2021年全国高考乙卷数学（文）试卷解析.pdf

绝密启用前河南省2021年普通高等学校招生全国统一考试文科数学解析注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上一、选择题:本题共12小题，每小题5 分，共 6 0分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集。=1,2,3,4,5 ,集合M=1,2,N =3,4 ,则加(MuN)=()A.5 B.1,2 C.3,4 D.1,2,3,4 答案：A思路：首先进行并集运算，然后进行补集运算即可.解：由题意可得：MUN=1,2,3,4 ,则说(U N)=5 .故 选:A.2.设i z=4+3i,则2=()A.34 i B.3+4 i C.3 4 i D.3+4 i答案：C思路：由题意结合复数的运算法则即可求得z的值.右.“一/曰 4 +3/(4 +3i)i 4 z-3、解：由题意可得：z-=-=-34i-i i2-I故选：C.3.已知命题。：e R,s i n x 1 ；命题 1 则下列命题中为真命题的是()A.p f B.c.八r D.(p v q)答案：A思路：由正弦函数的有界性确定命题P的真假性，由指数函数的知识确定命题夕的真假性，由此确定正确选项.解：由于s i nO=O,所以命题，真命题：由于y=e，在R上为增函数，凶2 0,所以i ze=l，所以命题9为真命题；所以八4为真命题，i）d q、p d f、夕）为假命题.故选：A.X X4.函数/（x h s i n +co s；的最小正周期和最大值分别是（）A 3兀和挺 B.37 t 和 2 C.6 兀和应 D.6 兀和 2答案：C思路：利用辅助角公式化简/（x），结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值.解：由题，f（x）X X=s i n+co s 3 3所 以 的 最T2p小正周期为 7 =_=on，最大值为JlL3故选：C.x+y 4,5.若乂丁满足约束条件 x y 2,则 z=3 x+y 的最小值为（）”3,A.18B.10C.6D.4答案：C思路：由题意作出可行域，变换目标函数为y=-3 x+z,数形结合即可得解.解：由题意，作出可行域，如图阴影部分所示，y=4 /、由:可得点A（l,3）,y=3转换目标函数z=3x +y 为 y=-3x+z,上下平移直线y=-3 x+z,数形结合可得当直线过点A时，Z取最小值,此时 Z m i n=3x l +3=6.故选：C.6.A-1RD.小-3C逝2D T答案：D思路：由题意结合诱导公式可得co s 2二 co s 2 =co s2 -s i n2 ,再由二倍角公式即可得解.12 12 12 12._.2 7 2 5 2 2解：由题意，co s-co s*=co s-co s 2=co s-7-1-s i.n 2一12 1271+=co s=6 2故选：D.7.在区间（0,工 随机取1个数，则取到的数小于工的概率为（）I 2 3D.6答案：B思路：根据几何概型的概率公式即可求出.解：设O=区间（0,；）随机取1个数”，对应集合为：j x|0 x|k区间长度为A=取到的数小于g”，对应集合为：j.r|0 x 3,当且仅当x=-l时取等号，所以其最小值为3,A不符合题意；对 于B,因为0卜足力 2 5/4=4,当且仅当卜inR =2时取等号，等号is in取不到，所以其最小值不为4,B不符合题意；对于C,因为函数定义域为/?,而2、0,y=2 +2 2 r =2 +222a=4,当且仅当2 =2,即x=l时取等号，所以其最小值为4,C符合题意；对于 D,y=lnx+/一,函数定义域为(O,l)U(l,+8),而 I nxe R 且 I n x/O,如当 lnx=1 l,I nxy=-5,D不符合题意.故选：C.点评：本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明 确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出.1 Y9.设函数/(x)=，则下列函数中为奇函数的是()1 +xA./(X 1)1 B./(%1)+1 C.f(x+1)1 D./(x+l)+l答案：B思路：分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.1-Y?解：由题意可得/1(%)=-1 +，1+x 1+x2对于A,/(一1)-1 =1 2不是奇函数；2对于B,/(-1)+1 =一是奇函数；X2对于C,/(x +l)-l=-2,定义域不关于原点对称，不是奇函数；x+22对于D,/(x +l)+l=，定义域不关于原点对称，不是奇函数.x+2故选：B点评：本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.10.在正方体中，尸为BQ的中点，则直线总 与A j所成的角为()7 i n 7 i nA.B.-C.D.2 3 4 6答案：D思路：平 移 直 线 至BG，将直线PB与AD所成的角转化为m与BG所成的角，解三角形即可.解:如图，连接BG，PG，P B,因为A)18 G，所以NPBG或其补角为直线PB与A。所成的角，因为_L平面4瓦GQ,所以J.P&,又PC,BBt c 4。=4，所以PC|_L平面PBBX,所以p q J.PB,设正方体棱长为2,则 BC=272,P C=；D B=戊,PC isinZPBC,=-L=-,所以故选：D1 1 .设 6 是椭圆C:日+）2=1的上顶点，点尸在。上，则|P却的最大值为（）A.|B.7 6 C.有 D.2答案：A2思路：设点。（如 为），由依题意可知，5（0,1）,羡+乂 =1 ,再根据两点间的距离公式得到|尸外，然后消元，即可利用二次函数的性质求出最大值.2解：设点P（X o，%），因为8（0,1）,今+%=1,所以P B =x；+（y T）-=5（l_ y；）+（y（）T）-=-4$一2%+6=4 。；）+个，而 一 为 1,所 以 当 先=;时，归却的最大值为,故选：A.点评：本题解题关键是熟悉椭圆的简单几何性质，由两点间的距离公式，并利用消元思想以及二次函数的性质即可解出.易错点是容易误认为短轴的相对端点是椭圆上到上定点B 最远的点，或者认为是椭圆的长轴的端点到短轴的端点距离最大，这些认识是错误的，要注意将距离的平方表示为二次函数后，自变量的取值范围是一个闭区间，而不是全体实数上求最值.12 .设awO,若x =a为函数/（x）=a（x a）2（x 。）的极大值点，则（）A.a b C.a b a2答案：D思路：先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否编号，结合极大值点的性质，对 4 进行分类讨论，画出/（X）图象，即可得到。力所满足的关系，由此确定正确选项.解：若。=力，则/（x）=a（x a），为单调函数，无极值点，不符合题意，故 标h./（X）有 x =a和 尤 两 个 不 同 零 点，且在x =a左右附近是不变号，在 x =b 左右附近是变号的.依题意，x =a为函数/（力=-）2（一/）的极大值点，在 左右附近都是小于零的.当 0E 1寸，由x b,/（x）WO,画出/（x）的图象如下图所示:由图可知b a,a a?.当a 0时，由xb时，/(x)0,画出x)的图象如下图所示:由图可知ba,a 0,故 必 综上所述，a b)。2成立.故选：D点评：本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共2 0分.13.己知向量a =(2,5),B =(/1,4),若。匕，贝！12 =.8答案：一5思路：利用向量平行的充分必要条件得到关于X的方程，解方程即可求得实数/I的值.解：由题意结合向量平行的充分必要条件可得：2 x 4 4x 5=0,8解方程可得：2 =-.故答案851 4.双曲线三r2 乙v2=1的右焦点到直线x+2y-8=0的距离为.4 5答案：75思路：先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.解：由已知，=夜2+/=后4 =3,所以双曲线的右焦点为,（），|3+2 x 0-8|5/-所以右焦点（3,0）到直线x+2y-8=0的距离为 二 杰=小.故答案为：小15.记AA BC的内角/,B,C的对边分别为a,b,C,面积为G，B=60。，（r+c2=3 a c 则b-.答案：2 0思路：由三角形面积公式可得ac=4,再结合余弦定理即可得解.解：由题意，S.B c=；acsinB=acf，所以 ac=4,a2+c2=12,所以。2 =a2+c2-2accos3=12-2x4xg=8,解得b=2&（负值舍去）.故答案为：2 a.16.以图为正视图，在图中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为（写出符合要求的一组答案即可）.答案：（答案不唯一）思路：由题意结合所给的图形确定一组三视图的组合即可.解：选择侧视图为，俯视图为，如图所示，长方体A B C O A g G A 中，A B =B C =2,BB1,尸分别 为 棱 的 中 点，则正视图，侧视图，俯视图对应的几何体为三棱锥E-A D/.故答案为：.点评：三视图问题解决的关键之处是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系.三、解答题.共7 0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17 2 1题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、2 3题为选考题，考生根据要求作答.(-)必考题：共60分.17.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了 1 0件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.81 0.31 0.01 0.2 9.99.81 0.01 0.1 1 0.2 9.7新设备1 0.1 1 0.41 0.1 1 0.01 0.1 1 0.31 0.61 0.51 0.41 0.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为嚏和亍，样 本 方 差 分 别 记 为 和 S；.求 x,y,5：,S；(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果-522则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高).答案：1=1 0,亍=1 0.3,S：=0.03 6,S；=0.04；新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.思路：（1）根据平均数和方差的计算方法，计算出平均数和方差.（2）根据题目所给判断依据，结 合（1）的结论进行判断.回，、-9.8 +1 0.3 +1 0+1 0.2+9.9 +9.8 +1 0+1 0.1 +1 0.2 +9.7 1 A解：x =-=1 0,1 0-1 0.1 +1 0.4 +1 0.1 +1 0+1 0.1 +1 0.3 +1 0.6 +1 0.5 +1 0.4 +1 0.5 y=-=1 0.3,0.22+0.32+0+0.22+0.12+0.22+0+0.12+0.22+0.321 00.22+0.12+0.22+0.32+0.22+0+0.32+0.22+0.12+0.22（2）依题意，y-x =0.3 =2 x 0.1 5 =2 V 0.1 52=2 7 0.02 5 -2 J（）-030,0 4=2 7 0.007 6 .亍一萨，所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.1 8.如图，四棱锥。一A B C。的底面是矩形，底面A 8C D,材为8C 的中点，且 收，40 .p.（1）证明：平面平面（2）若。=O C =1,求四棱锥P-ABC。的体积.答案：（1）证明见解析；（2）也.3思路：（1）由底面A B C D可得P _ L 4 0,又 由 线 面 垂 直 的 判 定 定 理 可 得A M，平面P B D,再 根 据 面 面 垂 直 的 判 定 定 理 即 可 证 出 平 面，平面PBD；（2）由（1）可知，A M A.B D，由平面知识可知，ADABAABM,由相似比可求出A O，再根据四棱锥P-ABC。的体积公式即可求出.解：（1）因为 P _ L 底面 ABC ，A Mu平面 ABCD,所以又 P B 1 A M，P B R P D =P,所以AM _ L平面尸皮），而AA/u平面Q AM,所 以 平 面_ L平面.（2）由（1）可知，A M,平面P 8。，所以A _ L B。，Af f i a D A B A B M，设=A D =2 x,则 则.=,，即2/=i，解得=也，所以AO=J5.A B A D 2因为P D _ L底面ABC。，故四棱锥尸一 ABC。的体积为V =g x（1 x x 1 =4.点评：本题第一问解题关键是找到平面RV0或平面P 3 Q的垂线，结合题目条件P B L 40，所以 垂 线 可 以 从 中 产 生，稍加分析即可判断出A_ L平面尸比,从而证出；第二问关键是底面矩形面积的计算，利用第一问的结论结合平面几何知识可得出AQABA/WM，从而求出矩形的另一个边长，从而求得该四棱锥的体积.1 9.设%是首项为1的等比数列，数列也 满足a=詈.已 知4,3%,9弓成等差数列.（1）求 4和 也 的通项公式；C 记S“和北分别为 叫 和 也 的前项和.证明：T“苣.1H答案：（1）/?=；（2）证明见解析.思路：利用等差数列的性质及q得到9 d-6 q +l=0,解方程即可；利用公式法、错位相减法分别求出S“,7；,再作差比较即可.解：因为 4是首项为1的等比数列且q,3%，9 a 3成等差数列，所以 6 a 2 =%+9%，所以 6 qq=q+9 qq2,即9/6 q+l=0,解得q=L,所以,=（；严，33所以2=詈4.1 x （1 ）3 ）（2）证明：由（1）可得S“=-产 _ =士（1 一5），1-2 3，3厅 1 2 n-n%=+?+尹+1 _ 1 2 n-1 n 人/=?+?+丁+尹，一得 2 T =，+J _+工+L=j _ xl _ _ _=l（i _ _ L）_ _ J3 3 32 33 3 3 用 1 1 3n+1 2 3 3,+133 1所 以 北 _&=。（1 _-5-）-（1-）=-0,2 4 3 2-3 4 3 2.3 q所以1 0）的焦点户到准线的距离为2.（1）求。的方程；（2）已知。为坐标原点，点/在C上，点0满 足 迎=90R，求直线。斜率的最大值.答案：（1）丁=4无；（2）最大值为上3思路：（1）由抛物线焦点与准线的距离即可得解；设。（%,%），由平面向量的知识可得产（1 0/一9,1 0为），进而可得4=25；;9,再由斜率公式及基本不等式即可得解.解：抛 物 线C:y2=2 p x（p O）的 焦 点/e，o ,准线方程为x =由题意，该抛物线焦点到准线的距离为勺-9=2 ,所以该抛物线的方程为丁=4 x；（2）设。（毛，为），则 电=9/=（9一9尤 ,9%）,所以尸（1 0,-9,1 0%）,由P在抛物线上可得（I O%）?=4（1 0%0-9）,即/=25；7 9,k=.%=%1 0%所以直线。的 斜 率 。/所y；+9 2 5 y：+9,1 0当%=时，k Q 0 ；k 1 0当。时,3石”,%当 先 0 时,因为 2 5 yo 2 25yo =3 0,%V%1 9 3此时0 v自。鼻，当且仅当2 5%=，即 为=二时，等号成立；当%0 时，kOQ 0,a O J（X）单调递增;、,f 1 1l-3a 1 +yl 3a为光G-，-时，3 37/(x)oj（x）单调递增;综上可得：当时,3/（x）在R上单调递增,|L,、1 J 1 3/当a化简得V一 了2一%+1 =0,由于切点的横坐标1必然是该方程的一个根，.是1 3一 2 x+i的一个因式，.该方程可以分解因式为(x D(f1)=0,解得士=1,X 2=-1,综 上，曲 线y =/(.v)过 坐 标 原 点 的 切 线 与 曲 线y =/(.v)的 公 共 点 的 坐 标 为(l,a +1)和(1 1 a).点评：本题考查利用导数研究含有参数的函数的单调性问题，和过曲线外一点所做曲线的切线问题,注意单调性研究中对导函数，要依据其零点的不同情况进行分类讨论；再求切线与函数曲线的公共点坐标时，要注意除了已经求出的切点，还可能有另外的公共点(交点)，要通过联立方程求解，其中得到三次方程求解时要注意其中有一个实数根是求出的切点的横坐标，这样就容易通过分解因式求另一个根三次方程时高考压轴题中的常见问题，不必恐惧，一般都能容易找到其中一个根，然后在通过分解因式的方法求其余的根.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做.则按所做的第一题计分.选修4-4:坐标系与参数方程22.在直角坐标系x O y中，OC的圆心为C(2,l),半径为1.(1)写出OC的一个参数方程；(2)过点F(4,l)作OC的两条切线.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程.x =2+c o sa 冗 兀 答案：(1)5 ，(。为参数)；(2)2夕c o s(6+)=4-6或22 c o s(6-)=4+J J.y =1 +si n c i f 3 3思路：(1)直接利用圆心及半径可得的圆的参数方程;(2)先求得过(4,1)的圆的切线方程，再利用极坐标与直角坐标互化公式化筒即可.解：由题意，OC的普通方程为(x-2)2+(-1)2=1,x =2+c o s。所以OC的参数方程为 ,.，(a为参数)y =1 +si n a(2)由题意，切线的斜率一定存在，设切线方程为丁一1 =左(4),即依一y +1 -4左=0,-2k,由圆心到直线的距离等于1可 得/,=1 ,J 1 +公解得=3,所以切线方程为瓜一3 y+3-4后=0或 后x +3 y-3 4 0=0,将x =/?c o s。，y =0 s i n 8代入化简得2 pc o s(e +。)=4一代或 2/7 c o s(e-。)=4 +6【点晴】本题主要考查直角坐标方程与极坐标方程的互化，涉及到直线与圆的位置关系，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.选修4 5:不等式选讲2 3.已知函数/(%)=上一。|+,+3.(1)当。=1时，求不等式/(x)6的解集；(2)若/(%)一。，求a的取值范围.答案：(1)(Y O,T U 2,+X).(2)(一g，+8)思路：(1)利用绝对值的几何意义求得不等式的解集.(2)利用绝对值不等式化简/(x)-。，由此求得。的取值范围.解：当a =l时，/(力=，一1|+。+3|,卜-1|+卜+3|表示数轴上的点到1和-3的距离之和,则/(x)6表示数轴上的点到1和-3的距离之和不小于6,当x =T或尤=2时所对应的数轴上的点到1,一3所对应的点距离之和等于6,数轴上到1,-3所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是X W Y或X 2 2,所以x)N 6的解集为(,T U 2,+8).(2)依题意Q,即卜一4+|x+3 a怛成立，|x tz|+1 x+3|=|tz-乂+|X+3|N|+3 ,当且仅当(a x)(x+3)之0时取等号，/(x)“=|a+3,故+3 ci,所以。+3一。或。+3 2所以的取值范围是(一/,+8).点评：解绝对值不等式的方法有零点分段法、几何意义法.解含有两个绝对值，且其中的X的系数相等时，可以考虑利用数轴上绝对值的几何意义求解；利用绝对值三角不等式求最值也是常见的问题，注意表述取等号的条件.