2021年全国统一高考数学试卷（理科）（甲卷）（学生版+解析版）.pdf

2021年全国统一高考数学试卷（理科）（甲卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5 分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。11.（5 分）设集合 M=R0VxV4,N=x-x 5 ,则 M G N=（）I 1A.x|0 x B.x-x4 C.x|4WxV5 D.x|00,乙：%是递增数列，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8.（5分）2 0 2 0 年 1 2 月 8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 8 4 8.8 6（单位：机），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A,B,C三点，且 4,B,C在同一水平面上的投影4 ,B,C满足乙4 C B，=4 5 ,Z A B C=6 0 .由 C点测得B点的仰角为1 5 ,3 9 与 C C的差为1 0 0；由 B点测得A点的仰角为4 5 ,则A,C两点到水平面ABC的高度差A 4 1-C C 约为（X V 3 1.7 3 2）A.3 4 6B.3 7 3C.4 4 6D.4 7 39.(5 分)若 ae(0,小tan2a=昌 皋，则 tana=()715A.15V5 V5 15B.C.D.-5 3 310.（5 分）将 4 个 1和 2 个 0 随机排成一行，则 2 个 0 不相邻的概率为（）132523A.B.C.D.4511.（5 分）已知A,B,。是半径为1的球O 的球面上的三个点，且 ACLBC,AC=BC=1,则三棱锥O-A8C的体积为（）V2 V3 V2 V3A.B.C.D.12 12 4 412.（5 分）设函数f（x）的定义域为R,/（x+1）为奇函数，/（x+2）为偶函数，当 在 1,C 92 时，f （x）=ax2+b.若/（0）+f（3）=6,则/（鼻）=（）9 3 7 5A.-7 B.-5 C.-D.-4 2 4 2二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分。13.（5 分）曲线），=得 在 点（-1,-3）处的切线方程为.14.（5 分）已知向量Q=（3,1）,h=（1,0）,c=a+Ab.若。_ 1_。，则 k=.x2 y2 _15.（5 分）已知尸1,故 为椭圆C：+=1 的两个焦点，P,。为 C 上关于坐标原点对16 4称的两点，且|尸。|=尸 1 尸 2|,则四边形PFIQF2的 面 积 为.16.（5 分）已知函数/（x）=2cos（3x+0 的最小正整数x 为.三、解答题：共 7 0 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1 7-2 1 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60分。17.（12分）甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了 200件产品，产品的质量情况统计如下表：一级品二级品合计甲机床 15050200乙机床 12080200合计 270130400(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？(2)能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？2附.玄=_ _ _ _ _ a d 儿)_ _ _ _ _ _叫,A(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P0.050 0.0100.001k3.841 6.63510.82818.(12分)已知数列 所 的各项均为正数，记品为”“的前项和，从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立.数列”“是等差数列；数列 房 是等差数列；s=3 m.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.19.(1 2 分)已知直三棱柱A B C-4 8 1 cl中，侧 面 AA1818为正方形，A B=B C=2,E,F分别为AC和 C C 的中点，。为棱4 5 1 上的点，BFYA B.(1)证明：BFVDE-,(2)当 为 何 值 时，面 BBCiC与面OFE所成的二面角的正弦值最小？20.(12分)抛 物 线 C 的顶点为坐标原点O,焦点在x 轴上，直线/：x=l 交 C 于 P,。两点，且 O P L O Q.已知点M(2,0),且0 M 与/相切.(1)求 C,O M 的方程；(2)设 Ai,42,43是 C 上的三个点，直线AM2,4 4 3 均 与 相 切.判 断 直 线 AM3与。例的位置关系，并说明理由.21.(12 分)已知 0 且 函数f (x)=胃(JC 0).(1)当4 =2时，求/(X)的单调区间；(2)若曲线y=/(x)与直线y=l有且仅有两个交点，求。的取值范围.(二)选考题：共 10分。请考生在第22、2 3 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修4-4：坐标系与参数方程(10分)2 2 .(1 0分)在直角坐标系x O y中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为p=2 V 2 c o s 9.(1)将C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点A的直角坐标为(1,0),M为C上的动点，点 满 足 前=/4%，写 出P的轨迹C的参数方程，并判断C与。是否有公共点.选修4-5：不等式选讲(10分)2 3 .已知函数f (x)=|x-2|,g(x)=|2 x+3|-|2 x-1|.(1)画出y=/(x)和y=g (x)的图像；2021年全国统一高考数学试卷（理科）（甲卷）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5 分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。11.（5 分）设集合 M=x 0 V x 4 ,N=x|-M v W 5 ,则 M C N=（）1 1A.x|0 x B.x x 4 C.x|4 W x 5 D.x 0 x W 5J 31 1【解答】解：集合 M=x 0 V x 4 ,7 V=（x|-x 5 ,则 MCN=口号 M x 6.5 万元，故选项 C错误；对于D,家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的频率为（0.1+0.14+0.2+0.2）X 1=0.640.5,故估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间，故选项D正确.故选：C.3.(5 分)已 知(1-z)2z=3+2i,则 2=()3 3 3A.-1-引 B.-l+R C-【解答】解：因 为(1-z)2z=3+2f,3+2i 3+2i(3+2i)i-2+3i-3.所以故选：B.D.-i4.（5 分）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据丫满足L=5+lgV.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为)(1710 1.259)A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6【解答】解：在 L=5+/gV中,=4.9,所以4.9=5+解V,即/gV=-0.1,解得 V=10 0 1=-4T=UES-0.8.10u l llV10 L259所以其视力的小数记录法的数据约为0.8.故选：C.5.（5 分）已知为，放是双曲线C 的两个焦点，尸 为 C 上一点，且/FIPF2=60,|PFi|=3|P F 2|,则 C 的离心率为（）0,乙：8 是递增数歹则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【解答解：若 g=7,q=l,则S =w i=-，则 S,是递减数列，不满足充分性;；S，=言（/），则%+1=3（1 -q +D,1 Q*.5n+l -S n=（qn-q+l）=aqn,若 S”是递增数列，；.S +i -S n=a W 0,则 a i 0,q0,满足必要性，故甲是乙的必要条件但不是充分条件，故 选:B.8.（5 分）2 0 2 0 年 1 2 月 8 日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为884 8.86（单位：n）,三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A,B,C 三点，且 A,B,C 在 同 一 水 平 面 上 的 投 影B,C 满足N 4C B，=4 5,ZA BC=6 0Q.由 C 点测得8 点的仰角为1 5 ,BB，与C C 的差为1 0 0；由 B 点测得A点的仰角为4 5 ,则A,C 两点到水平面A 5 C 的高度差A 4-C C 约为（）（7 3 1.7 3 2）A.3 4 6 B.3 7 3 C.4 4 6 D.4 7 3【解答】解：过 C 作 C/_ L88 于 H,过 8 作 3 M _ L 4 4 于 M,则NBCH=1 5 ,BH=10 0,Z A B M=4 5 ,C H=C B,A B=B M=A M,BB=M A ,Z C1 4 B=7 5.t a n Z f i C/f=t a n l 50 =t a n(4 5-3 0 )=2 -V 3,s i n 7 50 =s i n(4 5l+tan450tan300+3 0。”患+3D U则在 R t Z BCH 中，C H=+TS=100(2+B),：.C B=1 0 0 (2+遮)tCLTlZ-DC npf在4 B C 中，由正弦定理知，A B=.sinA CB=1 0 0 (V 3 +1),sin乙C A BAM=1 0 0(V 3+1),AA-CC=AM+BH=OO(V3+1)+100373,故选：B.V15A.15cosa2 sinaf则 tana=(B.一5V15c.在3)sin2a cosa【解答】解：由t a n 2 a=3,得L-SLTLC Ccos2a 2-sina2sinacosa cosa即-=-:，l-2sina 2-sinanVaE(0,),.cosaWO,2则 2sina(2-sina)=1 -2sin2a,解得 sina=.sinatana=-cosa则 cosa=V1 sin2 a=j _715故选：A,10.（5 分）将 4 个 1和 2 个 0 随机排成一行，则 2 个 0 不相邻的概率为（）12 2 4A.-B.C.一 D.一3 5 3 5屋【解答】解：4 个 1 和 2 个 0 随机排成一行，共 有 丹 =15种，2 个 0 不相邻，先将4 个 1 全排列，再用插空法将2 个。放入共有量=10种,10 2故 2 个 0 不相邻的概率为1=15 3故选：C.11.（5 分）已知4,B,C 是半径为1 的球O 的球面上的三个点，SLACLBC,AC=BC=l,则三棱锥。-ABC的体积为（)【解答】解：因为ACLBC,A C=B C=,所以底面ABC为等腰直角三角形，所以AABC所在的截面圆的圆心0 为斜边AB的中点，所 以。平面ABC,在 RtZSABC 中，AB=/AC2+BC2=V 2,则4。=竽，在 RtAOOi 中，0。1 =。4 2 一力。1 2=苧，故三棱锥O-A B C 的体积为V=1 SMBC 由(2，的 则 a (a +kb)=a2+ka-b=32+l2+)l*(3X 1 +1X0)=10+3&=0,解得仁-孚故答案为：-学 x2 y215.（5分）已知为，尸 2为椭圆C：工+二=1 的两个焦点，P,。为。上关于坐标原点对16 4称的两点，且|尸。|=尸 1五 2|,则四边形P F 1O F 2的 面 积 为 8 .【解答】解：因为尸，。为 C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|=|FIF2|,所以四边形PFI。尸 2为矩形,设尸|=w，PF2=n,由椭圆的定义可得|乃|+|巴切|=机+=2。=8,所以 /+2?+，尸=6 4,因 为|尸 产|2+干 尸 2|2=尸|尸 2|2=4,2=4 (a2-b2)=4 8,即?M2+H2=48,所以mn=S,所以四边形PFQFi的面积为尸 1|五 2|=加=8.故答案为：8.16.(5 分)已知函数f (x)=2c o s(3x+(p)的部分图像如图所示，则满足 条 件(/(x)-/(一竿)(/(x)-/号)0 的最小正整数x为2.【解答】解：由图像可得。7 =.兀 一；即周期为7 1,4 12 3(/(%)-/(一等77r)(/(x)/(号47r)o,T=n，观察图像可知当x/，f(%)V&)，/(%)据此可得，当时，an=Sn-Sn-i =n2ax (n l)2ax=(2 n l)a当=1时上式也成立，故数列的通项公式为：an (2/J-I)为何值时，面8 8 1 c l e与面。F E所成的二面角的正弦值最小？【解答】(1)证明：连接AF,V E,尸分别为直三棱柱ABC-Ai Bi Ci的棱A C和CC1的中点，且AB=BC=2,：.CF=,BF=V5,VBFl Ai Bi,A B/A B,J.BF1A B,：.A F=y/A B2+BF2=b+忖=3,A C=y/A F2-CF2=V32-l2=2 VL：.A C2=A fi2+BC2,即 BA L BC,故以8为原点，BA,BC,8 8 1所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(2,0,0),B(0,0,0),C(0,2,0),E(1,1,0),F(0,2,1),设 8 i =机，则 D(w,0,2),J.BF=(0,2,1),防=(1 -机，1,-2),：.BF-DE=0,B|J BF1DE.(2)解：平面 BBiCiC,.平面 BB1C1C 的一个法向量为4=(1,0,0),由(1)知，DE=(1-W,1,-2),EF=(-,1,1),设平面QEF的法向量为蔡=(x,y,z),则 件 呼 1 =,即丁)j +y.=0,n-E F =0 I+y+z=。令 x=3,贝|y=m+l,z=2-m,An=(3,机+1,2-m),.、m-n 3 3 3.cos =1 =,.=，MH 兀 I lxj9+(m+l)2+(2-m)2 J2m2-2m+14 J2(m-i)2+.当时，面 BBiCiC与面。FE 所成的二面角的余弦值最大，此时正弦值最小，故当BiD=/时，面 BBiCC与面OFE所成的二面角的正弦值最小.20.(12分)抛 物 线 C 的顶点为坐标原点0,焦点在x 轴上，直线/：x=l 交 C 于 P,。两点，且 OPLO。.己知点M(2,0),且0 M 与/相切.(1)求 C,O M 的方程；(2)设 4,A2,43是 C 上的三个点，直线4A2,A1A3均与O M 相切.判断直线AM3与0 M 的位置关系，并说明理由.【解答】解：(1)因为x=l 与抛物线有两个不同的交点，故可设抛物线C 的方程为：/=2px(p 0),令 x=l,则y=y/2pf根据抛物线的对称性，不妨设P 在X轴上方,Q 在X轴下方，故P(l,历),Q(l,-履),因为 OP_LOQ,故1+历 x(-历)=0=p=抛物线C 的方程为：)2=x,因为O M 与/相切，故其半径为1,故。M：(x-2)2+/=1.(2)设 Ai(xi,yi),A2(X2,”)，A3(工 3,y3).当Ai,A i,A3 其中某一个为坐标原点时(假设Al 为坐标原点时)，设直线4 A 2 方程为fc v-y=O,根据点M(2,0)到直线距离为1 可得彳 鼻 =1,解得仁 士 手，联立直线4A 2 与抛物线方程可得x=3,此时直线4M3 与0M的位置关系为相切，当4,A i,A3 都不是坐标原点时，即xi W x2 W x3,直线A1 A2 的方程为x-(yi+”)y+yi”=0,同理，由对称性可得，(郭一 1)呼+2 yl y3 +3 无=0,所以”，*是方程(y：-1)/+2 丫江+3-资=0的两根，依题意有，直线A2 A3 的方程为x-(2+y3)y+)2 y3=0,g 、2 (2+尝)令M到直线A2 A3 的距离为d,则有d 2 =十2y32=上、=1,1+3+丫 3）1+（肃）此时直线A M 3 与O M的位置关系也为相切，综上，直线A M 3 与O M相切.2 1.(1 2 分)已 知。0 且 a Wl,函数/(x)=,(x 0).(1)当 4=2 时，求/(x)的单调区间；(2)若曲线y=/(x)与直线y=l 有且仅有两个交点，求”的取值范围.【解答】解：a=2 时,f(x)=,F_ 2 x 3 2 2,2 _ _ 2*2)_ 仇2(焉 r)2 2当无 (0,)时，f(x)0,当(,+8)时，f(x)o e 3t+8作出g(x)的大致图象，如图所示：由图象可得o v 等 V，解得且aWe,(二)选考题：共 10分。请考生在第22、2 3 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修4-4：坐标系与参数方程(10分)22.(10分)在直角坐标系xO y中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为p=2V2cos9.(1)将 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点A 的直角坐标为(1,0),M 为 C 上的动点，点 尸 满 足/=近 4力，写 出 P的轨迹C i的参数方程，并判断C 与 C i是否有公共点.【解答】解：(1)由极坐标方程为p=2&cos。，得 p2=2VpcosS,化为直角坐标方程是，+/=2 缶，即Q&A+y 2=2,表示圆心为C(企,0),半径为夜的圆.(2)设点P 的直角坐标为(x,y),M(xi,y),因为A(1,0),所以4P=(x-1,y),AM=(xi-1,yi),由 G =y/2AM,即,T=-1)ly =V2yi-7(XXXV22y22.2-(2+(v)2 =2,解得 “I 一、%=V所以M(-化简得点P 的轨迹方程是Q-3+x/2)2+7-4,表示圆心为Ci(3-V2,0),半径为2 的圆；化为参数方程是俨=：一?+2皿、。为参数;(y=2sin9计算|CCj|=|(3-V2)-V2|=3-2V22-V2,所以圆C 与圆C i内含，没有公共点.选修4-5：不等式选讲(10分)2 3.已知函数/(x)=|x-2|,g(x)=|2x+3|-|2x-1|.(1)画出y=/(x)和 y=g(x)的图像；(2)若/(x+a)2g(x),求 a 的取值范围.*x1o1【解答】解：(1)函数/(x)=卜-2|=一(2 x,x2c 14,工 当Q 1g(x)=|2x+3|-|2r-1|=J 4%+2,x -、-4,x 2画出y=/(x)和 y=g(x)的图像；1(2)由图像可得：/(6)=4,g(-)=4,若/a+)2 g (x),说明把函数/(x)的图像向左或向右平移单位以后，f(x)的图像不在g(X)的下方，由图像观察可得：介 2寺+4=学11 的取值范围为 5，+8).