2021年全国高考数学压轴题新高考全国Ⅱ卷.pdf

绝密启用前2 0 2 1 年普通高等学校招生全国统一考试(新高考全国n卷)压轴题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上8.已知函数/(X)的定义域为R,f (x+2)为偶函数，/(2 x+l)为奇函数，则()A./(-A)=0 B.-1)=0 C./(2)=0 D.f (4)=02答案：B本题考查了函数的奇偶性的综合应用，属于中档题.解：由题意，f (x+2)为偶函数，可得/(x+4)=f(-x),f (2 x+l)为奇函数，可得-2x+l)=-f(2 x+l),令 F(x)=/(2 x+l)为奇函数，可得/(0)=/(1)=0,/./(-1)=-/(3)=-/(1)=0,即/(-x)=-f (x+2),:/(x+4)=-f (x+2),易知/(x)的周期T=4,其他选项的值不一定等于0.BP/(-1)=0,故选：B.二.多 选 题(共 1小题)12.设正整数=。20+。121+四-12 3】+以,2%,其中。作 0,1,记 3()=ao+m+四，则()A.U)(2)=3 ()B.U)(2+3)=u)()+1C.O)(8+5)=3 (4+3)D.3(2-1)=n答案：ACD本题考查数列递推式，考查数学运算能力，属于难题.解：V 2n=ao92+a22+,*+-i92k+ak92k+l,/.o)(2n)=a(n)=o+m+Z,.A 对；当=2 时，2n+3=7=P2+P21+l-22,Aco(7)=3.V2=0*2+P2l,Au)(2)=0+1=1,A3(7)Ko)(2)+1,8 错；8+5=40 23+41 +以+3+5=1 2+l +3 23+41 +以2好 3,.*.a)(8+5)=ao+m+ak+2.V4+3=ao 22+i 23+ak 2+2+3=1 2+1 21+tzo22+tzi*234-+以 2-2,.*.0)(4+3)=()+m+01+2=0)(8+5).二。对；,.2-1 =12+121+12 11(2-1)=，。对.故选：A C D.三.填 空 题(共 1 小题)1 6.已知函数 f(x)=|/-1|,xi 0,函数/(x)的图象在点 A(xi,f(x i)和点 B(X2,f(x 2)的两条切线互相垂直，且分别交)，轴于M,N 两点，则 物 的 取 值 范 围 是|BN|一答案：(0,1)本题考查导数的运用：切线的方程，以及两直线垂直的条件，考查方程思想和运算能力，属于中档题.解：当x 1时，/?1；(I ll)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义.本题考查了样本估计总体的应用，事件概率的理解和应用，数学期望公式的运用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题.解：(1 )解：由题意,P o=O.4,P i=0.3,2 2=0.2,尸3=0.1,故 E (X)=0 X0.4+1 X0.3+2 X0.2+3 X0.1 =1 ；(I I )证明：由题意可知，po+p+p2+p3i,则 E (X)=p i+2 P 2+3 p 3,所以 p o+p i x+p f+p s/n x,变形为 p o-(1 -p i)犬+0 2金+0 3 9 =0,所以 0)+p 2 x 2+p 3 x 3 -(p o+p 2+p 3)X=0,即 p o (1 -X)+P2X(X -1 )+P 3 X(X -1 )(x+l)=0,即(X -1)/73 X2+(p 2+3)X p o =O,令 f(X)=/73 X2+(p 2+3)X-pO,则f C x)的对称轴为0，2 P 3注意到/(0)=-po1时，/(1)0,f(x)的正实根x o l,原方程的最小正实根p=x o 2a；2 2 0 a bW2a.2本题考查了分类讨论函数的单调性及函数的零点问题，考查零点存在定理，属于难题.解：(I )(x)=(x -1)，-ax+b,f(x)x-2a),当 aW O 时，当 x 0 时，/(x)0,当 x 0 时，/(x)0时，令/(x)=0,可得x=0或x=/2a,(力当0a 0 或 时，/(x)0,当/2a x 0 时，/(x)：.f(x)在(-8,加2.),(0,+8)上单调递增，在(/2a,0)上单调递减,(ii)a=_l时，2f(x)=x (er-1)0且等号不恒成立，./(x)在R上单调递增，(Hi)当 aTh2当 x VO 或加2 时，f(x)0,当 0VJVV/2 时，f(x)0,f(x)在(-8,0),(及2 0+8)上单调递增，在(0,历2)上单调递减.综上所述：当时，f(x)在(-8,o)上单调递减；在(0,+8)上单调递增；当0a 1时，f(x)在(-8,0)和(加2a,+)上单调递增：在(0,ln2a)上单调递2减.(H)证明：若选，由(1)知，/小)在(-8,0)上单调递增，(0,/2a)单调递减,(/“2a,注意到+)f(x)单调递增.f(0)=b-l 2a-l G：.f(x)在,0上有一个零点;f (ln2a)=(ln2a-1)2a-a-ln22a+h2aln2a-2a-aln22a+2a=aln2a(2-In la),12由 得 0 仇2a0,2 2/(加 2)0,当 x0 时，/(x)f(ln2a)0,此时/(x)无零点.综上：/(x)在 R 上仅有一个零点.若选，则 由(I)知：/(x)在(-8,加 2。)上单调递增，在(物2m 0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增.f (ln2a)=(bi2a-1)2a-aln22a+b2aln2a-2a-a而2a+2a=aln2a(2-l2 a),0 a ；/2a 0，：.aln2a(2-ln2a)0,：.f Un2a)0,2.当x 0 时，/(x)&f(必)0 时，f (x)单调递增，注意到f (0)=6-l42a-IVO,取 c=V2(l-b)+2,，c a1,又易证 e，c+l,f (c)=(c-l)ec-ac2+b(c-l)(c+l)-ac2+b=(1-a)c2+b-l -c2+b-l=l-b+l+b 1=l 0,：.f(x)在(0,c)上有唯一零点，即/(x)在(0,+8)上有唯一零点.综上：/(x)在 R 上有唯一零点.压 轴 题 模 拟1.(2021云南红河哈尼族彝族自治州高三三模)已知函数/(X)是定义在R 的奇函数，且满足x+i)+/(i-力=0,当 工 -1,0),/(6=-111W，则 下 列 关 于 函 数/(另 叙 述 正 确 的 是()A.函数/(X)的最小正周期为1B.函数/(X)在(0,2021)内单调递增C.函数/(X)相邻两个对称中心的距离为2D.函数y=/(x)+ln x 的图象在区间(2020,2021)内的零点/满足042一2020%。二 已答案：D解：由题意可得：/(0)=0,/(X)关于点(1,0)成中心对称，因为/(%+1)+/(1 无)=0,可得+=尤)，所以 x+l)=x-l),所以“X)的最小正周期为2,可得 )的大致y图象如下:所以，“X)的最小正周期为2，A错误;/(X)在(2%,2k +2)(左eZ)内单调递增，但是在(0,20 21)内没有单调性，故 3错误；”力 的对称中心为(0 )(Z e Z),故相邻两个对称中心的距离为1，故 C错误；y =/(x)的图象与y =-l nx 的图象在每个(2k，2k+2)区间内都有1个交点，且 y =f(x)在(20 20 ,20 21)内的解析式为y =l n(x-20 20),所以y =/(X)+I n X的图象在区间(20 20,20 21)内的零点七满足y-l n(x0-20 20)+I n%=I n(x；-20 20 xn)=0 ,故 XO2-2O2OXO=1 ,所以 e*2。%=e 做选:D2.(2021吉林松原市高三月考)在数学课堂上，为提高学生探究分析问题的能力，教师引导学生构造新数列:现有一个每项都为1 的常数列，在此数列的第(e N*)项与第+1项之间插入首项为2,公比为2,的等比数列的前项，从而形成新的数列 q,数列 4 的前八项和为S“，贝!J ()A 。2021 2.B。20,1 2C.S202l=3X263+59 D.5 2 0 2 1=264-3答案：A D解：设出0 2 1介于第个1 与第”+1个 1之间或者为这两个1 当中的一个，则从新数列的第1 个 1 到第n 个 1 一共有(+项,2从新数列的第1 个 1 至IJ第+1个 1 一共有(+2)(”+D项,2所以-2 0 2 1令 T=62 x 2 i+61x 2 2+60 x 2 3+i+1x 2 62,则 2 T=62 x 2?+61x 2 3+60 x 2 4+.+1x 2 63,2 T-T =-62X21+22+23+24+.+262+1X263.T=2M-128-所以S 2 0 2 1=2 64 3,故。正确，c错误，故选：A D.3.（2 0 2 1江苏苏州大学附属中学高三模拟）已知等比数列%满足q=1,其前项和S,、=pan+i+r(n e N*,p0).A.数列 4 的公比为PC.r-p-答案：BDB.数列 4 为递增数列D.当 取 最 小 值 时，一解：依题意，等比数列 ,4=1,其前 1 项和 S=pan+i+e N*,0 0),设公比是 q,时,S”=P4+i+rS.T=pan+r作差得，atl pall+i-p an,即(1+p)%=。,用4 P即1 +p=q,即pp1“一11选项A中，若公比为P,则 =7 =4,q-i即q2 q i =o,即 =夕=上 手 时，数列%的公比为P,否则数列 4 的公比不为P,故错误;八 1+7?.1 ,选项 B 中，由 0知，1,故a“=q W T=q T/、T1+-是递增数列，故I p）正确;-an 1选项 C 中，由 S a =pa,“+r,S=-，p=-知,l q 0,即，,葭x2 4 1 2 42+工（%+*2）2，有丁）-416%+%2k+，k，要曲线y （x）上总存在M,N两点，使它们所在的切线互相平行，则*+*（*）皿即可.16而1 3k4邛=4&厂c当且仅当左=正 1时等号成立,2Jk V k Xy+X24V 2.故答案为：（4/2,+oo）.6.（2020安徽六安市六安一中高三月考）直线y =与函数y =|l nx|交于A,B 两点，函数y =|l nx|在A,8两点处切线分别交轴于C,D两 点,C,。的 中 点 为 两 切 线 交 于N点，则 MN =.答案：1解：.y=|lnx|,yN O,a NO,y=|lnx|=1,0 x2 1-In x,0 x,x 1所以，-,0 x l在点(X|，X)处的切线方程为：y=x +a-,在(%2,%)处的切线方程为：y x+a+,将x=0代入、，可得先=。-1，%=。+1，/.M(0,+，即 M(0,),1 ,1 ,由x+a 1 -x+a+1,eI(2 2/+方卜=2,解得*=7 7 7 y=K+T 7.(2021厦门市湖滨中学高三期中)新药在进入临床实验之前，需要先通过动物进行有效性和安全性的实验.现对某种新药进行5000次动物实验，一次实验方案如下：选 取 3 只白鼠对药效进行检验,当 3 只白鼠中有2 只或2 只以上使用“效果明显”，即确定“实验成功”；若有且只有1 只“效果明显”，则再取2 只白鼠进行二次检验，当 2 只白鼠均使用“效果明显”，即确定“实验成功”，其余情况则确定“实验失败设对每只白鼠的实验相互独立，且使用“效果明显”的概率均为P(OP(l-p)2=9 0 0 +1 8 0 0 P(1 -p)2,设/(p)=p(l p)2,则 f(p)=(l-p)2+2p(p-l)=(3 p-l)(p-l),当 时，f,（p）0,所以/（p）在（0,；）上单增;当时，r（p）o,所以y（p）在G，上单减.因此实施一次此方案最高费用为9 0 0 +1 8 0 0 x色=-元2 7 3所以动物实验阶段估计最高试验费用为1 0 0 +5 0 0 0*1 0 4=1 0 0 +二 =，万 元,3 3 3因 为 理3 70 0,所以该阶段经费使用不会超出预算.8.（2 0 2 1辽宁沈阳市沈阳二中高三模拟）某校高三男生体育课上做投篮球游戏，两人一组，每轮游戏中，每小组两人每人投篮两次，投篮投进的次数之和不少于3次称为“优秀小组”.小明与小亮同一小组，小明、小亮投篮投进的概率分别为P l，2 1（1）若P i =,p2=,则在第一轮游戏他们获“优秀小组”的概率；4（2）若P|+2=则游戏中小明小亮小组要想获得“优秀小组”次数为1 6次，则理论上至少要进行多少轮游戏才行？并求此时P l，P 2的值.解：（1）由题可知，所以可能的情况有小明投中1次，小亮投中2次；小明投中2次，小亮投中1次；小明投中2次，小亮投中2次.故 所 求 概 率 尸=应”吗）+（若.!）吗.？+（或|.|）吗（2）他们在一轮游戏中获“优秀小组”的概率为P =C；P l（l p J C；（P 2+C；（pJ 2 G p 2（1 P 2）+C；（0C；（P 2）2=2 P|P 2（P|+P 2）3（pj 2（P 24 g 7 9因为 P l+”2=，所以尸=PIP 2 _ 3（PJ（P 2）-4因为0 p2 l,p+p2=-所 以;4 P i 4 1，9 P24i,又 也 互 詈 I ，i 4 1 4 8所以 他们小组在轮游戏中获“优秀小组”次数4满足J 8(,。)4 4由(呐)m a x =1 6,则/=2 7,所以理论上至少要进行2 7轮游戏.此时P 1+P 2=，PIP2=3,2P l =2=9.(2 02 1正阳县高级中学高三模拟)已知函数/(尤)=：x 2(a+l)l n x,(1)讨论/(x)在 2,5上的单调性；(2)若函数g(x)=/(x)+公有两个零点，求”的取值范围.解:(1);/(x)=耳工2 (Q+1)nx,X X若a+l W 0,即a W-1,/(x)0,故函数外 可 在 2,5上单调递增；若a+l 0,即 a 1,令.f (x)=O,x =J a +1 ,当一l a 3时，尸(%)2 0在 2 5 上恒成立,故函数“X)在 2,5上单调递增；当3 a 2 4时，当时，/(x)0,/(X)单调递增；当 心2 4时，/(6 4 0在2,5上恒成立，故函数“X)在 2,5上单调递减；综上，当a 3时，函数/(x)在 2,5上单调递增：当3 a 2 4时，函数“X)在 2,、/石。上单调递减，在(J TT,5上单调递增；当心2 40寸，函数“X)在 2,5上单调递减.(2)由题意，=x2+or-(+l)l n x,故 g 0),X X若a+l 0,即。一1时,g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,y)上单调递增，因为x .0时，g(x)”,且 g =2+2。-(a+l)l n 2 N 2+2 a-2(a +1)=0,故要使g(x)有两个零点，只需g(l)=；+a0,解得l a ；若 +1 =0,即a =1时,g(X)=；V x在(0,+s)只有1个零点，不合题意；若a +l v O,即-1,(i)当a =2时，g(x)在(0,+e)上单调递增，故不可能有两个零点;(i i)当2a)上单调递增，且 X f 0 时，g(x)-F,又 g(l)=a +oe2 0，2故要使g(x)有两个零点，则有g(-a 1)=0,1、即 8(-Q-1)=5(Q +1)-Q(a +l)-(Q +l)l n(-a 1)=(Q+1)1 z-l n Q a-l)=0,即 一 山(一a-1)=0,令 2(。)=1-a2-l n(_Q-1),c i G2,1),则/(。)=一；1 a +3=7-r 0a +1-2(a +l)故 ，(a)=匕9一 I n (-a 1)在(2,T)上单调递增,3且在a =2时，m(2)=0,即当a时，m(a)0,此时g(x)不可能有2个零点；(i i i)当a 2时，g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,一。一1)上单调递减，在(一。一 1,+8)上单调递增，因为g6 =a +；0,故g(x)也不可能有2个零点；综上，当时，g(尤)有2个零点.1 0.(2 02 1湖北省直辖县级行政单位高三模 拟)已知函数/(x)=si n x-a l n(x +l),a e R.(1)若。=3,求/(x)在x =0处的切线方程；r r(2)若在-,7U上单调递减，求a的取值范围；(3)当0“；时，”X)在区间(0,%)内有多少个零点，叙述并证明你的结论.3解：(1)当 a=3,f(x)=c os x 一，/(0)=-2,又/(0)=0,x+1所以.f(x)在 =0处的切线方程为y=-2x；(2)由题设：V x G ,7t,f(x)=c osx 0,所以V x e 2，；r,a N(x+l)c osx,4 x+1 4令 g(X)=(X+l)CO S X,xel-,7T,4当xwg,乃 时，g(x)w o；当x e 2，巴 时，g (x)=c osx-(x+l)si n x Wc osx-si n x 40,g(x)在 工，工 递减，4 2 4 2所以 g(x)g(?)=&(；+%)故。的取值范围是立，+%),+_)；(3)当0 a 0 0 x y,/z*(x)0 y x0,故(x)0-即当xe 0,5时，sinx-x.2容易证明x N l n(x +l),故当0 x x l n(x+l)6;l n(x +l)即当0 (),故/(x)在(0仁)上没有零点.当 兀时，f(x)-cosx I I nb l2 2 0,/(乃)二一 I n (乃 +1)0故X)在 上有且只有一个零点,因此“X)在(0,万)上有且只有一个零点.