z A B C=,AC长 a2o千米，现要在空地上围出一块正三角形区域。EF建文化景观区，其 中。、E、尸分别在B C、A C、A B .设N O E C=e.TT(1)若。=亏，求 OE F 的边长；0220.(16 分)已 知 椭 圆 C的方程为+)2=1.2(1)设 M(物，yM)是椭圆C上的点，证明：直 线 考 +)，“),=1 与椭圆C有且只有一个公共点；(2)过 点 N (1,衣)作两条与椭圆只有一个公共点的直线，公共点分别记为A、B,点 N 在直线AB上的射影为点,求 点。的坐标；(3)互相垂直的两条直线人与/2相交于点P，且 从 b 都与椭圆C只有一个公共点，求点P的轨迹方程.21.(18分)若数列 a,满 足“对任意正整数i,j,ij,都存在正整数k,使 得 以 娟，则称数列 斯 具 有“性 质P”.(1)判断各项均等于a的常数列是否具有“性 质P”，并说明理由；(2)若公比为2的无穷等比数列 a,具 有“性 质P”，求首项m的值；(3)若首项G=2 的无穷等差数列 a,具 有“性 质P”，求公差d的值.参考答案一、填 空 题（16 题每小题4 分，712题每小题4 分）1.已知集合 A =M y=10,x R,8=y|y=x 2,1WXW 2),则 A D 8=11,4 1.解：.A =y|y 0 ,8=y|lW)，W 4 ,.08=口，4 J.故答案为：1,4.2.3n-llimn-3+1解:.3n-l .3n+l-2lim =lim -二n-co 3+1 n8 3+11-limn83n+l)=1-0=1,故答案为：1.3 .在（x+上）6的二项展开式中，常 数 项 为20 .X解：（x+工）6的展开式的通项公式为Tr+l=C fi-y-2r,令6-2r=0,求 得r=3,.展开式中的常数项等于C?=20,故答案为：20.4 .某班级要从4名男生和3名女生中选取3名同学参加志愿者活动，则选出的3人中既有男生又要有女生的概率等于4.解：某班级要从4名男生和3名女生中选取3名同学参加志愿者活动，基本事件总数=C,=3 5,选出的3人中既有男生又要有女生包含的基本事件个数?=C,-C：-Cg =3 0,则选出的3人中既有男生又要有女生的概率：nm 30 6 七=而=彳故答案为：y.5.给出下列命题：若两条不同的直线垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行;若两个不同的平面垂直于一条直线，则这两个平面互相平行；若一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直.其中所有正确命题的序号为 .解：对于，若两条不同的直线垂直于第三条直线，则这两条直线有三种位置关系：平行、相交或异面，故错误；对于，根据线面垂直的性质可知，若两个不同的平面垂直于一条直线，则这两个平面互相平行，故正确；对于，若一条直线平行于一个平面，则与该平面垂直的直线与该直线垂直，故正确.其中所有正确命题的序号为.故答案为：.6.已知尸为抛物线C：）Q=2px（p 0）上一点，点 P 到抛物线C 的焦点的距离为7,到 y轴的距离为5,则=4.解：已知尸（x,y）为抛物线C：y=2px（p 0）上一点，点尸到抛物线C 的焦点的距离为7,到），轴的距离为5,所以：x+=7，整理得5+步7，解得：p=4.故答案为：4.k7.若 sin6=Z cos8,则 sin6cos6的值等于-o.（用 女表示）一1+1一，-s i n 8*c o s 9解：由 sine=kcos8,得 sinecosO=n o _s i r/B +c o sz6=k c o s 2 8_ kk 2c o s 28+c o s2 0 k 2+1k故答案为：-2 k +18.设函数/（x）的 定 义 域 为 若 对 于。内的任意为，X2（X|WX2），都 有（龙 2 7 1），（及）-/（XI）o,则称函数/c o 为“z 函数”.有下列函数：a y（%）=1；r（%）=-2工+1；f（x）=与；（4/（X）=lgx.其 中“Z 函数”的序号是 （写出所有的正确序号）解：由题意，不妨设汨 0因 为（X 2-X 1）f（X2）-f（XI）0,所以 f（X2）-f（X1）0,即/（Xl）球的半径 R=02A2+0022=V 4+3 =V?.则球O的体积等于告H X（V?）3产产冗.10.在平面直角坐标系x O y中，定义4 G 1,y）,3 （及，”）两点的折线距离d （A,B）=|Jti-x2+yi-y2.设点尸（加，”2）,Q（相，），。（o,0）,C（2,0）,若 d （P,。)=1,则d (Q,C)的 取 值 范 围 1,2+、历.解：由题意可知，d C P,0)=标+沼=1,d C Q,C)=m-2|+|n|,即点(相，)在以原点为圆心，半径为1的圆上，则有?-2 0,当 7 i2 0 时,d(Q,C)=m-2+n=2-m+n,d(Q,C)-2为直线y=x+d (Q,C)-2与半圆N+)z =i(y 2 o)有公共点时的纵截距，当直线与半圆相切时，d(。，C)-2取得最大值，此时,=-返，=返，2 2即 d (Q,C)m”=2 -(-喙)+乎=2班.当根=1,=0 时，d(Q,C)-2 取得最小值，此时 d(Q,C)“”“=2-1+0=1,当 W 0 时，d (Q,C)=m-2+n=2 -m -n,2-d(Q,C)为直线y=-x-4(。，C)+2与半圆/+y 2 =i(y W 0)有公共点时的纵截距，当直线与半圆相切时，2-d(Q,C)取得最小值，此时/=-乎，BP (1(Q,C)max2 -(-N当机=1,=0 时，2-d(Q,C)取得最大值，此时 d(。，C)=2-1-0=1,故d(Q,C)的取值范围为 1,2+V 2.x-y+2)的坐标满足不等式组0,y 2则可if,由的取值范围是“，19.x-y+240解：由不等式组 0作出可行域如图,2O(0,0),M(x,y),0 M=-0 N,-P M-P N=0 -0?)*O N-O P)=而 2 _ =/+产-i,.当 x=-4,y=2 时，pjj 乐取最大值1 9,当 x=-1,y=l 时，而 五 J 取最小值为1.，百J,由的取值范围是 1，1 9 .故答案为：1,1 9 .1 2 .在 数 列 m 中，对 任 意 CN*,a”=k,当 且 仅 当2k n 2k+,/W N，若满足am+azm+aA m+aim+am 5 2,则 m 的最小值为 5 1 2 .解：不妨设 2ym 25,k N*,，N*,由题意可得，amk,因为 2k+i 2 m =小 的 斜 率 为 可 得 倾 斜 角 为 等，Oy=-的斜率为-弧,可 得 倾 斜 角 为 等，jr所以两条渐近线的夹角的大小为今.故选：B.TT1 4.已知函数/(x)=2 sin +(p),则“(p=彳”是 7 (%)为偶函数”的()A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分也非必耍条件解：当-时 f(x)=2sin(2J VI)=2cos2%,(-x)=2cos(-2x)=2cos2x=/(x),(x)为偶函数,jr当/(x)为偶函数时，(p=-TZTl,kZ，综上所述，(p=5 是/(尤)为偶函数的充分不必要条件.故选：A.1 5.复数z 满足|z|=l,且使得关于x 的方程N+1x+z=0有实根，则这样的复数z 的个数为()A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个解：设 z=a+bi(a,hE R),由|z|=l,得屏+分=1,x2+z*x+z=O,EP x2+(a-bi)x+a+bi=O,即/+依+。+(b-bx)i=0,f 0 .、x+ax+a=O，Lb-bx=O若 b=0,则 o=l 或 a=-l,检验得，a=时，犬无实数根(舍)，当 a=-1 时，x=2f z=-1；当 b#0 时，得 x=1,a b 5z=i,乙 乙 乙 乙复数z 的个数为3 个.故选：C.T7T 7T1 6.在平面上，已知定点A0)，动 点 尸(sina,c o s a).当 a 在区间-7-,上变化时，动线段A P 所形成图形的面积为()l 兀 l T T 7 T 7 TA-近 F B-V3 C.刀 D.解：由s in 2(x+c os 2 a=1,所以动点P (s in a,c os a)在单位圆上，现在关键是求点P运动的圆周范围;士 ,冗、/兀、由 s in a=c os (-a),c os a=s in -a),2 2 Ij I1 1所 以P (c os (-a),s in (-a)是其与x轴正方向的有向角为可-a；JI TT TT Q JI当a在区间一上变化时，P在角度为:到七一对应的一段圆弧；4 4 4 4K_a=丁 时 点P对应的位置是C,如图所示:4所以动线段AP所形成图形的面积为阴影部分图形的面积,又 0 8 C与 A BC是同底等高的三角形，所以阴影部分的面积为：_ _ 1 nS B 1 彭=S BPc+SBC S4 4故选：D.三、解答题(本大题满分76分)1 7.在三棱锥 P-43 c 中，PA=PB=PC=A C=2-/2,B A=BC=2,。是线段 A C 的中点,M是线段B C的中点.(1)求证：P O_ L平面A BC；(2)求直线P M与平面P B。所成的角的大小.pB【解答】证明：（1）B A=B C=2,A C=2 近,由于 BA2+BC1=A C2,IT所 以/杷，=药，所以 80_LA C,且 8 0=2,由于PAC为等边三角形，所以 P0_LA C,尸。=返，又 P B=2&,所以 PB2=P O2+BO2,K所以 N P0B=y，故 P OLBO,故 P0_L平面ABC.解：（2）过点M作M N 1 B 0交 8。于 N,连 接PN,得到 M N L P 0,由于 MN_LB0,所以MN_L平面ABC,故N M P N为直线P M与平面P B O的夹角,由(1)知：B OLA C,从而点N为线段80的中点，所以 A/=y OC=-1-A C=y-PM=VPC2-M C2=V7,故 si n Z M P N=-=-P M 1 4故直线P M与平面P 8。所成的角的大小为a rc si n S-.1 41 8.设。0 且。#1,rG R,已知函数f (x)=l o g (x+l),g(x)=2 1 o g (2 x+f).(1)当/=-1时，求不等式/(x)W g (x)的解；(2)若函数尸G)=，9+4-2什1在 区 间(7,2 上有零点，求 的取值范围.解：(1)当 f=-1 时，不等式/(x)Wg(X)可化为 l o g a (x+l)W 2 1 o g”(2 x-1),当O V a V l时，则有卜+1避2 x-l)解得春0 2 4所以不等式八尤)W g (x)的 解 集 为 皮，卷;当”1时，则有卜0 4所以所以不等式/(x)W g (x)的 解 集 为 岛 Q).综上所述，当0 “1时，不等式f (x)W g (x)的 解 集 为 反，卷;当 心1时，所以不等式(X)W g (x)的 解 集 为 序 K。).(2)函 数/(x)=af(x)+tx2-2 t+=x+=tx2-2 t+=tx2+x-2/+2,令序+冗-2什2=0,即 1(X2-2)=-(x+2),因 为 淤(-1,2 ,所以 x+2 E(1,4,所以 f W O,/-2#0,-=-X,?=-(x+2)+4，t x+2 x+21 9设加=x+2 E(1,4,则有一=-(m+)+4，t m故或 下的边长为x千米，由8 厂 得C E=x，A E=a-亨x，0 c 47T TT 兀A EF 中，Z F E A=K -9 Z A-.o 0 o二A E77 为等边三角形，A E=x=a x故 x=-r-,o即 P的边长为等；(2)设 DEF的边长为x千米，所以 CE=xc o s。，A E=a -xc o sQ,A EP 中-，Z F E A=2兀 c K7-Q ,Z A=,Z F A=6,3 3x _ a-xc o s8由正弦定理得，.7T=si n Q，si rry 历 a _ V s a _故 x=_ V3a_ rz2sin 0+V3C0S V?sin(0+arcta】i.)当e 2-arctan坐 时 取得最小值乍巴&，即 的 边 长 最 小 值 冬 配2 2 V 7 7220.(16分)已 知 椭 圆 C 的方程为2+)2=1.2(1)设 M (硼，加)是 椭 圆 C 上的点，证明：直 线 考 +)，0=1 与椭圆C 有且只有一个公共点；(2)过 点 N (1,&)作两条与椭圆只有一个公共点的直线，公共点分别记为4、B,点 N 在直线A 8 上的射影为点Q,求 点。的坐标;(3)互相垂直的两条直线八与/2相交于点P，且 h/2 都与椭圆C 只有一个公共点，求点P的轨迹方程.解：(1)证明：当然/=0 时，X M=&,直线线即直线X=&,与椭圆C 只有一个公共点,当 y w W O 时,由，2得名三)2 4yM2.XM.：=-4(-y”2乂 XM+92=1,2XM3-x+21*日、22 A4 yM2)1(2-1)-2+2yH2+xH22yM1-2 1 =0,YM所以有=(),从而方程组只有一组解,所以直线勺此+)，“)，=1 与椭圆C 有且只有一个公共点.2(2)设 A(JCI,%)，B(.X2,/),则两条直线为三上+yiy=1,彳x_+）”y=,又 N（1,加），是它们的交点，所以 3+&y i =l，2从而有A （汨，）,B（%2,y2）的坐标满足直线方程1+&y=l,所以直线AB的方程为会&y=1,直线NQ的方程为y-&=2&（x-1）,Z由犷y=i ，得产挈即Q片多,ty-V2=2 V2（x-l）y-M=k（x-i）得（1+2F）x2+4k（&-%）x+2（.近-k）2-2=0,由=（）,得 N+2折-1=0,解 得k=-加 土 日.（3）设P（迎，州），当直线/i与 b 有一条斜率不存在时，P（&，1），次2+泗2=3,当直线/1与/2有一条斜率存在时，设为公和42,y-y0=k（X-XO）由4/，得（1+2N）/+4Z（泗-蒯）x+2（公超2+时-2 版）1）=0,Z=1所 以 =必（泗-fcco）2-4（1+2F）2（*2xo2+yo2-2fccoyo-1）=0,整 理 得（2-x（）2）k2+2x（）yok+-Y）2=0,燎#2,所以佑，公是这个方程的两个根，1 2i-y0所以 k#2=-7=-I,2-x02所以迎2+州2=3,所以点P 的轨迹方程为/+）,2 =3.21.（18分）若数歹Ua,满 足“对任意正整数i,/,iW J,都存在正整数匕使得以=a p”，则称数列 “具 有“性质P”.(1)判断各项均等于“的常数列是否具有“性 质 P”，并说明理由；(2)若公比为2 的无穷等比数列 m 具 有“性质P”，求首项的值；(3)若首项0=2 的无穷等差数列 ”具 有“性 质P”，求公差d 的值.解：(1)若数列 为 具 有“性质P”,“对任意正整数i,f都存在正整数k,使得以=的为，所以所以a=0或 1,故当。=0 或 1时，各项均等于a 的常数列具有“性质P”；当且时，各项均等于a 的常数列不具有“性质P”.(2)对任意正整数i,j,ij,都存在正整数Z,使得G=a,勾，即|”2八|,所以 ai=2+W,令 k+1-i-j=m Z,贝!a=2”，当 m 2-1 且 时,an=al*2n=2m+n-,对任意正整数i,/,，#_/,由或=a 勾，得 22-1=2的一 2”十 八 I所以 ki+j+m-1,而 让/+根-1是正整数，所以存在正整数上=可+m-1,使得以=4 勾成立，数列具有“性质P”；当 m W-2 且 mGZ时，取 i=l,j=2,贝！I-1 =2+?W 0,正整数k 不存在，数列不具 有“性 质P ,综上所述，ai2,-1 且 znGZ.(3)因为 a.=2+(n-1)d,9所以若对于任意的正整数，存在整数h使 得 以 成 立，则d=、:k-2n+l对于任意的正整数小 存在整数心和心，使得a k,=s ,ak一 =2斯，1 4两式相减得，dan(我 2-%)d,若 4=0,显然不合题意，若 d W O,得 小=幻-公，是整数，从而得到公差d 也是整数，当d ai=2J R 1d产-+1由a；4 i,所以不存在正整数/使得丽飙+1=以成立，从而d 0 时，不具有“性质P”；当d=l时，数列2,3,4,.,n+对任意的正整数i,j,iW/,由次=4%可得A+l=(H l)(j+1),可得上=%/+(/,而 it/+是正整数，从而数列具 有“性 质P；当 d=2 时,数 列 2,4,6.2 n,对任意正整数i,j,由 念=0 勾,可得兼=2 i4,即 k=2 小 而 2(/是正整数，从而数列具有“性质P”.综上可得，d=l 或 d=2.