2021届高考数学考前热身仿真模拟卷3（含答案解析）.pdf

2021届高考数学考前热身仿真模拟卷（新高考）（三）一、单项选择题（本大题共8 小题，共 40分）1.已知集合4 =%|2-x 6 0,3=x|x-l 0 1 0）的右焦点为尸，两渐近线分别为4：y=-x,/2：y=-x,过/作 人的a r b a a垂线，垂足为M,该垂线交与于点M。为坐标原点，若|O F|=|7W|,则双曲线C的离心率是（）A.V 2 B.C.0 D.2 318.已知函数/（x）=a（x+l）e*-x,若存在唯一的正整数%,使得则实数a 的取值范围是（）二、多项选择题（本大题共4 小题，共 20分）9.习总书记讲到：“广大人民群众坚持爱国奉献，无怨无悔，让我感到千千万万普通人最伟大，同时让我感到幸福都是奋斗出来的”.某企业2 0 1 9年 1 2 个月的收入与支出数据的折线图如图：已知：利润=收入-支出，根据该折线图，下列说法正确的是（）A.该企业2 0 1 9年 1 月至6 月的总利润低于2 0 1 9年 7 月 至 1 2 月的总利润B.该企业2 0 1 9年第一季度的利润约是60 万元C.该企业2 0 1 9年 4 月至7 月的月利润持续增长D.该企业2 0 1 9年 1 1 月份的月利润最大1 0 .下列命题为真命题的是（）A.若 a c2 be：则C.若 a 0,h 0 ,则 N 2。”-a +bB.若a b,则2D.若a A0,则 幽 1I gZ?1 1 .如图，在正四棱柱ABCD-AMGR中，=2 48=2,点 P为线段AR上一动点，则下列说法正确的是（）A.直 线抽平面B C QB.三棱锥P-8 CQ的体积为！C.三棱锥A-8 CQ外接球的表面积为包D.直线产用与平面B C G 四所成角的正弦值的最大值为4212.已知数列 a,J满足：anan=+an,q=l,设,=lna(w N),数列 2 的 前 项和为S”,则下列选项正确的是()(ln 2 0.693,In 31.099)A.数列心,i 单调递增，数歹U%,单调递减B.bn+bn+i 693D.瓦 _、b2n三、填空题(本大题共4小题，共20分)13.已知(2+ur)(l+x)3的展开式中V 的系数为5,贝=.14.已知 s in(a-)=一 3cos(a-),则 tan 2a=.15.已知奇函数/(x)在(0,s)上单调递减，且 f(4)=0,则不等式_vf(x+l)0的解集为.16.已知直线/与抛物线C：V=8 x 相切于点尸，且与C 的准线相交于点T,F 为 C 的焦点，连接P F 交 C 于另一点。，则APTQ面 积 的 最 小 值 为 ;若|T F|=5,则|P Q|的值为.四、解答题(本大题共6小题，共70分)17.在+c?,(2)acosB=b s in A,sin8+cos8=0这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.已知AABC的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,A=-,b=-/2,3(1)求角B；(2)求AABC的面积18.已知数列 a“满足 4+2a2 +34+叫=(-!)2+|+2(e N*).(1)求数列 约 的通项公式；(2)若么=log”,2,则在数列 2 中是否存在连续的两项，使得它们与后面的某一项依原来顺序构成等差数歹 U?若存在，请将这样的两项都探究出来；若不存在，请说明理由.31 9 .如图，已 知 四 棱 锥 的 底 面 为 直 角 梯 形，且满足A 3 C O,B C L A B,4 9 =9,B C =C D =S D =6,S B =1 2,平面S C O J _平面S B C”为线段S C的中点，N为线段上的动点.(1)求证：平面S C D _ L平面4 B C Z)；(2)设4 V =/l N S(/l 0),当二面角CZW N的大小为6 0。时，求；I的值.2 0.在学期末，为了解学生对食堂用餐满意度情况，某兴趣小组按性别采用分层抽样的方法，从全校学生中抽取容量为2 00的样本进行调查.被抽中的同学分别对食堂进行评分，满 分 为1 00分.调查结果显示：最低分为5 1分,最高分为1 00分.随后，兴趣小组将男、女生的评分结果按照相同的分组方式分别整理成了频数分布表和频率分布直方图，图表如下:分数区间 频数1 5 0,6 0)31 6 0,7 0)3 7 0,8 0)1 6 8 0,9 0)3 8 9 0,1 002 0男生评分结果的频数分布表为了便于研究，兴趣小组将学生对食堂的评分转换成了“满意度情况”，二者的对应关系如下:求“的值;分数 5 0,6 0)6 0,7 0)7 0,8 0)8 0,9 0)9 0,1 00满意度情况 不满意一般比较满意满意非常满意(I I)为进一步改善食堂状况，从评分在1 5 0,7 0)的男生中随机抽取3人进行座谈，记这3人中对食堂“不满意”的人数为X,求X的分布列；(I I I)以调查结果的频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取一名学生，求其对食堂“比较满意”的概率.421.己知椭圆C：与+=1(。匕 0)的离心率为0，点(g,夜)在椭圆C 上.A、B 分别为椭圆C 的上、下顶点,a b 3动直线/交椭圆C 于 P、Q 两点，满足AP_LAQ,A H 1.P Q,垂足为凡(1)求椭圆C 的标准方程；(2)求AAB”面积的最大值.22.已知函数 f(x)=-g +lnx.X(1)讨论函数/(X)的单调性；(2)若。=1,证明/(1)e*.X52021届高考数学考前热身仿真模拟卷(新高考)(三)答案和解析1 .【答案】A【解析】解：.集合人=|犬-x-6 领 0 =x|-2 A?3 ,B =x|x-l 0)=x|x l),=3 =(-O O,3.故选：A.求出集合A,B,由此能求出A ljb本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.2 .【答案】C【解析】解：复数(1 -/)2 _ 1 -2 z +i2 _-2i _-2;(1 -i)1 +z -1 +i -T+7-(1+/)(1-/)-2 z +2 rI-/2故选：C.利用复数的运算法则直接求解.本题考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.3 .【答案】D_ 1 2 -.【解析】解：根据题意可得，D M=-D C,B N =-BC,2 3因 为 祐=A A M +juAN,所 以 荏=4(而 +D M)+BN)=A(AD+DC)+(AB+B C)=A A D +D C+A B +-B C =A A D +A B +A B +=-AD,1-/=0 A =-1故(1 一 4 )通=(4 +)而，由平面向量基本定理可得 2,解得 3 ,所以4 +=L2 32 +=0 =5 2I 3 I z故选：D.利用为CD的中点，点N满足 的=2 N C，得到=一。己 丽=一 8。，再将等式AB=A A M+j u A N转化成AB,A D2 3的关系，从而得到4,的方程，求解即可.本题考查了平面向量基本定理的应用，涉及了平面向量的数乘和线性运算，用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.4.【答案】C【解析】解：根据题意，分 3 步进行分析:在4名记者中任选2 人，在 3 名摄影师中选出1 人，安排到“云采访”区域采访，有 C；C；=1 8 种情况,在剩下的外2 名记者中选出1 人，在 2 名摄影师中选出1 人，安排到“汽车展区”采访，有 C；C；=4种情况,将最后的1 名记者和1 名摄影师，安排到“技术装备展区”采访，有 1 种情况，则有1 8 x 4 =7 2 种不同的安排方案，6故选：c.根据题意，分3步进行分析：在4名记者中任选2人，在3名摄影师中选出1人，安排到“云采访”区域采访，在剩下的外2名记者中选出1人，在2名摄影师中选出1人，安排到“汽车展区”采访，将最后的1名记者和1名摄影师，安排到“技术装备展区”采访，由分步计数原理计算可得答案.本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题.5.【答案】B【解析】解：因为/(-x)=/(x),所以/(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除C与D因为f(三)=二-,0,所以排除A,故选：B.6 36 2利用函数的奇偶性排除选项C和力；通过特殊值排除选项A,即可推出结果.本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及特殊点的位置是常用方法，是基础题.6.【答案】A【解析】解：.500加高空处的大气压强是700?Hg,./(X G O产，即产=强70当=1 000m 时，有 v =76O e-1 000*=760.(1)2=760 x(静=645.故选：A.由题意知，700=760”5 0求出100的值，再代入 =760/板中，求得p的值，即可.本题考查函数的实际应用，熟练掌握指数的运算法则是解题的关键，考查学生的运算求解能力，属于基础题.7.【答案】D【解析】解：由题意,F(c,0),-FM L l f kFM则 直 线 的 方 程 为 丫 =-凶(-0),b b联立by=xay=(x-c)b解得2acx=-a/r,得 N(abc一亦,a2_b2)，.b2=c2-a2,;.|F N|=J(c-cr-h2)+(汴abc)2(c2-a2)c4.1 OFHFNI，；.c=J(c；a?c；,整理得4/=3。2,BPe=-=,(2 a2-c2)2 a 3故选：D.由已知求得FM所在直线方程，进一步求得N点坐标，再由两点间的距离公式结合|OF|=|FN|列式求解双曲线的离心率.本题考查双曲线的几何性质，考查运算求解能力，是中档题.8.【答案】C7【解析】解：函数f(x)=a(xl)ex-x,因为存在唯一的正整 数/，使得/(x J v O,即存在唯一的正整数x,使得a(x+i)2,ex令/i(x)=a(x +l),g(x)=/，问题即转化为存在唯一的正整数x,ex使得 h(x)g(x),g (x)=L ，令 g (x)=O,解得 x =l,所以g(x)在(-o o,l)上为单调递增函数，在区间(1,+o o)上为单调递减函数,所以 g(x)3 =g6=,，(*)=。+1)过定点。(一 1,0)，e当()时，有无穷多个x的值使得/?(x)0 时，函数(x)单调递增,由图象可以分析得到只有正整数X =1 使得/?(x)g(x),2i o )令 4 1(町)则 不二，AB二 一相=22-(-1)3/山图可知,实数”的取值范围为之,-k3/2e故选：C.构造新函数(x)=a(x+l),g(x)=，将问题转化为存在唯一的正整数x,使得(x)b c 则故A正确：对 于 C：若。0,%0,根据不等式中算术平均数和调和平均数的关系，则/区成立，故 C正确；a+h对于：由于所以l ga l g，整 理 得 画 1,故。错误.l g b直接利用不等式的性质和对数的性质的应用判断A、8、C、。的结论.本题考查的知识要点：不等式的性质，对数的性质，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题.11.【答案】AB【解析】解：作辅助线如图.对于A,因为A R B q ,/AB,I I D C,I I,所 以 平 面/平面8 C Q ,u 平面A QR从而直线尸片平面BCQ,则 A对；对于B,由4知，平面4 q R 平面8G。，P点 在 平 面 所 以r-0BCC Dz =AA-OBVC|DU =CV ABD =3 2 l l,2 =3 ；则 B 对；对 于 C,三棱锥R-BG。外接球的半径R =g.A G =g7 12+l2+22=g 底,所以三棱锥R-80。外接球的表面积为5 =4 万炉=4 万卡f=6 万，则 C错;对于D,因 为 当 J.AR时，耳尸最短，此时直线P Bt与平面BCGg 所成角的正弦值的最大，先用等面积法求BtP ,B,P.#77=护+2 2 +(争&=B f =栏 n 直 线 段 与 平 面 B C C 内所成角的正弦的最大值为金=招则。错；故选：AB.根据平行平面判断A,用等体积法判断B,求外接球表面积判断C,求线面成角判断D本题以命题的真假判断为载体，考查了立体几何中线面平行判定，考查了面积与体积计算，属中档题.12.【答案】ABC【解析】解：因为4=1,a,l+la =l +an,所 以.=色 立 即 限=出 以，4,a”+1令 g(x)=3 1 I,则 g，(x)=_J_o,所以 g(x)单调递增，x+1 (x+l)2所 以 巴 乜 乜 0,所以%,),小一 都单调，n an 29又因为%4 所 以&,1 单调递增，%“单调递减，故 4 正确;欲证 bn+b+l=In a+In an+t=ln(aa+l)In 3,即 an-a+l 3,即+L,3，即 an 2，由。的=4 8，上式可化为4工1,2,即.，a%显然=2 时，4=1,当.3 时，an,=a-+1 ,故 a-1 成立,an-2所以原不等式成立，故 8 正确，因为 4 e 1,2，所以 anall+i=an(1+)=an+1 e 2,3,所以2+d+i eln2,ln3 S2020.10101n2 6 9 3,故 C 正确;因为以空，若“竽则 2-4，若%,与 1，则%“2=2-一 2 目一=”2 2a2n+1 V5+1 22由数学归纳法,/“.I 史;1 ,则。2 一 1。2“，b2n一 /3【解析】本题考查三角函数关系式的恒等变换，属于基础题型.直接利用三角函数的关系式的变换和应用求出结果.【解答】Jr T T解：由于 sin(a )=-3cos(-),366 3G 3.cos a=-cos a sin a2 2 2所以Lin a-2整理得 gcosa=-2 sina,所以 tana=-,2则 tan2 a=-473,1 -tana故答案为-46.1 5.【答案】(-5,-l)(J(0,3)【解析】解：奇函数/(x)在(0,+oo)上单调递减，且/(4)=0,/./(%)在(-oo,0)上单调递减，且/(-4)=-/(4)=0,.,.当 x Y 或 0 c x 0,当 Y x 4 时，/(%)0 等价于x0 fx0 或 伍 X +1)0 J x0 x+l V或 0 x+l 4 -4 尤+1(0或x+l)4解得0 x 3 或 5 x 0 的解集为(-5,-l)|J(0,3).故答案为：(-5,-l)|J(0,3).先确定函数/(x)在(-oo,0)上单调递减，且/(-4)=0,再将不等式等价变形，即可得到结论.本题考查函数单调性与奇偶性的结合，考查学生的计算能力，属于基础题.1 6.【答案】1 6 2【解析】解：设直线PQ的方程为x=y+2(恒过定点尸(2,0)与 抛 物 线 联 立 卜+y=8x可得y?-8 利 一1 6=0,所以=6 4/+64 0 恒成立，设尸(西,弘)，。(，为)，则 有 凹+必=8，必=一1 6,设抛物线在点尸处的切线为=阳+八 与 抛 物 线 方 程 联 立 可 得 犬-8冲-8r=0,y=8x切线与抛物线只有一个公共点，所以A=64+32 f=0,解得r=-2，2方程可变为y?-8 9+1 6=0,故 y=4相，所以“=/=一 十抛物线在点P 处的切线为x=&y-至，4 8112A=y-同理抛物线在点。处的切线方程为x =&y-%,将两条切线方程联立可得 4 8,4 8 丫_ 必丫T.”=-2解得 8,所以两条切线的交点为(-2,4)，在准线x =-2上，故该交点即为点T,产 入&=4“2设点7到直线P0的距离为d,将直线PQ写成一般式即x-y-2 =0,故d -4|=4行1,V n2+11 1 i-2所以 s.TP Q=-p Q d=2X8(2 +1)X 4+1=16(n2+1)2,所以当 =0时，S TP Q 有最小值 1 6,点 T 的坐标为(一2,4)，F(2,0),所 以 蜂=，1 6 1+1 6 =5,所以 1 6/+1 6 =2 5 ,即 8/=2,2 PQ=P F +Q F =(xt+2)+(%+2)=(乂 +4)+(n y2+4)=(必 +%)+8 =8/+8 ,所以*81+8=1.故答案为：1 6；y.设出直线PQ的方程与抛物线联立,设抛物线在点P处的切线方程与抛物线联立，利用切线与抛物线只有一个交点，得到得f =-2射的关系，同理求出抛物线在点。处的切线方程，联立两条切线方程，两条切线的交点为(-2,4)，在准线x =-2上，故该交点即为点T,然后利用点到直线的距离公式求出三角形的高，把三角形的面积表示出来求解最值即可，然后将PQ表示出来即可得到答案.本题考查了抛物线的综合应用，涉及了直线与抛物线位置关系的应用、抛物线定义的应用、点到直线距离公式的应用以及韦达定理的应用，综合性强，计算量大，对学生有较高的要求，属于中档题.17.【答案】解：(1)若选，由余弦定理得，cosB=m=也 吧 力,2a c 2a c 2因为3 c (0,)，所以B=工.4若选，由正弦定理知，=2/?,s i n A s i n B s i n C因为 6/c o s B=s i n A,所以 s i n Ac o s B=s i n Bs i n A，又 A w (0,所 以 s i n A 0,所以 c o s Z?=s i n B,又 8w(0,%),所以 ta n B=l,即 3 =军.4若选，由 s i n 8+c o s B=0 得，V2 s i n(B+-)=/2 ,4所以 s i n(5n )=1,4又 8(0,1)，所以 8+生(,色),4 4 4所以3+工=工，解得3 =工.4 2 412(2)由正弦定理得,b ,s i n A s i n B又 A=工，b=/2 ，3f e s i n A所以=-s i n BB=J4百X-C二I 一噢2匚 匚 I、.5万 .,冗 冗、.7 1 n 7 1.n V6+V2所 以 s i n C =s i n =s i n(F)=s i n c o s +c o s s i n=-，12 4 6 4 6 4 6 4所以 S A8c =a b s i n C =x6 x夜+“8c 22 4 4【解析】(1)若选，由余弦定理即可得解；若选，利用正弦定理将将a c o s 8=b s i n A中的边化为角，可求得ta n 8的值，从而得解；若选，结合辅助角公式可推出s i n(B+)=l,再由3(0,万)，即可得解：4(2)由正弦定理求出。的值，由正弦的两角和公式求出s i n C,根据S =Iq b s i n C ,即可得解.2本题考查解三角形与三角恒等变换的综合应用，熟练掌握正弦定理、余弦定理、正弦面积公式与正弦的两角和公式是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.18.【答案】解：(1)由题意，得 q+2 4+3%:-Fi i c in=(7?-1),2/H1+2 ,当.2 时，%+2%+3%4-F (九 I)。,1 =(-2)2 +2 ,两式相减，得也=5-1)-2 向一(一2)-2，即4=2.当刃=1 时,4=2,也满足上式，所以数列 的通项公式凡=2 .(2)2 =康1=1 n法一：4=1,%=g，显然不适合；b2=9 4=g适合,即伪=1,b3=-,4,=,构成公差为-，的等差数列；2 3 6 64=1,仇 适合，-3 4即a=1,b,d=1 构成公差为-，的等差数列；3 4 6 6 12当.4 时，假设2，%,*伏.2)成等差数列,则超向=b+b+k-口 n ,.2 1 n 1即 b p=2%-b,=-y-=-z n+1 n+乙 +2 +-n-137而当.4 时，上 任 N ,所以么以不是数列 2 中的项，n-所以当.4时：不存在连续两项，使之与数列后面某一项依原顺序成等差数列.综上，仇,4 和4，适合条件.法二：4=1,2=g显然不适合;当儿.2 时,设 3%,优+人.（丘.2）成等差数列，则纥=2+2+北，2 1 1 2即=+,解 得 =2 +.n+n n+k n 1当 =2 时，k=4,则 =,h.=,年=1构 成 公 差 为 的 等 差 数 列；当”=3时，k=3,则仇=L h4=,亳=工构成公差为-上的等差数歹I；3 3 4 6 6 1 2当儿.4时,上 任 N*,则/N ,所以4+卜不是数列 中的项,n-所以当九.4 时，不存在连续两项，使之与数列后面某一项依原顺序成等差数列.综上，b2,仇和打，打适合条件.【解析】（1）直接利用数列的递推关系式和已知条件建立等量关系，进一步求出数列的通项公式；（2）直接利用尝试法进行判断.本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法及应用，验证法在数列中的尝试，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题.1 9.【答案】证明：（1）。=8.1 5。为等腰三角形.又为SC 的中点，:.DMSC.又.平面SCD 平面S B C,平面SC）n 平面SBC=S C且D M u平面SCD,由平面与平面垂直的性质定理可知，D M I 平面SBC.又 .B Cu平面S B C,由直线与平面垂直的性质可知D M A.BC,又 TB C L C D,D M P D C =D,DWU平面 SC。，CD u平面 SC D C D JL 平面 CDS,.-BC u 平面 S C D,又.B C u 平面 A B C D,平面 SCD 平面 ABCD.(2)(方法一)由可知，8 c，平面SDC,:.BCSC.在 中，SC=ySB2-BC2=71 22-62=V1 08=63.在AS/)C中，由余弦定理可知，cos N S D C=SD+D U-S C-2SD-DC62+62-(6 )2 _ 12 x6x6 2 N S D C G(0,l 8 0 ),Z S D C=1 2 0.过点N作 N GJ_C。于点G,G 为垂足，则 N G3C,143C_L平面 SCO,.NGJ_平面 SCQ,DMu平面SCO,.。0_1可 6.过点6 作6 度_1_00于点长，K 为垂足,-.-DM YG K,DM IN G,NGp|GK=G,:.DM 1,NGK.又 ：N K u 平面 NGK,;.D M L N K,NGKN即为二面角C DM-N 的平面角，在 Rt NGK 中/NKG=&）,tan 60=,.GK=4=2 后，4 GK GK C在 Ri DKG.ZKDG=60,sin 60=,DG=-=4,DG DG J iTAN 7.GC=CD-D G=6-4 =2,:.NB=GC=2,AN=A B-N B =9-2 =7,:.A=-.NB 2（方法二）由（1）可知，3 c d.平面 SCC,.3C_LSC在 RMSCB中，SC=ylSB2-B C2=x/122-62=6 ,在ASDC中，由余弦定理可知cos NSDC=S D DC?-S C=+6-伊 后=一!，2SD D C 2x6x6 2NSDC e（0,l80）,.-.ZSDC=120,过 s 点作线段CO的延长线的垂线，垂足为。，.Z.SDC=1 2 0 ZSDO=60,:.OD=-S D =3,，OC=9,2四边形ABCO为矩形.由平面S 8 _ L 平面4BCZ）可知，SO_L平面ABCO以 OA所在直线为x 轴，0 C 所在直线为y 轴，OS所在直线为z 轴建立空间直角坐标153 3万设 A2 V =a(a 3),则 N(6,0),而=(6,一 3,0),D M=(0-,)，2 2f 勺.D N =6x+(a-3)y=0设平面 M N 的法向量4 =(x,y,z),由 _ a%、八,令 z=6，得 =一3,%=，DM=y+z=0 2.同=(丁,一3,百)，又.平面CZW的法向量1 =(1,0 又),.|c os n,n2)|=2-=c o s6 0。=,-=,6 卜 1%1 3(尸+9 +3 2(,)2+12 44(=)2 =(一)2 +12.-.3(二)2 =12,.(一)2 =4,2 2 2 2-.-a 3,二巴巨=2,.-.a =7 ,即 4 V =7,N B =A B-A N =9-1=2,.-.2 =-.2N B 2【解析】(1)证明D W _L S C.推出D W _ L 平面S B C.D W _ L B C,结合8 C _L C ),推出C D _L 平面C Z)S,然后证明平面 S 8 _ L 平面A B C D(2)(方法一)求出N S C =12 0。.过点N作 NG_L 8 于点G,G为垂足，则 N G B C ,点 G作 G K _L DM于点K,K为垂足，连接N K.说明NGKN即为二面角C-DM-N的平面角，通过求解三角形推出结果即可.(方法二)以。4 所在直线为x 轴，0C所在直线为)，轴，O S 所在直线为z轴建立空间直角坐标系.求出平面。MN的法向量，平面C M 的法向量利用空间向量的数量积求解”，然后转化求解4即可.本题考查直线与平面垂直的判断定理以及平面与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力.2 0.【答案】解:(I)因为(0.0 0 5+4 +0.0 2 0+0.0 4 0 +0.0 2 0)x10 =1,所以 a=0.0 15.(H)依题意，随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.尸。)=等*，=等*，P(X=2)=等*-3)=等得所以随机变量X的分布列为:X0123P12 092 092 012 0(I H)设事件A=随机抽取一名学生，对 食 堂 比较满意”.因为样本人数2 0 0 人，其中男生共有8 0 人，所以样本中女生共有12 0 人.由频率分布直方图可知，女生对食堂“比较满意”的人数共有：12 0 x 0.0 2 0 x10 =2 4 人.16由频数分布表，可知男生对食堂“比较满意”的共有16人，二24+口 16二200 5所以随机抽取一名学生，对食堂“比较满意”的概率为P(A)=L【解析】(I)利用频率分布直方图列方程，能求出a(H)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3,分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X 的分布列.(III)设事件A=随机抽取一名学生，对 食 堂 比较满意”.因为样本人数200人，其中男生共有80人，从而样本中女生共有120人.由频率分布直方图可知，女生对食堂“比较满意”的人数共有24人.由频数分布表，可知男生对食堂“比较满意”的共有16人，由此能求出随机抽取一名学生，对 食 堂“比较满意”的概率.本题考查频率、离散型随机变量的分布列、数学期望、概率的求法，考查频率分布直方图、超儿何分布、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.a 321.【答案】解：(1)由题意可知a2=b2+c2所以椭圆C 的标准方程为三+t=1；6 4(2)由题意知尸Q 的斜率存在，设直线PQ 方程为y=其中加*2,y=kx-mJ ,消 y 得(3公+2)/+6 热 +3川-12=0,6 4设尸(与,弘)，Q(x29y2),贝”王+工2=一3疗 123公+2%3)+2v APA.AQ,AP-AQ=x1x2+(必 一 2)(y2-2)=xx2+(kx】+m-2)(kx2+机 -2)=(k2+1)玉/+%(加一 2)(x,+x2)+(m 2)2=0,n n z,2 八 3?212，/-6km/八 2 八即(k+1)-k(m-2)-+(in-2)-=0,3公+2 3+2即*+1)(3m+6)-6k2m+(m-2)(3-+2)=0,利w2,.,.a2+1)(3m2 -12)-6k2m(m-2)+(tn-2)2(3k2+2)=0,o3k2m+6k2+3/n+6-6k2m+3k2m+2m-6k2-4 =0,:.m=一一，满足 A 0，5设 PQ所过定点。，AH，PQ,.点”在以A。为直径的圆上，17面积的最大值S=“4B|x四l=、4x2 2 21 22【解析】(1)由题意可知J3a 33 24+4=i,解得即可求出;a ba2=b2+c27(2)设直线P。方程为了=履+加，根据韦达定理，以及APJ.A。，可求出m=-：,再根据AM 的几何意义,根据面积公式即可求出.本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到交点坐标、点在椭圆上与点的坐标与椭圆的方程得关系基础知识与基本技能，考查了分析问题和解决问题的能力、推理能力和计算能力.2 2.【答案】解：(1)f(x)的定义域为(0,+oo),/、x+aJ w =当a.O时，f()0 在(0,+00)上恒成立所以f(x)在。+00)上单调递增,当 a0 时，xw(O,-a)时，/(x)0,/(x)单调递增,综上，当a.O时，f(x)在(0,+oo)上单调递增,当时，/(x)在(0,-“)单调递减，/(x)在(-a,+8)调递增.(2)当 a=1 时，f(x)=+lnx,X令 g(=/(-)一 (一，)，X (。，+0)，X贝 I g(x)=-x-ln x +e*，g(x)=l+e,X令/i(x)=-1 +ex,x e(0,+oo),Xh(x)=4 +e*0恒成立，x所以/?(%)在(0,-H)上单调递增，因为(；)=一3+&0,所以存在唯一的/c d )，使得(%)=-1-+*=0,2即 阳=1+X。当xe(O,x。)时，/z(x)0,即 g(x)0,即 g (x)0,所以 g(x)在(x 0,+o o)上单调递增，所以 g(X)m i n =g(%)=一X。一 l n%+e ,把代入得 g(x()=-x()-l n x()+1 H ，(,1),X。211设夕(x)=-x-l n x+l+,XG(,1),则(p (x)=-1-7-0 =1 0 因为 X。(；,1)，所以 0(%)0 ,即 g 5)0 ,所以 g(x)0 ,所以 a =l 时，X【解析】(1)f(x)的定义域为(0,e)，对/(X)求导得，(x)=2，分两种情况当a.o时，当a。，即可.XX本题考查导数的综合应用，解题中注意分类讨论，转化思想的应用，属于中档题.19