2021年上海市嘉定区高考数学三模试卷（解析版）.pdf

2021年上海市嘉定区高考数学三模试卷一、填 空 题（共 12题，1-6题每个空格填对得4 分，7-12题每个空格填对得5 分）1.已知集合4=-1,2m-1 ,B=m2f若8 G A,则实数加=2.计算:3n+1-llim-no3n+2n3 .若复数z=（1+i）（其中，为虚数单位），则共舸复数=4 .不等式加2%-inx20的解集是.x+y-205.己知x,y满足 x+2y-3 0),测得数据：当 x=l时，y号k；当x=2 时，y=3 Z,求 A,B 两处的光强度，并写出函数y=/(x)的解析式；(2)假设某处的光强度与光源的强度成正比，与到光源的距离成反比，比例系数为常数k(k 0),测得数据：当x=10寸，当 x=2 时，)，=2鼠问何处的光强度最弱？并求最弱处的光强度.20.(16分)在直角坐标系xOy中，直线y=2 x是双曲线C：专-马=1的一条渐近线，点 A(1,0)在双曲线C 上，设 M(?，n)(/0)为双曲线上的动点，直线AM 与 y轴相交于点P,点 M 关于y 轴的对称点为M直线4N 与 y 轴相交于点Q.(I)求双曲线C 的方程；(2)在 x 轴上是否存在一点T?使 得|不+元|=|同|，若存在，求 T 点的坐标；若不存在，说明理由；(3)求 M 点的坐标，使得MPQ的面积最小.21.(18分)对于数列 “，若存在常数M 0 对任意“6N*恒有|斯+1 -编+陶-知-1|十 毋 2-则称“是 y-数列.(1)首项为，公差为d的等差数列是否是“Y-数列”？并说明理由；(2)首项为卬，公比为q的等比数列是否是“丫-数列”？并说明理由；(3)若数列%是 丫-数列，证明：a：也 是 Y-数列”，设&=al+a2+，+an,n n判断数列 4是否是“丫-数列”？并说明理由.参考答案一、填 空 题（1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分）1.已知集合4=-1,2m-1）,若8白4,则 实 数 小=1解:,8 q A,且加2-i,.ni2=2 m-1,.*.m=1.2.3n+1-1计算：n3n+23解:n-8 3 +2 n-0 0 +（2）故答案为：3.3 .若复数z=（1+i）（其中，为虚数单位），则共视复数=-1 -i .解：由已知得,z（1+z）i-l+z,则=-1 -八故答案为：-1 -i4.不等式Irfix-lnx20的解集是（1,e?）解：由 /n2x -lwc2 0 得 09/，即（l n x）2-21n x 0/,解得 l x e 2,0 l n x 2故答案为：（1,e2）.x+y-205.已知x,y满足,x+2y-3 i),直 线/过 的左顶点A交y轴于点P,交 于 点Q,若A O P为等腰三角形(。为坐标原点)，且Q是A P的中点，则 的 长 轴 长 等 于,小 .解：如图所示，设Q (x o,yo).由题意可得：A (-。，0),P(0,。).因为。是4 P的中点，所以西二区，*(x o,yo-a)(-。-x o,-yo),X g ，y Q=-2 2a a _ _ _代入椭圆方程可得：X 解得,椭圆的长轴长等于2匾.2+1=1a x故答案为：2a.个/P10.有大小相同的红、黄、蓝三种颜色的小球各3个，且每种颜色的3个小球上分别标注号码1、2、3,从中任取3个球，则取出的3个球颜色齐全但号码不全的概率是解：反面法：取出的3个球颜色齐全但号码齐全的情况为6种,取出的3个球颜色齐全但号码不全的概率是P=C 3 C 3 C 3-6 1故答案为：411.若圆。的半径为2,圆。的一条弦A B长为2,P是圆。上任意一点，点P满足B P-P Q，则 蒜 诿 的 最 大 值 为10.解：【法一：建系法】如图以A 8中点C为原点建系，则A(-l,0),B(l,0),0(0,愿)，所以圆。方程为 x?+(y-仃)2=4,所以设P(2c os8 ,V3+2sin e),Q(x o,yo),因 为B P-yP QP Q =(XQ-2COS6,y0-V3-2sin 9 )因为cosO e-1,1 ,所以标.而的最大值为10.【法二：投影法】连接0 4,。8 过点。作 O CLAB,垂足为C,则A C 4 A B=Lc osZ O A B ，0A 2因 为 而=yP Q 所 以 下 福 号 足。所 以 又=3 A P-2A B =3 O P-3 0A-2A B-乙 o oA B -A Q =A B (3 0P-3 0A-2A B)=3 A B O P-3 A B O A-2|A B|23 1 A B|O P|c os+3 X 2X 2c osZ 0A B-2X 221 n 100=111 4（当 =14时 有 105个数），由题意可知：若 S,=2+i-2-为 2 的整数基，验证可得：则1+2+（-2-）=0 时，解得=1,总共有（巨号 二+2=3项,不 满 足 2100;1+2+4+（-2-）=0 时，解得=5,总共有（1+5,X 5+3=l g 项,不满足“2100：1+2+4+8+（-2-r i ）=0 时，解得=13,总 共 有&-义+4=95项，不满足 2100；1+2+4+8+16+（-2-/7）=0 时，解得=29总 共 有 豆 篝 72+5=4 4 0 项，满足“2100；的最小值为441所以首次出现的“一对佳数”是（441,29）；故答案为：（441,29）.二、选 择 题（本大题满分20分，共有4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5 分，否则一律得零分）1 3.已知直角坐标平面上两条直线方程分别为Zi：i x+b i y+c i=0,/2：2x+Z?2y+c 2=0,那么al bla 2 b2=0 是“两直线人，2平行”的（)A.充分不必要条件C.充要条件a i b 解：若 =0 则 1 岳-a 2b l=0,a2 b2al bl=0,a 2 b2B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件若 0C 2-a 2c l=0,则/1不平行于/2,若uh/hn,则 a 必 2-政加=0,a,b i故“=0 是两直线八，/2平行的必要不充分条件,a 2 b2故选：B.14.设抛物线y 2=8x 的焦点为F,过点F作直线/交抛物线于A,B 两点，若线段A8 的中点E到 y轴的距离为3,则弦AB的 长 为（）A.等 于 10 B.大 于 10C.小 于 10 D.与/的斜率有关解：抛物线方程可知p=4|A B|=|A F|+|BF|=X 专+X 2号=X 1+X 2+4,由线段AB 的中点后到丫轴的距离为3 得，y（X1+x2）=3./.|AB|=XI+X2+4=10,故选：A.15.曲线y=（s i n x+c o s x）2和直线y=/在轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为尸 2,尸 3,则|尸 2尸 4|等 于（）A.i r B.2T C C.3T T D.4n解：由已知得，y=(s i n x+c o s x)2=l+s i n 2x,令y=l+s i n 2x=-，即 s i n 2x=-，则2x=2k兀或2x=2k兀-三，kez,0 0日 n _ I T E 5兀即x=k 兀或x=k 兀-石彳,依Z,.pp 2q(12 ,12)p f23122 L*&2)故|B P 4|=TT,故选：A.16 .设函数y=/(x)、y=g (x)的定义域、值域均为R,以下四个命题：若y=/(x)、y=g(尤)都是R上的递减函数，则y=/(g (x)是R上的递增函数;若y=f(x)、y=g(x)都是奇函数，则y=/(g (x)是偶函数;若y=/(g (x)是周期函数，贝、y=g(x)都是周期函数；若y=/(g (x)存在反函数，则)，=/(x)、yg(x)都存在反函数.其中真命题的个数是()A.0 B.1 C.2 D.3解：若y=/(x)、y=g (x)都是R上的递减函数，若x i f(X 2)和 g(X I)g(X 2),1V(g(X I )f(g(X 2),则根据复合函数的性质，y=f(g(x)是单调递增函数，正确：若 y=f(x)、y=g 3 都是奇函数，贝丫(-x)=-f(x),g C -x)=-g (x),/(g (-x)=f (-g (x)=(g (x)也是奇函数，不正确；若y=/(g(%)是周期函数，则只需y=g (x)是周期函数即可，错误：若y=/(g(%)存在反函数，y f是-对应的，yg(x)是 对应的，则y=/(x)、y=g(x)都存在反函数，正确.故选：C.三、解答题(本大题满分76分，共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤)1 7 .如图，在四棱雉锥P-A B C。中，已 知 平 面A 8 C O,且四边形4 8 C Z)为直角梯形,ZA B C=ZB A D=9 0 ,A B=A D=A P=2,B C=1,且 Q 为线段 B P 的中点.(1)求直线C 0与尸。平面所成角的大小；(2)求直线C。与平面A O Q所成角的大小.解：(1)以A 8为x轴，A D为y轴，A P为z轴，建立坐标系.A (0,0,0),B (2,0,0),P (0,0,2),。(0,2,0),C (2,1,0)则。(1，0,1),C Q=(-1,-1,1),P D=(0,2,-2)=2(0,1,-1 .设异面直线C Q与P D所成的角为a,则c os a二三 风普,即异面直线C Q与P D所成角的大小为a r c c os乎.(2)设平面A O Q的法向量为W=(u,V,w)，由巧 巴=0,可得所以取正(1,0,7),n-A D=0 2=0设直线C Q与平面A O Q所成的角为仇 则s in B =?厂 史.V2-V3 3即直线C Q与平面A D Q所成角的大小为a r c s in乎.1 8.在 A B C 中，角 A,B,C的对边分别为a、氏 c,且 2c os 2A-B-c os B -s in (A -B)s in B+c os23(A+C)=-.5(1)求c os A的值；(2)若a=4近,b=5,求8和c.解：(1)由2。0$竺 富 。$8-5.1 1 8-8)5.1 1 5+。0 5 内)二-1,N b得c os (A-B)+l c os B-s in(A-B)s in B-c os B=p bQ Q即C Q S(A-B)c os B-s in (A-B)s in B二W，可得C O S(A-B)+B=W，b br 3B P c os A=-z-b(2)由c os A二-0 A b,则A 8,故B 一.4再由余弦定理2=b2+c2-2bccosA,得(4/2)2=52+c2-2X 5 c X 解之得 c=l (c=-7 舍 去).1 9.数学建模小组检测到相距3米的A,B两光源的强度分别为a,h,异于A,B的线段A 8上任意一点C处的光强度y等于两光源到该处的强度之和，设A C=x米.(1)假设某处的光强度与光源的强度成正比，与到光源的距离的平方成反比，比例系数为常数k(A 0),测得数据：当x=l时，y=苧k；当x=2时，y=3 k,求A,B两处的光强度，并写出函数y=/(x)的解析式：(2)假设某处的光强度与光源的强度成正比，与到光源的距离成反比，比例系数为常数k(k 0),测得数据：当x=l时，y=k；当x=2时，y=2Z,问何处的光强度最弱？并求最弱处的光强度.解：(1)由已知，得y+,bkx2(3-x)2所以4+b 3 34 4=a=8,b=l.故 了 丹 +厂 J，x (0,3).=3*(3-x)4(2)由已知，得y=连 七 粤,x 3-xb 5所以 -(3+2 2)(3 x 3-x 3 3-x x 3当且仅当瞪一=2 W =x=6-3亚，J-X X所以当A C=(6-3&)cir时的C 处，光强度最弱为5(3+2亚).O20.(1 6 分)在直角坐标系xO)，中，直线)，=2 x 是双曲线C：4-%=1 的一条渐近线，a bz点 A(1,0)在双曲线C 上，设 M(m,)(W 0)为双曲线上的动点，直线AM与 y轴相交于点P,点 M 关于y 轴的对称点为N,直线AN与 y 轴相交于点Q.(1)求双曲线C 的方程；(2)在 x 轴上是否存在一点T?使 得|不+而|=|笆 若 存 在，求 7 点的坐标；若不存在，说明理由；(3)求加点的坐标，使得AM PQ的面积最小.解:(2)(1)由己知，得。=1,b=2,所以C：x2一 工 二 二 14设 T(xo,0)因为AM：y=-(x_l)m-1 1所以P(0,-V)，AN：y=-m-1n-n rl(x-l)，所以Q(0,-7m+1因 为 京 而=0，所以2 n n“0 m+1 m-l2n2 1m-12因为m2，2所以苫 二 4，故 xo=2,m-1存 在 7(2,0)3)因为 SAMPQ4 3 gnnm+1 m-12 1 I I I 2m I m n乙 m-1 m-124m2 n-2 n4m2W=4-=吟|当且仅当=2 时，取得最小值，此时M 的坐标是（加，2）或 Q历，-2）或（-加,2）或（-&,-2）.21.（18分）对于数列 ,若存在常数M Q 对任意“6N*恒有&+1-m|+|如-加 1 1+如-a ilW M,则称 斯 是“丫-数列”（1）首项为0,公差为d 的等差数列是否是“Y-数列”？并说明理由；（2）首项为0,公比为g 的等比数列是否是“Y-数列”？并说明理由；（3）若数列%是 Y-数列，证明：匕。也 是“Y-数歹J，设A=al+a2+，+an11n 门判断数列 4 是否是“Y-数列”？并说明理由.解：（1）因为%是等差数列，所以。,吐 1 -设|斯+1 -a+an-an-+-+az-即川MWM对一切 N*恒成立，则 d=0,所以J=0 时，等差数列是“丫 -数列”，当”工0 时，等差数列不是“丫-数列”；由 an=a lq n-1,则 an+l an l=la j I,lq-l|,I q11-1 b当 q 1 时，|a“+i-an+an-an-i|+-+|a2-ai|=O.必定存在正数M 符合题意，所以是“丫-数 列 ；当 q-1 时，an+-a,+an-an-+-+a2-a=2na,n-0 0,2n|ai|-*,所以不是Y-数列是当 41 或 g V-1 时,f 8,|n 1|-oo,|a+l-an+an-an.+-+az-所以不是“Y-数列”；当-l q 0 或 0 q l 时，Itzn+i-a,+an-an i|+-+ai-a=l a J I q-l K k l-+口|）=0|d1|（牛悍i1 l-|q|l-|q l必定存在不小于la/J q：的常数M 符合题意,所以是“Y-数列”1-I ql综上，当-lV q 0 或 0 或 q -l 时，不 是“丫-数列”；（3）因 为=-an+an-an-+-+ai-ai+ai|W|a”+i-an+an-i|+-+|a2-ai|+kn|所以I丽 i|+|叫 W 2 （例+|0|）,因为 I a：+-a：|=|-an I -I +an|W|+i|+|a“+i|a+i-（M+|m|）,al t+-af i可得 I a：+a：|+|a：-a：_J+1 a?-a：|2 （A f+|a i|）+-an+an-1|+|。2 -i|W2 M （A f+|a i|）所 以 a：也 是“Y-数 列 ；广1因为r A k =a i+a9+-*-4-+-a-v所b 以“a i+a9+*+ab-ai1 +a92+-t，+av+ik+1k+1|=k（k+l）al+a2+ak-ak+-l=k（k+l）ala2）+2（a2 a3）+3（a3-a4）+，+k（ak-ak+l）k（k：i）（上1-21+2|a2-a3|+3|33-341+-I ak-ak+1 I）-所 以|A i -A 2 I+I A 2 -4|+|4”-A +|lai-a2l（7 7 2 4 7 3+,，+n（n+i）+21 a2 a3 l（-474+,+n（n+i）+31 a3+a/次岛）F l a/a n+J X=I aazl（1-*）+卜2、3|（1-系）+i+l a/an+i 1（1-含）V|a +1 -C ln+an-|+|。2 -|WM,所以 4 是“Y数列”.