【高中数学】2023-2024学年人教A版必修第一册 不同函数增长的差异同步教案.docx

不同函数增长的差异【教材分析】本节课是新版教材人教A版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第四章第4.4.3 节不同增长函数的差异 是在学习了指数函数、对数函数和幂函数之后的对函数学习的一次梳理和总结。本节提出函数增长快慢的问题，通过函数图像及三个函数的性质，完成函数增长快慢的认识。既是对三种函数学习的总结，也为后续导数的学习做了铺垫。培养和发展学生数学直观、数学抽象、逻辑推理和数学建模的核心素养。【学情分析】学生已经学了对数函数的概念,接着研究对数函数的图像和性质,从而深化学生对对数函数的理解，并且了解较为全面的研究函数的方法，为以后在研究函数增长类型打下基础。【学习目标】1.在信息技术的辅助下，了解指数函数、对数函数、一次函数的增长差异;2.通过图象和表格数形结合地体现各类函数间增长变化的差异，了解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”的含义，提升对三类函数的认识;3.在认识函数增长差异的过程中，发展数学运算、逻辑推理和数学建模的素养，【学习重难点】重点：研究一次函数、指数函数、对数函数的增长方式的差异 难点：直线上升、指数爆炸、对数增长的含义的理解。【创设情境】问题1：在前面，我们学习过一次函数、指数函数、对数函数，这些函数在什么情况下是增函数？预设：y=kx+b,k>0y=ax,a>1.y=logax,a>1.教师：虽然它们都是增函数，但增长方式存在很大差异，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映。如果我们知道不同函数增长方式的差异，就可以根据现实问题中的增长情况，选择合适的函数模型来刻画其变化规律.下面就来研究一次函数，指数函数，对数函数增长方式的差异.问题2：你还记得前面研究指数函数、对数函数图象与性质的方法吗？预设：先画出某些具体指数函数或对数函数的图象，然后通过观察具体函数的图象与性质，从而总结归纳出一般指数函数或对数函数的图象与性质.教师：这节课，我们研究三种不同函数增长方式的差异，也采用这种方法，先从特殊的具体的函数出发，然后将所得结论推广到一般情形。【新知讲解】任务一、以函数 y=2x 与 y=2x 为例研究指数函数、一次函数增长方式的差异. 先考虑指数函数与一次函数，因为在区间(-,0)上，指数函数值恒大于0，一次函数 y=kx值恒小于0，所以我们重点研究它们在区间0,+)上的增长差异.探究1、选取适当的指数函数与一次函数，探索它们在区间0,+)上的增长差异，你能描述一下指数函数的增长的特点吗？分析：选择特殊的、具体的指数函数和一次函数进行研究，你会选择哪个函数呢？预设：y=2x，y=x教师：我们想找一个增长率，稍微大一点的，所以我们选 y=2x. 选好函数之后，我们就可以列表、描点、画图，这些其实都可以让计算机帮我们完成.xy=2xy=2x0100.51.41411221.52.82832442.55.6575386.追问1：有了表格和图象，我们关心的是“看什么”？教师：要研究两个函数增长的差异，那我们可以先从数值上观察（带领学生看看表格），也可以从图象上观察（红色曲线是2x，蓝色曲线是2x，观察图象你有什么发现？），下面找同学谈一谈你的发现？预设：结论1：函数y=2x与y=2x有两个交点（1,2）和（2,4）结论2：在区间(0,1)上，函数y=2x的图象为于y=2x之上，即2x>2x结论3：在区间(1,2)上，函数y=2x的图象位于y=2x之下，即2x<2x结论4：在区间(2,4)上，函数y=2x的图象位于y=2x之上，即2x>2x教师：有了表格和图象之后，我们其实可以从两个角度进行观察和表述。 角度1，从局部上看，就是看它们的交点、它们局部的位置关系，这样就的到了结论14；角度2，从整体上看，就是看它们的变化趋势、增长速度，当然我们可以从表格中观察，也可以从图象上观察.综上：虽然函数y=2x与y=2x都是增函数，但是它们的增长速度不同，函数y=2x的增长速度不变，但是y=2x的增长速度是变化的.追问2：当自变量x值越来越大时，两个函数图象的关系会怎样？教师：自变量x值越来越大，也就是我们要把它们放在更在更大的范围内来看，教师引导学生从数值上看表格，y=2x的函数值突飞猛进，迅速变大，而y=2x自变量每增加2，函数值都增加4，增长速度不变；从图象上看，当自变量x越来越大时， y=2x的图象就像与 x轴垂直一样，函数值快速增长；y=2x的增长速度保持不变，和y=2x的增长速度相比几乎微不足道.（GGB软件画图演示：当自变量x越来越大时，两函数图象的变化关系）大到100单位教师引导：直线的倾斜程度一直不变，指数曲线越来越直，放在更大范围内看，就像与x轴垂直一样.小结：函数 y=2x与 y=2x在0,+)上都是增函数,但它们的增长速度不同,而且不在一个“档次”.随着x的增大，y=2x的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=2x的增长速度.尽管在x的一定范围内， 2x<2x，但由于y=2x的增长最终会快于y=2x的增长，因此，总会存在一个x0，当x > x0时，恒有2x >2x.追问3：上述规律，可以推广到一般情形吗？预设：认为可以；不确定不敢说，追问4：你能仿照上述比较，说出一般情形的规律吗？预设：一般地，指数函数 y=ax(a>1)与一次函数 y=kx(k>0)的增长都与上述类似。即使k值远远大于a值，指数函数 y=ax(a>1)的函数值虽然有一段区间会小于y=kx(k>0) 的函数值,但总会存在一个x0，当x > x0时，y=ax(a>1)的增长速度会大大超过 y=kx(k>0)的增长速度. 这样我们就讨论清了指数函数与一次函数增长的差异，下面我们来研究对数函数与一次函数的增长差异.任务二、以函数y=lgx与 y=110x 为例研究对数函数、一次函数增长方式的差异.分析：因为在区间(-,0)上，对数函数没意义，一次函数值恒小于0，所以仍然研究区间(0,+)上它们的增长差异.探究2、选取适当的对数函数与一次函数，探索它们在区间(0,+)上的增长差异，你能描述一下对数函数的增长的特点吗？(1)分析：选择适当的对数函数与一次函数，同学们可能第一个想到的是y=log2x，y=lgx，y=lnx，为了便于计算，这里选择以10为底的常用对数，一次函数我们找个增长率小一点的，我们取 y=110x .选好函数之后，我们就可以列表、作图，仿照刚才讨论指数函数与一次函数的过程，比较对数函数与一次函数的增长差异.学生活动1：填写表格并作出函数 y=lgx 与 y=110x 的图象；xy=lgxy=110x.(2)借助信息技术，在同一直角坐标系内列表描点作图如下：xy=lgxy=110x0不存在01011201.3012301.4773401.6024501.6995601.7786.学生活动2：观察表格和图象，说一说你观察的规律。（教师引导局部和整体、表格和图象）预设：结论1：局部观察，看到有两个交点、以及一定范围内的位置关系； 结论2：整体观察，对数函数增长（越来越平缓）没有一次函数增长快，一次函数增长速度不变，教师：为了更好的观察对数函数与一次函数的增长差异，我们用几何画板来展示下它们在更大范围内的图象.(GGB演示，坐标单位变到1000时，函数的图象)小结：虽然函数 y=lgx 与 y=110x 在(0,+)上都是单调递增，但它们的增长速度存在明显差异. y=110x 在(0,+)上增长速度不变，y=lgx 在(0,+)上的增长速度在变化.随着x的增大，y=110x的图象离x轴越来越远，而函数 y=lgx 的图象越来越平缓，就像与x轴平行一样.追问1：以上是从图象上的观察，你能根据解析式进行分析吗？对于lgx 有 lg10=1， lg100=2， lg1000=3， lg10000=4，对于110x 有 110×10=1，110×100=10，110×1000=100，110×10000=1000，这表明，当x>10时，函数y=lgx 的增长比 y=110x 慢得多.结论：在一定范围内，lgx大于110x，但随着x的增长，y=lgx的增长速度将慢于y=110x，且越来越慢，因此总存在一个x0，当x> x0时，恒有lgx < 110x.追问2：如果将y=lgx放大1000倍，再对函数y=1000lgx与y=110x的增长情况进行比较，那么还有上述规律吗？（GGB动态演示，规律依然成立）追问3：你能将发现的规律推广到一般情形吗？预设：一般地，虽然对数函数 y=logax (a>l) 与一次函数 y=kx (k>0) 在(0,+)上都是单调递增，但它们的增长速度不同.随着 x 的增大，一次函数y=kx (k>0)保持固定的增长速度.而对数函数y=logax (a>l)的增长速度越来越慢.不论a值比k值大多少，在一定范围内logax (a>l)可能会大于kx，但由于logax (a>l)的增长会慢于kx的增长，因此总存在一个x0，当x> x0时，恒有logax < kx.任务三、(1)画出一次函数y=2x，对数函数y=1gx和指数函数 y=2x的图象，并比较它们的增长差异;预设：虽然函数y=2x，函数y=lgx与y=2x在(0,+)上都是单调递增，但它们的增长速度存在明显差异。y=2x 在(0,+)上增长速度不变，函数 y=lgx与y=2x在(0,+)上的增长速度在变化.函数 y=2x 的图象越来越陡，就像与 x轴垂直一样；函数y=lgx的图象越来越平缓，就像与x轴平行一样.(2)试着概括一次函数 y=kx (k>0)，对数函数y=logax (a>l)和指数函数y=bx(b>1)的增长差异;预设：一般地，虽然一次函数y=kx (k>0)，对数函数 y=logax (a>l)和指数函数 y=bx(b>1)在(0,+)上都是单调递增，但它们的增长速度不同.随着x的增大，一次函数 y=kx (k>0)保持固定的增长速度，而指数函数 y=bx(b>1)的增长速度越来越快；对数函数 y=logax (a>l)的增长速度越来越慢.(3)讨论交流“直线上升”“对数增长”“指数爆炸”的含义.直线上升:增长速度不变，是一个固定的值;对数增长:增长速度越来越慢，图象越来越平缓，就像与x轴平行一样;指数爆炸:增长速度越来越快，以相同倍数增加，图象越来越陡，最终就像与x轴垂直一样.【课堂小结】1、思想方法：由特殊到一般，由具体到抽象研究了一次函数 f(x)=kx+b，k>0，指数函数g(x)=ax(a>l)，对数函数 h(x)=logax(a>1)在定义域上的不同增长方式.以后会经常用到“直线上升”,“指数爆炸”,“对数增长”.把握了不同函数增长方式的差异,就可以根据现实问题的增长情况,选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律,学以致用.2、知识上：3、通过这节课，同学们有什么感悟?希望每位同学遇到困难都不要轻言放弃，如同指数函数一般，即使一开始进步缓慢，但这正是积淀的过程，不断的积累，最终一定会走向卓越，成就自己!【课堂检测】1、三个变量y1，y2，y3随变量x变化的数据如下表：x051015202530y151305051130200531304505y25901620291605248809447840170061120y35305580105130155其中关于x呈指数增长的变量是 .答案：y2分析：2、下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是（ ）A. y=ex B. y=lnx C. y=x2 D. y=e-x答案：A解析：【拓展提升】【课后作业】1.某工厂在原来月产量为，一月份增产，二月份比一月份减产，设二月份产量为, 则（ ） 2.下列函数中，增长速度最快的是（ ） 3.下面对函数，与在区间上递减的情况说法正确的是（ ）递减速度越来越慢，递减速度越来越慢，递减速度越来越慢；递减速度越来越快，递减速度越来越慢，递减速度越来越快；递减速度越来越慢，递减速度越来越慢，递减速度不变；4.当时，下列不等式正确的是（ ） 5.四人赛跑，假设其跑过的路程和时间的函数关系分别是，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人跑过的路程和时间具有的函数关系是（ ） 6.函数f(x)=2x和g(x)=3x的图象如图所示，设两函数的图象交于点，且。（1） 请指出图中曲线,分别对应的函数；（2） 结合函数图象，比较的大小。从特殊到一般，从定量到定性，从感性到理性，结论x0那个有点抢，学生怎么从感性到理性更加自然的理解，更通俗的理解不同类型函数的增长速度比较、同种类型函数的增长速比较，仅贴高考方向；建议问题设计不在多，要能让学生有的说，在生生互动方面可以让学生之间相互补充，提升学生思考深度。三个任务不多，但是第二个任务用的时间有点多，探究三结论出来的时候还有5分钟下课；讲的很清楚，怎样把自己讲的转化为问题，引导学生来思考，从教学设计和教学实施，认为学生突破了就突破了，任务不在多，而在于关键点的突破，不同类型函数增长差异改变点在哪里？同种类型的函数增长方式的差异在哪里？从设计的角度可以把x0的理解作为一个突破点，利用信息技术进行突破。多用一些具体的特殊的函数，因为具体数值的学生更容易接受，考虑优化内容把内容和高考题结合起来。