2021年全国统一高考数学试卷（文科）（学生版+解析版）（乙卷）（学生版+解析版）.pdf

2021年全国统一高考数学试卷（文科）（乙卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5 分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.（5 分）已知全集t/=1,2,3,4,5 ,集合 M=1,2,N=3,4 ,则Cu（MUN）=（）A.5 B.1,2 C.3,4 D.1,2,3,42.（5 分）设 iz=4+3 i,则 z=（）A.-3-4/B.-3+4i C.3-4/D.3+4;3.（5 分）已知命题p：3AGR,siruC l；命题q：VxCR,则下列命题中为真命题的是（）A.p/q B.p tq C.p A-g D.,（pV q）x X4.（5 分）函数/（x）=sin+cosm 的最小正周期和最大值分别是（）A.3n 和鱼 B.3n 和 2 C.6n 和夜 D.6T C 和 29.（5 分）设函数/（x）=缶，则下列函数中为奇函数的是（）x 4-y 4,5.（5 分）若 x,y 满足约束条件,x-y 2,则 z=31+y的最小值为（）A.18 B.10,2 冗 257r6.（5 分）cos cos =（12 121V3A.-B.一2 317.（5 分）在 区 间（0,一）随机用2ly 3,C.6 D.4）y2 V3C.D.2 211 1个数，则取到的数小于&的概率为（）3 2 11A一 B一 C.-D.4 3 3 68.（5 分）下列函数中最小值为4 的 是（）4A.y-x+2x+4 B.厂 k问+归 位C.y 2x+22x D.y=x+焉A./（x-1）-1 B./（x-1）+1C.f （x+1）-1D.f （x+1）+110.（5 分）在正方体ABC。-AIBICIOI中，P 为 的 中 点，则直线P 8 与 ACM所成的角为（)x21 1.（5分）设 8是椭圆C：三+2=1 的上顶点，点。在。上，则|P 8|的最大值为（）5LLA.-B.V6 C.V5 D.221 2.（5分）设 a#0,若 x=a为函数/（x）a（x -a）2（x-b）的极大值点，贝!I（）A.a b C.ab a2二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，满分20分。1 3.（5分）已知向量热=（2,5）,b=（A,4）,若热1，贝 i j 入=.x2 y2 _1 4.（5分）双曲线一-=1的右焦点到直线x+2y-8=0的距离为_.4 51 5.（5分）记aABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,面积为次，B=6 0 ,a2+c2 3 ac,则 b.1 6.（5分）以图为正视图，在图中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则 所 选 侧 视 图 和 俯 视 图 的 编 号 依 次 为 （写出符合要求的一图 图 图图 图三、解答题：共 7 0 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60分。1 7.（1 2 分）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了 1 0 件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备 9.8 1 0.3 1 0.0 1 0.2 9.99.81 0.0 1 0.1 1 0.2 9.7新设备 1 0.1 1 0.4 1 0.1 1 0.0 1 0.1 1 0.3 1 0.6 1 0.5 1 0.4 1 0.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为元和歹，样本方差分别记为5 I2和 S 2 2.(1)求元，y,si2,5 22：(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果歹-x2则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高).1 8.(1 2 分)如 图，四棱锥P-A B C。的底面是矩形，底面A B C。，M 为 BC 的中点，且 PB A.A M.(1)证明：平 面 以 平 面 P B。；(2)若 PD=QC=1,求四棱锥P-A B C。的体积.1 9.(1 2 分)设 如 是首项为1的等比数列，数列 加 满 足 设 尸 等,已 知 m,3 a 2,9a 3 成等差数列.(1)求 珈 和 凤 的通项公式；记 5”和分别为“和伯”的前项和.证明：Tn 0)的焦点F到准线的距离为2.(1)求 C的方程；(2)已知。为坐标原点，点尸在C上，点。满 足 切=9 QF,求直线。斜率的最大值.2 1.(1 2 分)已知函数/(x).(1)讨论f(x)的单调性；(2)求曲线)，=/(x)过坐标原点的切线与曲线)，=/(x)的公共点的坐标.(二)选考题：共 10分。请考生在第22、2 3 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修4-4：坐标系与参数方程(10分)22.(10分)在直角坐标系xOy中，O C 的圆心为C(2,1),半径为1.(1)写出O C 的一个参数方程；(2)过 点 F(4,1)作。C 的两条切线.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程.选修4-5：不等式选讲(10分)23.己知函数/(x)=x-a|+|x+3|.(1)当 a=l 时、求不等式/(x)2 6 的解集；(2)若f(x)-a,求 a 的取值范围.2021年全国统一高考数学试卷(文科)(乙卷)参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5 分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 .(5 分)已知全集。=1,2,3,4,5 ,集合 M=1,2 ,N=3,4 ,贝 i J C u (M U N)=()A.5 B.1,2 C.3,4 D.1,2,3,4【解答】解：:全集 U=1,2,3,4,5 ,集合 M=1,2 ,N=3,4,A M U N=1,2,3,4,A C u (M U N)=5 .故选：A.2 .(5 分)设 i z=4+3 i,则 z=()A.-3-4i B.-3+4/C.3 -4z D.3+4i【解答】解：由 i z=4+3 i,得 2=警=6 驾 二 =-3 i 2-4i =3-4i.故选：C.3 .(5 分)已知命题p：3 x R,s i n _ r l：命题q：V.r G R,阴 1,则下列命题中为真命题的是()A.p/q B.p/q C.q D.-1(p Vq)【解答】解：对于命题p：3 x G R,s i n 4,x-y 2,则 z=3x+y的 最 小值为(y 4,故选项8 错误；对于 C,因为 2x0,所以 y=2+2 2-x=2x+p 2 卜或=4,当且仅当2*=2,即x=l 时取等号，所以函数的最小值为4,故选项C 正确；对于。，因为当 时，y=ln-+-A-=1 4 =5 错误.故选：C.9.(5 分)设函数/(x)=博，则下列函数中为奇函数的是()A.f(x-l)-1 B.f(x-l)+1 C.f(x+1)-1 D.f(x+1)+1【解答】解：因为/(x)=冷=一(即+2 =-1+系，JL I 人 JL I yV 人 I JL所以函数/(x)的对称中心为(-1,-1),所以将函数/（X）向右平移一个单位，向上平移一个单位，得到函数y=/（x-1）+1,该函数的对称中心为（0,0）,故函数y=/（x-1）+1为奇函数.故选：B.10.（5 分）在正方体ABC。-A IiC iD i中，P 为 81。的中点，则直线P 8 与 A G 所成的角为（）7 1 7 1 TC T CA-B C.-D.一2 3 4 6【解答】解：；AO1BC1,是直线P 8 与 4。所成的角（或所成角的补角），设正方体A8CQ-4B1C1Q1的棱长为2,则 PBi=PCi=|/22+22=V2,BCi=V22+22=2或，BP=J 22+（V2）2=瓜 cosZ PB C i-P +B C JPC/_ 6+8 2 _ 2.co szrtfC i-2XPBXBC1 一 2*辰2应 2 7TA ZPB C i=,oT C直线PB与 AD 所成的角为76故选：D.%211.（5 分）设 8 是椭圆C：+/=的上顶点，点夕在。上，则|PB|的最大值为（）5LLA.一 B.V6 C.v5 D.22%2【解答】解：B 是椭圆C：y+/=l 的上顶点，所以8（0,1）,点尸在 C 上，设 P（代 cos。,sin0）,0eO,2TT）,所以|尸剧=J（V5cos0-0）2+（sind-l）2=y/4cos20 2sind 4-2=V-4 s in20 -2sin0+6 =J 4(sinx+i)2+竽，-i5当 s in O=-时，|PB|取得最大值，最大值为了故选：A.1 2.(5 分)设 a#0,若 x=为函数/(X)a(x-a)2(x-b)的极大值点，贝！J ()A.a b C.D.ab a1【解答】解：令/(x)=0,解得x=a 或 x=b,即x=a 及 x=b 是，(x)的两个零点，当0时，由三次函数的性质可知，要使x=a是/(x)的极大值点，则函数/(X)的则 0 a 6；当“V O 时，由三次函数的性质可知，要使x=a是/(x)的极大值点，则函数/(x)的大致图象如下图所示，则 b a “2.故选：D.二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，满分20分。TTT T 81 3.(5 分)已知向量 口 =(2,5),b=(入，4),若a b,则 入=g【解答】解：因为a =(2,5),b=(A,4),a/b,所以8-5 人=0,解得人故答案为：1 4.（5分）双曲线丁-y=1的右焦点到直线x+2 y-8=0的距离为_4_.x2 y2【解答】解：双曲线 一 =1的右焦点（3,0）,所以右焦点到直线x+2），-8=0的距离为d=丹+-8|=V5.J l2+22故答案为：V5.1 5.（5分）记AABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,面积为遮，8=6 0 ,a2+c2=3 a c,则 b=2/.【解答】解：:A B C 的内角4,B,C 的对边分别为a,b,c,面积为6，B=6 0 ,a2+c23 ac,1 1 7o.-a cs in B=V5 n-cx=V3=iz c=4=2+c2=1 2,2 2 2 a2+c2_b2 1 1 2-b2 .人又 cos B=-而-=-=-=b=2 或，（负值舍）故答案为：2 位.1 6.（5分）以图为正视图，在图中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为 或 （写出符合要求图 图 图图 图【解答】解：观察正视图，推出正视图的长为2和 高 1,图形的高也为1,即可能为该三棱锥的侧视图,图形的长为2,即可能为该三棱锥的俯视图,当为侧视图时，结合侧视图中的直线，可以确定该三棱锥的俯视图为，当为侧视图时，结合侧视图虚线，虚线所在的位置有立体图形的轮廓线，可以确定该三棱锥的俯视图为.故答案为：或.三、解答题：共 7 0 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60分。17.（12分）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了 10件产品，得到各件产品该项指标数据如下:旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为元和歹，样本方差分别记为512和 岫2.(1)求元，y,si2,522；(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果歹-x2则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高).【解答】解：(1)由题中的数据可得，x=(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10,1y=x(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3,s/=特x (9.8-10)2+(10.3-10)2+(1 0-10)2+(10.2-10)2+(9.9-10)2+(9.8-10)2+(1 0-10)2+(10.1-10)2+(10.2-10)2+(9.7-10)2=0.036；522=X(10.1-10.3)2+(10.4-10.3)2+(10.1-10.3)2+(10.0-10.3)2+(10.1-10.3)2+(10.3-10.3)2+(10.6-10.3)2+(10.5-10.3)2+(10.4-10.3)2+(10.5-10.3)2=0.04；(2)y-x =1 0.3 -1 0 =0.3,0.03；0.04=2,0.0 0 7 6 0.1 7 4,所以歹一元2寄I故新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.1 8.(1 2 分)如 图，四棱锥P-A B C。的底面是矩形，尸。_ 1 _ 底面4 8 底面是矩形，P D=D C=1,为 8c的中点，且 P B_ L A M.设 A =8 C=2 ，取 CP的中点为 尸.连接加尸，A F,EF,A E,可得 M F P 8,EF/DP,那么 A M _ L M F.且 E F=.A E=J 1 +4 a2,A M=V a2+1,A F=J EF2+A E2.那么 A M F 是直角三角形，是直角三角形，_ _ _ _ _ _ _ /?+4 a2.根据勾股定理：B P=V 2 +4 a2,则；由斗尸是直角三角形，可得4 M 2+加 尸 2=4 产，解得=孝.底面A B C D的面积S=V 2,则四棱锥 P-A B CD 的体积 V=1./i.S =|x l x V 2=y.1 9.（1 2 分）设 ”是首项为1的等比数列，数列 E 满足为=等，已知m,3 a 2,9 如成等差数列.（1）求 和 加 的通项公式；记 S”和分别为“和 为 的前项和.证明：Tn.【解答】解：（1）3 a 2,9 3 成等差数列，6 a 2=a i+9 a 3,是首项为1 的等比数列，设其公比为必贝!）6 g =1+9/，:.q=可C.an=aqn 1=bn=与1=/7*（1）n.（2）证明：由（1）知即=（3时1,加=&）%“3日1 31 2X=1 x(g i+2 x(扔+九.(九，1 1 2 1 3 1 n+i=IX (-)2+2 X(-)3+几 q)n+l,-得,|rn=|l-(|)n-n(1)n+1,F=A/x(扔 一】+(扔,：7 -当=A y曲-1 _尖砂一信 V X (扔-1 0)的焦点尸到准线的距离为2.(1)求 C 的方程：(2)已知O 为坐标原点，点尸在C 上，点。满足花=9 QF,求直线O Q斜率的最大值.【解答】(1)解：由题意知，p=2,.y24x.(2)由(1)知，抛物线 C：V=4x,F(1,0),设点。的坐标为(m,n),则QF=(1-m,-n),PQ=9 QF=(9 9 m,-9n)”点坐标为(10m-9,lOn),将点 P 代入 C 得 1002=40,-36,整理得m=100n2+36 _ 25n2+940=10-n _ 10九 _ 10 工m=25n2+9=25n+1-寸当=3 时取最大值.故答案为：.21.(12 分)已知函数/(x)X3-+ax+1.(1)讨论/(x)的单调性；(2)求曲线y=/(x)过坐标原点的切线与曲线y=/(x)的公共点的坐标.【解答】解：(1)，(x)=3，-2x+a,Z=4-12小当(),即a 8 时，由于/(x)的图象是开口向上的抛物线，故此时/(x)2 0,则/(X)在 R 上单调递增；当 (),即时，令/(%)=0,解得久 上 学 四，X2=1+可二叱令/(X)0,解得“Vxi 或 X X 2,令/(X)-a,求 a 的取值范围.2x 2,x -3【解答】解：(1)当 a=l 时，/(x)=|x-l|+|x+3|=4,-3 x 1,：f (x)6.：.X f -A或 3 V I 或产，Jl-2 x -2 6(4 12%4-2 6.xW-4 或.,不等式的解集为(-8,-4U 2,+8).(2)f (x)=|x-a|+|x+3|2|x-a-x-3|=|a+3|,若 f (x)-a,贝-a,两边平方可得次+6 4+9 /,解得。一家即 a 的取值范围是(一宗+8).