2021届甘肃省第二次高考诊断数学（理）试卷解析.pdf

绝密启用前2021届甘肃省第二次高考诊断数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1.已知集合4B =-2,-l,0,则 AC3=()A.-2,-1,0,1 B.-1,0,1 c.-1,0 D.-2,1,0 答案：C化简集合A ,根据交集运算可求得结果.解：因 为 乂 等 价 于，x+2(x-l)(x+2)W0c ,、等价于-2 x W l,X+2H0所以 A =x|-2 所以函数f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，所以D不正确；e0 1因为/(O)=sinO+-5-=0,所以B不正确；/-1 /-因为/()=sin +-=-0,所以A不正确./+1 d+1故选：c4.双曲 线 上 =1（机0,0）的渐近线方程为y=*实轴长为2,则，为（）11 2A.-1 B.1-72 C.-D.1-2 2答案：A根据双曲线的渐近线方程得到=2 加，根据双曲线的实轴长求出加=1,=2,从而可得结果.解：因为双曲线二工=1 （加 0,0）的渐近线方程为y=土 与 x，所啜等即=2 m,又双曲线的实轴长为2,所以2诟=2,得机=1，所以=2,所以加一=1-2 =-1.故选：A5.如图，在棱长为2 的正方体A B C。一 ABCQI中，E,G 分别是棱A B,B C,C G的中点，尸是底面A B C O 内一动点，若直线。P 与平面E F G 不存在公共点，则三角形PBB,的面积的最小值为2D.答案：c延展平面E F G,可 得 截 面 瓦 其 中“、Q、R 分别是所在棱的中点，可得。尸/平面E F G H Q R，再证明平面Q A C/平面E/G/Q R,可知p 在A C 上时，符合题意，从而得到P 与。重合时三角形P B 用的面积最小，进而可得结果.解:延展平面E F G,可得截面EFGHQ&其中H、Q、R分别是所在棱的中点,直线2 P与平面E F G不存在公共点,所以D F”平面E F G H Q R,由中位线定理可得AC/EF,ER在平面EFGHQR内，AC在平面EFGHQR外，所以A C/平面E/GHQR,因为。尸与AC在平面。AC内相交，所以平面。AC/平面E F G H Q R,所以在AC上时，直线。尸与平面EFG不存在公共点，因为B。与AC垂直，所以P与0重合时BP最小，此时，三 角 形 的 面 积 最 小，最小值为 2 友=/，故选C.2本题主要考查线面平行的判定定理、面面平行的判定定理，属于难题.证明线面平行的常用方法：利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.6.某地以“绿水青山就是金山银山”理念为引导，推进绿色发展，现要订购一批苗木，苗木长度与售价如下表：苗木长度X（厘米）384858687888由表可知，苗木长度8（厘米）与售价y（元）之间存在线性相关关系，回归方程为售价y（元）1 6.81 8.82 0.82 2.82 42 5.8y=Q.2x+a,则当苗木长度为15（）厘米时，售价大约为（）A.3 3.3 B.3 5.5 C.3 8.9 D.4 1.5答案：C根据表格中的数据求出样本点中心,根据回归直线经过样本点中心求出2,再将x=1 5 0厘米代入回归方程可求出结果._ 3 8 +4 8 +5 8 +68 +78 +8 8解：因为-=63,6_ 1 6.8 +1 8.8 +2 0.8 +2 2.8 +2 4+2 5.8 =y=-=2 1.5,6所以样本点中心为（63,2 1.5）,又回归直线9 =0.2 1+&经过（63,2 1.5）,所以2 1.5 =0.2 x63+2,所以4 =8.9,所以回归方程为9 =0.2 x+8.9,当 x=1 5 0 时，3 =3 8.9 厘米.则当苗木长度为1 5 0厘米时，售价大约为3 8.9厘米.故选：C7.数列。“的前项和为S“，若点（同,）在函数/（x）=f+2x的图象上，则。2冈=（）A.2021 B.4041 C.4042 D.4043答案：D根据点（，5“）在函数/（x）=f+2x的图象上，得到S“=2+2，再利用数列通项与色,=1前n项和的关系。.求解 5-Sn_,n 2解：因为点（”,S“）在函数/（x）=f+2x的图象上，所以 5“=1+2 ，当=1 时，q =$=3 ,当篦之2时,an=Sn-Sn_i=n2+2 n-(n-l)2+2(n-l)j =2 n +l,又q =3适合上式,所以勺=2 +1,所以=2 x 2 02 1 +1 =4 04 3 ,故选：D方法点评：1、数列的通项。与前项和S 的关系是。=，当=1时，a i若 适 合S i,则=1的 情 况 可 并 入 时 的 通 项a”；当=1时，m若不适合S 一S-,则用分段函数的形式表示.8.已知s i n(a+/?)=l,a,4均为锐角，且t a n a =芋，贝|c o s =()AV 3 R也 n V 63 2 2 3答案：A根据已知得到a +=1,根据t a n a =手 求 出s i n a =弓，再根据诱导公式可求出c o s 力.解：因为s i n(a +尸)=1,a，/均 为 锐 角，所以4=,因为t a n a=，所 以,也”=,即 c o s a =&s i n a，2 c o s a 2所以(a s i n a)2+s i n 2 a =1,得s i n 2 a=g,因为a为锐角，所以s i n a =#，所以 c o s p=c o s(y-a)=s i n a =等故选：A9.中国古代制定乐律的生成方法是最早见于 管子地员篇的三分损益法，三分损益包含两个含义：三分损一和三分益一.根据某一特定的弦，去其工，即三分损一，可得出该弦音的上方五度音；将该弦增长g,即三分益一，可得出该弦音的下方四度音.中国古代的五声音阶：宫、徵商、羽、角(/“。，就是按三分损一和三分益一的顺序交替，连续使用产生的.若五音中的“宫”的律数为8 1,请根据上述律数演算法推算出“羽”的律数为()A.72B.48C.54D.64答案：B按三分损一和三分益一的顺序交替进行计算可得结果解：依题意，将“宫”的律数8 1三分损一可得“徵”的律数为8 1 x(1)=5 4,将“徵，的律数5 4三分益一可得“商”的律数为5 4 x(l+1)=72,将“商”的律数72三分损一可得“羽”的律数为72 x(l-l)=4 8.故选：B1 0.数列 q的前项和为s.,且S“=2 a“-1,则()anA.2-2-B.2 2 C.2 2 D.2-2 0-1答案：BSn利用a,=Sn-S,-(2 2)求出a,则可得Sn,进一步可得广.解：当=1 时,S=2 q 1,得4=1,当“2 2时，S,i=2 a,i 1,所以 =s s-i=2an-2 a,-,即 an=2an_1,又 q =1,所以数列%是首项为4 =1,公比4=2的等比数列，所以4=2，=1,1-2q?n-1所 以-=k=2-2 ian 故选：B1 1.过抛物线C：V=4 x 焦点F 的直线/与抛物线交与A,8 两点，过 A,8 两点分别作抛物线C 准线的垂线，垂足分别为M，N,若线段M/V的中点为尸，且线段EP的长为4,则直线/的方程为()A.x+V 3 y-1 =0 B.x-y/3y-l=0C.x+y/3y-l=0 x-y/3 y-=0 D.#x-y-6=0 或 6 x +y-#=G答案：C利用抛物线方程求出焦点和准线方程，再设直线/的方程为x =9+l,并代入抛物线方程，利用韦达定理求出P的纵坐标，再根据勾股定理可求得结果.解：由 y 2=4 x 得=2,所以2 1,0),准线为X =1,设直线/的方程为x =f y +l,x =(y +l,联立 2 ，消去X并整理得y -4 9 4 =0,=1 6*+1 6 0 恒成立，y =4 x设 A(X I,y)、B(x2,y2),则 乂+必=由，所以 汽 上 =2/,依题意得加(一1,%)、N(1,以)，则线段MN的中点打一1,2。，因为|P F|=4,所以j 2?+4 9=4,解得r =6，所以直线/的方程为：x +6y-l =0或=故选：C关键点点评：联立直线/与抛物线方程，利用韦达定理求出点尸的坐标是解题关键.1 2.已知函数/(x)=x ln x,g(x)=x2+a r(e R),若经过点 A(l,0)存在一条直线/与“X)图象和g(x)图象都相切，贝!|。=()A.0 B.-1 C.3 D.一 1 或 3答案：D先求得/(x)在 A(l,0)处的切线方程,然后与g(x)=x2+ax(a G R)联立，由=()求解.解：因为/(x)=x ln x,所以广(x)=l +ln x,则 尸(l)=l+ln l=l,所以=1所以函数/(x)在 4 1,0)处的切线方程为y =X-1,V =x-,/、八由 满 足M +方+乙=6,则 鼠5=.答案：12由歹+5+0 =。得 了 =-（万+5）,两边平方并利用单位向量的长度可求得结果.解：因为第为乙为单位向量,所以I引=出|=|司=1,因为汗+5+1 =。，所以 =-（万+5）,所 以 于=（+5）2 =2+5?+2万-5,_ r r 1所以1 =1 +1 +2 石，得a-b=一3.故答案为：2x-y+l 01 4 .若实数x,y满足约束条件 匕 0）取最大值4x-lZ?0,所以一丁1,b将目标函数Z=-(4 +2 J-)=2,a b 4 a b 4 a b 4 a b当且仅当。=2/=1时，等号成立.故答案为：2易错点评：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：(1)“一正二定三相等“一正 就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.15.孙子定理(又称中国剩余定理)是中国古代求解一次同余式组的方法.问题最早可见于南北朝时期的数学著作 孙子算经卷下第二十六题“物不知数”问题：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？它的基本解法之一是：列出用3整除余2的整数：2,5,8,11,14,17,20,2 3.,用5整除余3的整数：3,8,13,18,23.用7整除余2的整数：2,9,16,23.,则23就是“问物几何?”中“物”的最少件数，“物”的所有件数可用105+23(e N)表示.试问：一个数被3除 余1,被4除 少1,被5除余4,则这个数最小是.答案：19列举出被3除 余1的整数有、被4除 少1的整数、被5除余4的整数，从中找到同时满足条件的最小整数可得结果.解：因为被3除 余I的整数有：1,4,7,10,13,16,19,22,25,被4除 少1即被4除余3的整数有：3,7,11/6,19,23,27,被5除余4的整数有：4,9,14,19,24,29,所以这个数最小为1 9.故答案为：1 91 6.三棱锥P-A5C的底面是边长为3的正三角形，面Q 4 6垂直底面ABC,且PA =2 P B，则三棱锥P一 A B C体积的最大值是.答 案 遭,求出的设尸到A B的距离为，PB =x,PA =2 x,则可得最大值即可求出体积最大值.解：因为面Q 4 6垂直底面ABC,则三棱锥的高即为P到A B的距离，设为,V PA =2 P B，设尸8 =%,抬=2%，在 P A B 中，c o s N P B A =-=6 x 2x则 s i n Z PB A =-cos2 Z PB A-/+10%2-92xm i ll x4+1 O x2-9 (f _ 5)+1 6则h=P B s i nZ PB A =7 /2 2当/=5,即 =石 时，然a x =2,又 S A Rr=x 3 x 3 x s i n 6 0 =-，做2 4则三棱锥P-A8C体积的最大值为J x S =1 x 2叵X 2 =3叵.3 n i d x 3 2故答案为：正.2关键点评：本题考查三棱锥体积最值的求解，解题的关键是求出产到A 8的距离的最大值，根据题意能得出九一1一（1一5）+1 62三、解答题1 7.如图，在直四棱柱A B C。-44GA中，底面A 8 C O是边长为2的菱形，且M=3,E，/分 别 为CG，BD的中点.（1）证明：EF工平面BBQQ；（2）若 045=6 0。，求二面角4-B E-。的余弦值.答案：（1）证明见解析；（2）M3.2 6（1）连接AC交BO于。点，连接O F,F为8。的中点，易得四边形O E E C为平行四边形，从而。C 7/F E,再利用线面垂直的判定定理证得。C _ L平面即可.（2）以。为原点，以O B,OC,O F建立空间直角坐标系，分别求得平面ABE的一个r r法向量=（x,y,z）和平面。/E的一个法向量加=（5,/1）,然后由c o s伍 昉 二丽m-求n解解：（1）如图所示:连接AC交8。于。点，连接。尸，尸为的中点，所以0尸 。9，OF=D Dl,又E为CG的中点，CC,/,所以 CEDD,CE=D Dt,所以 OF/CE,OF=CE,所以四边形OE E C为平行四边形，OCHFE.直四棱柱 ABC。一 中，平面 ABC。，O C u平面 ABCD,所以。LOC.又因为底面ABCD是菱形，所以 OC_L3 O,又 DDJ BD=D,。匚平面8月2。，B D u 平面 BBQQ,所以OC_L平面8 g A O.所 以 所，平面8 A qO.(2)建立如图空间直角坐标系。-孙z,由 NZMB=60。，知 6O=A8 =6C =2,又 A 4,=3,则 3(1,(),0),0,V 3,|j,A(0，-G，3)，(1,0,3),设。=(x,y,z)为平面A/E的一个法向量.由 n-AB=0(n-BE=0 x+百 y-3z =0得.r 3-x +/3 y+z=0、2令 y=6,可得万=(9,6,4 b设工=(%，X，z J 为 平 面 的 一 个 法 向 量.J 衍 n 卜2%+3 Z|=0m-BD,=0由一 ，即 厂 3m-BE=0-Xj+Zj=0令 玉=3,可得2 =(3,0,2).m-n _ 9X3+A/3x0+4x2 _ 7/13丽一旧+(可+4；.j3 2+02+22-后如图可知二面角A-BE-。为锐角,所以二面角-B E-Dx的余弦值是2叵26方法点评：1、利用向量求异面直线所成的角的方法：设异面直线AC,BD的夹角为,AC-BD则 C O S B=I-.1 I.HH2、利用向量求线面角的方法：（1）分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角（或其补角）；（2）通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角.3、利用向量求面面角的方法：就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.18.某校为了解高三学生周末在家学习情况，随机抽取高三年级甲、乙两班学生进行网络问卷调查，统计了甲、乙两班各4 0 人每天的学习时间（单位：小时），并将样本数据分成 3,4）,4,5）,5,6）,6,7）,7,8 五组，整理得到如下频率分布直方图：甲班乙班（1）将学习时间不少于6小时和少于6小时的学生数填入下面的2 x 2 列联表:不少于6小时少于6小时总计甲班乙班总计能以9 5%的把握认为学习时间不少于6小时与班级有关吗？为什么？(2)此次问卷调查甲班学生的学习时间大致满足自N(,0.3 6),其中等于甲班学生学习时间的平均数，求甲班学生学习时间在区间(6.2,6.8 的概率.参考公式：K-=-(a d jc)-na+b+c+d.(a+b)(c+d)a+c)b+d)参考数据:尸(片之石)0.0 5 00.0 100.0 0 1女03.8 4 16.6 3 510.8 2 8若 XD 则 p(一 b xWM+b)=0.6 8 2 7,P(-2 b X W +2 b)=0.9 5 4 5.答案：(1)列联表答案见解析，没有9 5%的把握认为学习时间不少于6小时与班级有关,理由见解析；(2)0.1 3 5 9.(1)利用频率分布直方图计算出甲班学习时间不少于6小时的人数和乙班学习时间不少于6小时的人数，可得2 x 2列联表：计算长2,对照临界值表可得结果；(2)根据频率分布直方图计算，再根据/5(6.2 6.8)=/,(i4/+c r x z+2 c r)=尸(-2O XW+2。)-P(-+G 计算可得结果2解：(1)由频率分布直方图可知，甲班学习时间不少于6小时的人数为：(0.2 5 0 +0.0 5 0)x 1 x 4 0 =1 2人，则甲班学习时间少于6小时的人数为2 8人；同理得乙班学习时间不少于6小时的人数为(0.2 5 0+0.2 0 0)x 1 x 4 0 =1 8人，则甲班学习时间少于6小时的人数为2 2人.由此得到2 x 2列联表：不少于6小时少于6小时总计甲班1 22 84 0乙班1 82 24 0总计305080因为 K、8 OX0 2X2 2 7 8X2 8）；L9 2 所以 P（6.2 W 6.8）=/5（/+c r /+2 c r）_ P（-2 j X /d+2 c r）-P（/J-cr X -2）,则 M（%+孙 y+必），根 据 两 2+通 2=6 可得片+犬+考+尤=3,再根据点A,8 在椭圆上，可得才考从而k（）A k（）B 中 21=+-2解：(1)因为圆0:炉+、2=经过椭圆。的右焦点入，所以b=c,a=6 b，因为经过点F2作圆。的切线被椭圆C截得的弦长为V 2，所以椭圆。的方程为与+V=1.解得6 =1,故。=血.(2)直线O A,0 B斜率之积是定值，证明如下:设A（Wy）,3（,%）,由 丽=西+砺,得“（+与,凹+%）故O M+A B=（石+%2）+（丁1+%）+（玉-9）+（乂-%）=2（片+y；+x；+%）=6又点A,3在椭圆上，所以x：+2 _y；=2,x；+2 y；=2,联 立 解 得 片+年=2,y；+y；=L由片=2-2 y；,%2 =2-2 y l,得%；.=(2-2对(2-2团=4-4(弁+团 +4加；=4寸 ,从而自屋。8=4，即直线O A,0 8斜率之积是定值土工.玉 龙2 2 2关键点点评：将0 M+福2 =6化为X：+才+考+为=3 ,再结合X：+2犬=2 ,+2；=2求解是解题关键.2().D A B C 的内角 A,B,C 的对边分别是。，b,c,且 后a c s i nB =G h c os C.(1)求角B的大小；(2)若6 =3,。为A C边上一点，BD =2,且_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _,求D A B C的面积.(从8。为D 3的平分线，。为AC的中点，这两个条件中任选一个补充在上面的横线上并作答)答案：(1)B =g；(2)选择：Sc=；选择：S ABC=-3 2 8(1)利用正弦定理的边角互化以及三角形的内角和性质、和差角的正弦公式求解即可.（2）选择条件，由SVABC=SVABD+S vB DC，根据三角形的面积公式可得Jac=2（a+c）,再由余弦定理可得（a c,4碗-12=0,求出ac=6,根据面积公25式求解即可；选择，由N8 ZM =7E-N B D C,利用余弦定理可得/+/=一，再27由a2+c2-qc=9,求出ac=一即可求解.2解：解：（1）因为由a-csin8=JZ?cosC,所以6$山(3+(7)5111。51113=/51113(：05。，即得J5cos8sinC=sinCsinB，s in C/0,则有tan8=J5,又因为3 0,兀），所以8=；.（2）选择条件3 0为0 3的平分线,JT因为BZ）为D8的平分线，所以NABZ）=NO8C=一,6又因为 SVABC=VABD+VBDC 所以acsin二=Lx2asin+!x2csin,即 6QC=2(Q+C),2 3 2 6 2 6又根据余弦定理得：=/+/2QCCOS 3,即9=(+C)2-3Q C,3选择。为 AC 的中点，则 AO=C=,NBDA=JI/BDC,2cos ABDA=-cos ZBDC则有(1)+27 0工 一-=-klZ-,可得/+。2 =一 ,3 3 22x-x2 2x-x22 2又根据余弦定理得：/+/一QC=9，解得ac=:，则SAABc=Lacsin3=.2 质 2 82 1.已知函数一ctx-xlnx,a eR.（1）若/（X）在 1,转）单调递增，求。的取值范围;(2)若 eN_,求证：+答案：(1)(-8,1 ；(2)证明见解析.(1)由函数=/(%)在 1,+8)上单调递增，则/(x 0 在 1,+8)上恒成立，由a+l W(2 x-l n x)n 而求解.(2)由(1)的结论，取 4 =1,有/(x)N/(l)=O,即 I n x W x _1 在 1,”)上恒成立，然后令士=1 +/，有+求解.解：(1)因为函数y =/(x)在 1,+8)上单调递增，所以./1(%)=2%-4-(1 1 1 +1)2 0在 1,+0 0)上恒成立，则有a+1 W 2 x-l n x 在 l,+oo)上恒成立，即a+1 W(2 x-I n x)mj n.令函数g(x)=2 x-l n x,g x)=2 ，所以xe l,+8)时，g(x)0,g(x)在 L+oo)上单调递增,所以 g(x)mi n=g(l)=2，所以有a+lW2,即因此a e(8,l .(2)由 可知当a e(Y O/时，/()=幺 一 以 一x l n x 为增函数，不妨取a=l,则有/(X)=d-xx l n x 在 1,+8)上单调递增，所以/(x)2/(1)=0,即有I n x W x-1 在 1,+8)上恒成立，令 七=1+?,则有坨(1 +|所以 l n(l +；)+l n(l +5)+L+l n(l +：)g +(+L+!(e N+),所以1n口+扣+升 1+2 以V N+),因此(l +Jl+扑(1 +扑小五.方法点评：(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，当7(x)含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.（2）若可导函数 r）在指定的区间。上单调递增（减），求参数范围问题，可转化为/（x）N O（或/（x）W O）恒成立问题，从而构建不等式，要注意=是否可以取到.2 2.在 直 角 坐 标 系 中，点A是曲线弓：（犬-2）2 +丁=4上的动点，满足2丽=西的点B的轨迹是（1）以坐标原点。为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线G，G的极坐标方程；（2）直线/的参数方程是“为参数），点P的直角坐标是（-1,0）,若y=tsina直线/与曲线G交于M，N两点，当|。M|=|用 2时，求c os a的值.答案：（1）G的极坐标方程夕=4 c os。，C 2的极坐标方程：=2 c os 8：（2）土 叵.4（1）利用极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线G的极坐标方程；设动点B极坐标为则由2丽=丽 得 点A的极坐标，代入曲线G的极坐标方程Q =4 c os 6 可求出曲线C?的极坐标方程；（2）将曲线G的极坐标方程化为直角坐标方程，将直线/的参数方程代入曲线的直角坐标方程，利用直线I的参数方程中参数的几何意义可求出结果.解：（1）把f +y 2 =02,X=Q C O S6代入f 4x+4+y2=4,化简得曲线G的极坐标方程：夕=4 c os 6.设动点3极坐标为（P,。），则由2丽=函 可 知，点A的极坐标为（2夕,8）,代入曲线G的极坐标方程P=4 c os0,得2。=4 c os。，所以曲线G的极坐标方程：=2 c os（2）因为曲线的极坐标方程为夕=2COS6 ,所以p2=2 pc os。，所以 x 2 +y 2=2 x,即（x l）2+y2=,即曲线G的直角坐标方程为：（X if+2=1,X +/c os C l把直线/的参数方程 .代入G的直角坐标方程，y=tsma得(f c os a-2)+(/s ina=1,整理得尸-4 f c os a +3 =0，由于直线/与曲线C 2交于“，N两点，A=16COS2(Z-120设M，N两 点 对 应 的 参 数 分 别 为 小,则有-4+12 =4 c os a ,=3因为|脑V|=|2 I,PN=t2f因为|P A f HP N|=|MN|2,即 卜 同=丈-疝，所以(6 +12)2 4/也=卬2 I，即 16 c os 2夕-12 =3，c os2a=-,所以c os a =M.16 4关键点点评：(2)中利用直线参数方程中参数的几何意义求解是解题关键.2 3.已 知 函 数/(*)=忖-2|+2,+1,X GR.(1)求函数/(x)的图象与直线y =6围成区域的面积；(2)若对于m 0,0,且 根+凡=4时，不等式/(X)N加 恒 成 立，求实数X的取值范围.答案：(1)6 ；(2)c o,U 0,+o).(1)作出函数/(x)的图象与直线y =6,得到围成的区域是口43。，根据三角形的面积公式计算可得结果；(2)根据基本不等式求出加的最大值，将恒成立转化为最大值可得|x-2|+2|x+l|4,再分类讨论去绝对值可求出结果.3x,x 4 1解：(1)由/(X)=T+4,-1X 2其中 A（-2,6）,B（-l,3）,C（2,6）,所以|AC|=4,8到直线AC的距离为3,故所求面积为ZABC=gx4x3 =6.(2)因为m 0,n 0,且 根+=4,所以m n m n恒成立，则有/(x)(m/i)inax,即/（x）2 4,解不等式|x2|+2|x+l|N4,可得X-1-1 尤 4x 23 x4C ）或，一 3 x“4解 之 得 一 一 或x 0,3所以实数x的取值范围为U 0，+8).结论点评：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化:若女N/(X)在 a,切上恒成立,则八；若k f(x)在川 上恒成立，则k f(xnin；若左/(x)在 a,b上有解，则1Mx.