2021年人教版中考二模检测《数学试卷》含答案解析.pdf

人教版数学中考综合模拟检测试题学校 班级 姓名 成绩一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分.每小题只有一个选项是符合题意的）1.-2 的相反数是（）1 1A.2 B.2 C.D.-2 22.如图，一个正方体和一个圆柱体紧靠在一起，其左视图是（）/；%z V p O/主 忌 向3.如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点 D、C 分别落在、C 位置，若NEFB=65。，则 NAEZ）=（）A.25 B.40 C.50 D.654.已知，正比例函数y=经过点（1,公 一2）,则人的值为（）A.-I B.-2 C.2 D.2 或-15.下列计算正确的是（）A.X6 4-X2-X3 B.（一。2）3=-。6C.(a-b)2=a2-b2D.(-x+y)2=x2+2xy+y26.如图，在四边形ABC。中，AB=AD,CB=CD,若连接AC、BD相交于点0,则图中全等三角形共有（）B.2 对C.3 对D.4 对7.如图，ZACB=90,AC=BC,ADCE,B E 1 C E,垂足分别是点 D、E,AD=3,B E=1,则 BC 的长A.-2B.2c.2五D.V io垂足为F,则 tanNABF的 值 是（）A.2B.V2历-2D.半9.如图，圆内接四边形ABCD是由四个全等的等腰梯形组成，AD是。0 的直径，则NBEC的度数为（A.30 B.45C.60D.7510.如图为二次函数丫=2*2+6乂+0；方程ax2+bx+c=0的根是xi=-I,X2=3；b2-4ac0；当x l 时，y 随 x 的增大而增大；正确的说法有（)二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）11.计算：|3-4|=_ .12.如图，在五边形ABCD E中，Z A+Z B+Z E=3（M,D P、C P分别平分/E D C、N B C D,则/C P D的度数是.13.如图，A,B是反比例函数），=人在第一象限内的图象上的两点，且A,B两点的横坐标分别是2和4,X3当A O A B的面积一时，则左的值为.214.如图，NAOB=60,点P是N A O B内的定点且O P=4,若点M、N分别是射线O A、O B上异于点。的动点，则 PM N周长的最小值是三、解答题（共U小题，计78分.解答应写出过程）1 5.计算：|+2 sin 60+(-3)1 6.解方程:x 3x 一 2 x+217.如图，要在一块形状为直角三角形(N C 为直角)的铁皮上裁出一个半圆形的铁皮，需先在这块铁皮上画出一个半圆，使它的圆心在线段AC上，且与AB、BC都相切.请你用直尺和圆规画出来(要求用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法).18.在正方形ABCD中，对角线BD所在 直线上有两点E、F 满足B E=D F,连接AE、AF、CE、C F,如图所示.求证：DABE419.“长跑”是中考体育必考项目之一，某中学为了了解九年级学生“长跑”的情况，随机抽取部分九年级学生,测试其长跑成绩(男子1000米，女子800米)，按长跑时间长短依次分为A、B、C、D 四个等级进行统计，制作出如下两个不完整的统计图.九年级学生长盅等级人数的条 力岸级学生长跑等级人数的形疑计图 扇形筑计更根据所给信息，解答下列问题:(1)在扇形统计用中，C 对应的扇形圆心角是 度.(2)补全条形统计图.(3)所抽取学生的“长跑”测试成绩的中位数会落在_ _ _ _等级.(4)该校九年有486名学生，请估计“长跑”测试成绩达到A 级的学生有多少人？20.某校创客社团计划利用新购买的无人机设备测量学校旗杆A B的高.他们先将无人机放在旗杆前的点C处（无人机自身的高度忽略不计），测得此时点A的仰角为6 0,因为旗杆底部有台阶，所以不能直接测出垂足8到点。的距离.无人机起飞后，被风吹至点。处，此时无人机距地面的高度为3米，测得此时点C的俯角为3 7,点A的仰角为4 5,且点8,C,。在同一平面内，求旗杆AB的高度.（计算结果精确到0.1 米，参考数据：7 2 1,4 1 4,1.7 3 2.s in 3 7 0.6 0，co s 3 7 0.8 0,t an 3 7 a 0.7 5）2 1 .学校与图书馆在同一条笔直道路上，甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行且同时出发，乙先到达目的地.两人之间的距离y （米）与时间t （分钟）之间的函数关系如图所示.（1）根据图象信息，当1=分钟时甲乙两人相遇，甲的速度为 米/分钟;（2）求出线段A B所表示函数表达式.2 2 .在三个完全相同的小球上分别写上-2,-1,2三个数字，然后装入一个不透明的布袋内搅匀，从布袋中取出一个球，记下小球上的数字为 加，放回袋中再搅匀，然后再从袋中取出一个小球，记下小球上的数字为，组成一对数（1）请用列表或画树状图 方法，表示出数对（加,）的所有可能的结果；（2）求直线y =烟+不经过第一象限的概率.2 3 .如图，已知。的半径为5,A A B C是。的内接三角形，A B =8,当/B A D+/C=9 0 时，过点B作B D L A D,垂足为D.cD（1）求证：B D为。的切线；（2）求线段AD的长.2 4 .如图，抛物线丫=/+公+3 （aW O）的对称轴为直线x=-l,抛物线交x轴于A、C两点，与直线y=x-1交于A、2两点，直线A 5与抛物线的对称轴交于点（1）求抛物线的解析式.（2）点P在直线A B上方的抛物线上运动，若A B P的面积最大，求此时点P的坐标.（3）在平面直角坐标系中，以点8、E、C、。为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件点。的坐标.2 5.问题探究:（1）如图，已知等边 4 B C,边长为4,则A B C的 外 接 圆 的 半 径 长 为.（2）如图，在矩形A B C D中，A B=4,对角线B D与边B C的夹角为3 0 ,点E在为边B C上且B E=-BC,4点P是对角线8。上的一个动点，连接P E,P C,求周长的最小值.问题解决：（3）为了迎接新年的到来，西安城墙举办了迎新年大型灯光秀表演.其中一个镭射灯距城墙3 0米，镭射灯发出的两根彩色光线夹角为6 0。，如图，若将两根光线（A B,4 C）和光线与城墙的两交点的连接的线 段（B C）看作一个三角形，记为 A B C,那么该三角形周长有没有最小值？若有，求出最小值，若没有,说明理由.答案与解析一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分.每小题只有一个选项是符合题意的）1.-2 的相反数是（）A.2 B.2 C.2【答案】B【解析】【分析】根据相反数的性质可得结果.【详解】因为-2+2=0,所 以-2 的相反数是2,故选B.【点睛】本题考查求相反数，熟记相反数的性质是解题的关键.2.如图，一个正方体和一个圆柱体紧靠在一起，其左视图是（）D.2/主视方向【解析】【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中.【详解】解：左视图是从左面看所得到的图形，正方体从左面看是正方形，圆柱从左面看是长方形，并且正方体挡住了圆柱体，所以一个正方体和一个圆柱体紧靠在一起，则它们的左视图是一个正方形底部是一个长方形，长方形用虚线，故选：D.【点睛】此题主要考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图.3.如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点 D、C 分别落在以、C 位置，若/E FB=65。，则=()A.25 B.40 C,50 D.65【答案】C【解析】【分析】由矩形的性质，可 得 ADB C,又由两直线平行，内错角相等，即可求得ND EF的度数，然后由折叠的性质与平角的定义求得答案.【详解】解：.四边形ABCD是长方形，；.ADBC,VZEFB=65,ZDEF=ZEFB=65,由折叠的性质得：ZDEF=ZDEF=65,/A E D=180/D E F-NDEF=1806565=50.故选C.【点睛】本题考查了折叠的性质、矩形的性质以及平行线的性质.此题难度不大，注意数形结合思想的应用，注意折叠中的对应关系.4.已知I,正比例函数y 经过点（1,公 2）,则A的 值 为（）A.-1 B,-2 C.2 D.2 或-1【答案】D【解析】【分析】把点（1,攵 2-2）代入正比例函数解析式，得到关于左的一元二次方程，求解即可.【详解】解：把点（1,女 2一2）代入可得：k-2 =k，解得A:=2 或-1,故选：D.【点睛】本题考查待定系数法求正比例函数解析式，将点的坐标代入是解题的关键.5.下列计算正确的是（）A.x6-i-x2=x3 B.（一。2）3=一4 6C.（a 一 b）cr h D.（一x+y x+2xy+y【答案】B【解析】【分析】根据同底数基的除法、积的乘方、完全平方公式逐一分析判断即可.【详解】解：A./十万2=6-2=/，该项不符合题意；B.（一）3=。6,该项符合题意；C.（a-h）2=a2-2ah+h2,该项不符合题意；D.（JC+y）2 x2 2.xy+y,该项不符合题意；故 选:B.【点睛】本题考查同底数幕的除法、积的乘方、完全平方公式，掌握运算法则是解题的关键.6.如图，在四边形A 3C O 中，AB=AD,CB=CD,若连接AC、BD相交于点0,则图中全等三角形共有（）A.1 对 B.2 对 C.3 对 D.4 对【答案】C【解析】VAB=AD,CB=CD,AC 公用，A A ABCAADC(SSS)./.Z B A O=Z DAO,ZBCO=ZDCO.,.BAO丝DAO(SAS),A BCOADCO(SAS).全等三角形共有3 对.故 选 C.7.如图，ZACB=90,AC=BC,AD1CE,B E 1 C E,垂足分别是点 D、E,AD=3,B E=1,则 BC 的长是（）z,/A0A cA.-B.2 C.272 D.而【答案】D【解析】【分析】根据条件可以得出/E=/A D C=9 0。，进而得出C E B gA A D C,就可以得出A D=C E,再利用勾股定理就可以求出BC的值.【详解】解：VBECE,ADCE,；./E=/A D C=9 0,.ZEB C+ZBC E=90.VZBCE+ZACD=90,.ZEBC=ZDCA.在4C E B 和 ADC中，ZE=ZADC NEBC=ZDCA,BC=AC二.CEB丝 ADC(AAS),；.CE=AD=3,在 RtABEC 中，BC=/BE2+CE2=7 12+32=V 10，故选D.【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键.8.如图，在矩形ABCD中，点 E 是边BC的中点，A E 1 B D,垂足为F,则 tan/A B F的 值 是（）BCA.2 B.6 C.在 D.士22【答案】B【解析】【分析】证明ABEFSA D A F，得出EF=y AF,再证明ZABF=ZFEB,设 所=x,则AR=2x,利用锐角三角函数求解8/，再由三角函数定义即可得出答案.【详解】解：四边形ABCD是矩形，AD=BC,AD BC,点E是边B C中点，1 八I BE=BC=AD,2 2由 AO8C,BEFsD AF，.EF BE a-，AF AD 2.,.EF=AF,2；矩形 ABCD,AE BD,：.ZABF+NEBF=90,ZEBF+NFEB=90,ZABF=NFEB,tan ZABF=tan/FEB,.AF BFBFFE设 EF=x,贝ij AF=2x,*_2_x _ _B_F_ 9BF xBF=叵x,tan ZABF=夜，B F近x故选B.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，锐角三角函数等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键.9.如图，圆内接四边形A B C D 是由四个全等的等腰梯形组成，AD是。的直径，则NBEC 的度数为（）A.3 0 B.4 5 C.6 0 D.7 5【答案】A【解析】【分析】根据等腰梯形的性质可求得较小的底角的度数，再根据同弧所对的圆心角是圆周角的二倍从而求得N B E C的度数.【详解】解：设等腰梯形的较小的底角为x,则3 x =1 8 O。，x=6 0 ,依题意，延长8/、C G必交于点O（a A B O,口 C DO为等边三角形）,.口 BOC 为等边三角形,N B O C =6 0,N B E C =-2 B 0 C =3 0 .2故 选:A.【点睛】本题考查等腰梯形的性质、圆内接四边形的性质、圆周角定理等内容，能够得到等腰梯形的较小的底角为6 0。是解题的关键.1 0.如图为二次函数y=a x 2+b x+c 的图象，在下列说法中：a c 0；方程a x 2+b x+c=0 的根是x i=-1,X 2=3；（4）b2-4 a c 0；当 x l 时，y 随 x 的增大而增大；正确的说法有（）A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个【答案】A【解析】【分析】由抛物线开口方向及与y 轴的交点位置可判断；令 y=l 可判断；由图像与x轴的交点可判断和;由图像与x 轴的两个交点可求得对称轴，结合图像的开口方向，则可判断；则可求得答案.【详解】抛物线开口方向、与 y 轴的交点在x 轴的下方，a 0,c 0,a c 0 ,故正确：由图像可知当x =l 时，y 0,a+b+c 0，故、正确；抛物线与x 轴交与(7,0)和(3,0)两点，-1 +3抛物线对称轴为直线x=-=1,且抛物线开口向下，2 当 xl时，y 随 x的增大而增大，故正确；综上可知正确的结论有4 个，故选A.【点睛】本题考查的知识点是二次函数图像与系数的关系，解题关键是利用数形结合得出各项符号.二、填空题(共4 小题，每小题3 分，计 12分)1 1.计算：|3-|=_ _ _ _ _ _ _ _.【答案】兀 一3【解析】【分析】先分析3-的符号，再关键绝对值是含义可得答案.【详解】解：；3 万，r.3 万V 0,|3?r|=一(3 乃)=乃一3,故答案为：乃一3.【点睛】本题考查的是绝对值的含义，掌握绝对值的含义是解题的关键.1 2.如图，在五边形 A8CDE 中，ZA+ZB+ZE=300,DP、CP 分别平分/E O C、/B C D,则/C P。的度数是.【答案】60【解析】【分析】根据五边形的内角和求出NBCO和NCDE的和，再根据角平分线及三角形内角和求出NCPD.【详解】解：五 边 形 内 角 和 等 于 540。，NA+NB+NE=300。，/BC D+/C O E=540。-300=240,:/B C D、NCD的平分线在五边形内相交于点。，NPDC+NPCD=L(ZBCD+ZCDE)=120,2J ZCPD=180-120=60.故答案是：60.【点睛】本题解题的关键是知道多边形内角和定理以及角平分线的性质.1 3.如图，A,B 是反比例函数y=K 在第一象限内的图象上的两点，且A,B 两点的横坐标分别是2 和 4,X3当aO A B 的面积一时，则 的值为_ _ _ _ _ _ _ _ _.2 r 2 4*【答案】k=2【解析】【分析】由题意跟图像可得出A、B 两点的坐标分别为:3及面积的等量关系易证S Aos=S ABDC=,K KR【详解】如图所示：1 C D 5,“q ZsA O C qABOD，-S|jg边 形AOQ S=S AO C+S梯形ACDB=408+Cr3 S Aon_ _ 3一 S AO B=S梯 形 A80c=Q A,B 两点的横坐标分别是2 和 4A OD=4,OC=2i i二 S 梯 形A B%=2(8Q+AC)(O_OC)=/x解得：k=2.故答案为：k=2.A(2,g)、根据反比例函数系数k 的几何意义然后利用梯形面积计算公式列出方程求解即可.)H D k k、c 3k 3、2 4)4 2【点睛】主要考查了反比例函数丫=七中k 的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标X轴作垂线所围成的直角三角形面积S 的关系即s=.1 4.如图，/AOB=60,点 P 是/AOB内的定点且0 P=4,若点M、N 分别是射线OA、0 B 上异于点。的动点，则PMN周 长 的 最 小 值 是.【答案】4百【解析】【分析】作 P 点分别关于OA、0 B 的对称点C、D,连 接 CD分别交OA、0 B 于 M、N,如图，利用轴对称的性质得 MP=MC,NP=ND,0P=0D=0C=4,ZBOP=ZBOD,NAOP=NAOC,所以NCOD=2NAOB=120,利用两点之间线段最短判断此时PMN周长最小，作 OHLCD于 H,则 CH=DH,然后利用含30度的直角三角形三边的关系计算出OH即可得出结论.【详解】解：作 P 点分别关于OA、OB的对称点C、D,连接CD分别交OA、OB于 M、N,如图，ZBOP=ZBOD,ZAOP=ZAOC,PN+PM+MN=ND+MN+MC=DC,ZCOD=ZBOP+ZBOD+ZAOP+Z AOC=2/AOB=120,此时PMN周长最小，作 OHJLCD 于 H,则 CH=DH,V Z O C H=3 0 ,1；.0 H=-0 C=2,2CH=G0H=2B.C D=2 C H=4 3.,.P M N 周长的最小值是4 百故答案为：4 .【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题：熟练掌握轴对称的性质，会利用两点之间线段最短解决路径最短问题.三、解答题(共U小题，计78分.解答应写出过程)1 5.计算：|G-2|-(g)-2 +2 s i n 6()o+(-3)【答案】7【解析】【分析】根据绝对值的性质，负整数指数幕，特殊角的三角函数值，零指数嘉分别计算各部分即可求解.【详解】解：原式=2-G-4+2 x 走+1 =2-6-4 +石+1=-L2【点睛】本题考查绝对值的性质，负整数指数幕，特殊角的三角函数值，零指数累，掌握运算法则是解题的关键.【答案】x=1 0【解析】试题分析：解分式方程的一般步骤：先去分母化分式方程为整式方程，再解这个整式方程即可，注意解分式方程最后一步要写检验.方程两边都乘以(x-2)(x+2)得，x (x+2)-3(x-2)=(x+2)(x-2)x2+2 x-3 x+6=x2-4-x=-1 0 x=1 0经检验，x=10是原方程的解，所 以，原 分 式 方 程 的 解 是x=10.考 点：解分式方程点评：解方程是中考必考题，一般难度不大，要特别慎重，尽量不在计算上失分.17.如 图，要 在 一 块 形 状 为 直 角 三 角 形（N C为 直 角）的铁皮上裁出一个半圆形的铁皮，需先在这块铁皮上画出一个 半 圆，使 它 的 圆 心 在 线 段AC上，且 与AB、BC都相切.请你用直尺和圆规画出来（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）.【答 案】见解析.【解 析】18.在 正 方 形ABCD中，对 角 线BD所 在 的直线上有两点E、F满 足BE=DF,连 接AE、AF、CE、C F,如图 所 示.求 证：QABE刍OAD/L【答 案】证明见解析【解 析】【分 析】根 据 正 方 形的性质得AB=AD,/BAD=90。，由等角的补角性质得/A B E=/A D F,最 后 根 据SAS证明即可.【详解】证明：.正方形ABCD,；.AB=AD,.ZABD=ZADB,ZABE=ZADF,在 八 钻 石 与口 4。尸中AB=AD 百#1.73 2，s i n 3 7 0.6 0,c o s 3 7 0.80 t a n 3 70.75 )A【答案】16.6米.【解析】分析】作A8交AB于点尸，作 JG F 交DF于点E，作BG 近 交8C延长线于点G ,在农&E中，求DE,BC；在用AABC中，再解直角三角形得AB.【详解】解：如图，作OE_LAB交A8于点/，作CELDF交DF于点E，作DG L 8C交8 c延长线于点G,由题意知 NADE=45,4EDC=37。，ZAC6=60,DG=CE=BF=3,设 AF=x,.在 R/AA/D 中，ZAFD=90,NAD/=45,DF-AF=x,在mACDE 中，/EDC=37,：.BC=EF=DF-DE=x-A.在用AABC 中，ZACB=60,：AB=y/3BC，x+3=y/3(x-4)x13.6,AB A F +FB 16.6.旗杆的高度约为16.6米.A【点睛】考核知识点：解直角三角形.构造直角三角形是关键.2 1.学校与图书馆在同一条笔直道路上，甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行且同时出发，乙先到达目的地.两人之间的距离y（米）与时间t（分钟）之间的函数关系如图所示.（1）根据图象信息，当t=分钟时甲乙两人相遇，甲的速度为 米/分钟；（2）求出线段A B所表示的函数表达式.【答案】（1）24；40；（2）线段A B的表达式为：y=40t（40t60）【解析】分析：（1）根据图象信息，当t=24分钟时甲乙两人相遇，甲60分钟行驶2400米，根据速度=路程+时间可得甲的速度；（2）由t=24分钟时甲乙两人相遇，可得甲、乙两人的速度和为2400+24=100米/分钟，减去甲的速度得出乙的速度，再求出乙从图书馆回学校的时间即A点的横坐标，用A点的横坐标乘以甲的速度得出A点的纵坐标，再将A、B两点的坐标代入，利用待定系数法即可求出线段A B所表示的函数表达式.详解：（1）根据图象信息，当t=24分钟时甲乙两人相遇，甲的速度为2400+60=40米/分钟.（2）.甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行且同时出发，t=24分钟时甲乙两人相遇，甲、乙两人的速度和为2400+24=100米/分钟，乙的速度为100-40=60米/分钟.乙从图书馆回学校的时间为2400-60=40分钟，40 x40=1600,，A 点的坐标为（4 0,1 6 0 0）.设线段A B所表示的函数表达式为y=k t+b,VA （4 0,1 6 0 0）,B （6 0,2 4 0 0）,4 0 Z +Q 1 6 0 0 伙=4 0*.，解得 ，6 0 +2 4 0 0 b=Q二线段A B所表示的函数表达式为y=4 0 t （4 0 W t W 6 0）.点睛：本题考查了一次函数的应用，路程、速度、时间的关系，用待定系数法确定函数的解析式，属于中考常考题型.读懂题目信息，从图象中获取有关信息是解题的关键.2 2.在三个完全相同的小球上分别写上-2,-1,2 三个数字，然后装入一个不透明的布袋内搅匀，从布袋中取出一个球，记下小球上的数字为加，放回袋中再搅匀，然后再从袋中取出一个小球，记下小球上的数字为,组成一对数（，,）.（1）请用列表或画树状图的方法，表示出数对（加,）的所有可能的结果；（2）求 直 线 不 经 过 第 一 象 限 的 概 率.4【答案】（1）见解析；（2）-.【解析】【分析】（1）根据题意画出树状图，表示出数对（m,n）的所有可能的结果即可；（2）由树状图求得所有等可能的结果与所得到的直线y=m x+n 不经过第一象限的情况，再利用概率公式即可求解.【详解】解：（1）树状图如下：数对（?,）的所有可能为（-2,-2）,（-2,-1）,（-2,2）,（-1,-2）,（-1,-1）,（-1,2）,（2,-2）,（2,-1）,（2,2）；4（2）直线丁 =/四+不经过第一象限的概率为P =.4故答案为（1）见解析；（2）一.9【点睛】本题考查用列表法或树状图法求概率，一次函数的性质.注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；概率=所求情况数与总情况数之比.23.如图，已知。0的半径为5,ZXABC是0 0的内接三角形，AB=8,当/B A D+N C=90时，过点B作BD_LAD,垂足为D.D（1）求证：BD为。的切线；（2）求线段AD的长.32【答案】（1）见解析；（2）y ,理由见解析.【解析】【分析】（1）连 接B 0并延长交。0于 点E,连 接A E,由题意易得/E=N C,所以易推出NE+N1=9O。，因为Z B A D+Z C=9 0 ,所 以 得 到 进 而 问 题 得 证；（2）由（1）易得口A BZA K 8E4,然后根据已知条件易得BE=10,相似三角形的性质列出方程求解即可.【详解】解：（1）如图，连接8。并延长交。于点E,连接AE.ZE=ZCBE是。的直径，.NE+N1=9O,NC+N1=9O。,Z B A D+Z C=9 0 ,：.Z1=ZBAD,：.AD/BE又：人 八 肛 J.BELBD.80为。的切线;(2)由(1)得 4 =4 4 D,又：ND=Z R 4 E=9 0 ,V A B =8,。的半径为5,.B E=1 0BE=AB,n即n 10=8AB AD 8 AD32/.AD=.5【点睛】本题主要考查圆的切线的性质及判定、相似三角形的性质及判定，关键是作出适当的辅助线然后根据在同圆中同弧所对的圆周角相等，进而结合题意得到切线与过圆心的直线垂直，在圆中利用相似三角形求解线段的长是常用的方法之-2 4.如图，抛物线)=0 +云+3(不0)的对称轴为直线x=-l,抛物线交x 轴于A、C两点，与直线y=x-1 交于A、B两点，直线A B 与抛物线的对称轴交于点E.(1)求抛物线的解析式.(2)点 P 在直线4 3 上方的抛物线上运动，若 4B P的面积最大，求此时点P 的坐标.(3)在平面直角坐标系中，以点8、E、C、。为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件点。的坐标.3 15【答案】(l)y=-X2-2X+3：(2)点 P(一 ,)；(3)符合条件的点 D 的坐标为 D i(0,3),D2(-6,-3),D3(-2,-7).【解析】【分析】(1)令 y=0,求出点A的坐标，根据抛物线的对称轴是x=-1,求出点C的坐标，再根据待定系数法求出抛物线的解析式即可；设点P(m,-m2-2 m+3),利用抛物线与直线相交，求出点B的坐标，过点P 作 PF y 轴交直线AB于点F,利用SAABP=SAPBF+S”FA,用含m 的式子表示出AA B P的面积，利用二次函数的最大值，即可求得点P的坐标；(3)求出点E 的坐标，然后求出直线BC、直线BE、直线C E的解析式，再根据以点B、E、C、D 为顶点的四边形是平行四边形，得到直线D Q 2、直线D Q 3、直线D 2D 3的解析式，即可求出交点坐标.【详解】解：(1)令 y=0,可得：x-1=0,解得：x=l,.点 A(l,0),.抛物线 y=ax2+bx+3(a和)的对称轴为直线*=-1,-1 x 2-1=-3,即点 C(-3,0),a+b+3=09a-3b+3=0,解得：,抛物线的解析式为：y=-x2-2x+3;(2)；点 P 在直线AB上方的抛物线上运动,设点 P(m,-m2-2m+3),.抛物线与直线y=x-1交于A、B 两点,y=-x2-2x+3y=x-l=-4y=一5%2=1%=。解得：.,.点 B(-4,-5),如图，过点P 作 PFy 轴交直线AB于点F,则点 F(m,m-1),/.PF=m2-2m+3-m+l=-m2-3m+4,.SAABP=SAPBF+SAPFA=(-m2-3m+4)(m+4)+(-m2-3m+4)(l-m)5223 当m=-时，P最大,2，上 3 15.点 P(,).2 4(3)当 x=-1 时，y=-1 -1 =-2,点 E(-l,-2),如图，直线BC的解析式为y=5x+15,直线BE的解析式为y=x-1,直线C E的解析式为y=-x-3,以点B、C、E、D 为顶点的四边形是平行四边形，直线D|D 3的解析式为y=5x+3,直线D 1 D 2 的解析式为y=x+3,直线D 2 D 3的解析式为y=-x -9,联立 得 D 1(0,3),y=x+3同理可得 D 2 L 6,-3),D 3(-2,-7),综上所述，符合条件的点D的坐标为D i(O,3),D2(-6,-3),D3(-2,-7).【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解决第(2)小题中三角形面积的问题时，找到一条平行或垂直于坐标轴的边是关键；对于第(3)小题，要注意分类讨论、数形结合的运用，不要漏解.2 5.问题探究:(1)如图，已知等边 A B C,边长为4,则AABC的 外 接 圆 的 半 径 长 为.(2)如图，在矩形A B C D中，A B=4,对角线B D与边B C的夹角为3 0 ,点 E在为边B C 上且B E=；BC,点 P是 对 角 线 上 的 一 个 动 点，连接尸E,P C,求周长的最小值.问题解决：(3)为了迎接新年的到来，西安城墙举办了迎新年大型灯光秀表演.其中一个镭射灯距城墙3 0米，镭射灯发出的两根彩色光线夹角为6 0 ,如图，若将两根光线(4 8,AC)和光线与城墙的两交点的连接的线 段(B C)看作一个三角形，记为 4 B C,那么该三角形周长有没有最小值？若有，求出最小值，若没有,说明理由.【解析】【分析】(1)作ABC外接圆，作直径A D,连 接 B D,根据等边三角形性质求出/C =60。，根据圆周角定理求出ND=/C=6 0。，解直角三角形求出AD即可.(2)APEC周长的最小实质是PE+PC,转化为将军饮马模型求出P 点，然后利用勾股定理即可求出E C 即可解答，(3)先由定角定高可知BC的最小值为三角形是等腰三角形AB=AC时，BC最小，而求AB+AC,可以先将 A 点沿BC方向平移B C,构造平行四边形将AB转化为长，则 AB+AC最小转化为AC+CD最小，作 A点对称点A，,连接A D,与 BC交点与C 重合，此时BC、AB+AC同时取最小值，即可知三角形周长有没有最小值.【详解】解：(1)如图，作三角形外接圆。0,作直径A D,连接BD,.等边AABC内接于。0,AD为直径,A ZC=60=ZD,ZABD=90,.AB V3 sin D-.，AD 2.2AB，2 873.AD=4 x-=!6 73 3的半径是逑.34,473故答案为3(2)如图2,作点E 关于BD的对称点E T 连接E C 交 BD于 P,连接P E,此时APEC周长周长最小.连接 BE，过 E，作 E，HJ_BC,VZDBC=30,AB=CD=4,.B e n s，又；BEBC.4;.BE=6.点E，是关于BD的对称点EA ZEBH=60,BE，=B E=GV PEC 周长=PC+PE+EC=PE4EC=牺+3月(3)如图 3,V ZB AC=60,AH=30 米，.当AB=AC时，边 BC取最小值,此时 BC=AC=20 百，作 口 A B C D,作 A 点关于直线BC的对称点A T 连接AD,AB+AC=CD+AC,当 A，C,D 在一条直线上时，AB+AC最小，此时，ABC应为等边三角形，AB+AC=40GV AB+AC和 BC的最小值能够同时取到，故AABC的周长最小值为60行.【点睛】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质、轴对称及勾股定理等知识的综合应用，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键.