2024届高考数学专项练习指对同构（朗博同构）含答案.pdf

指对同构(朗博同构)指对同构(朗博同构)1.1.高考真题回顾高考真题回顾2020新高考I卷第21题2022新高考I卷第22题2022全国甲卷(理)21题2022全国乙卷(理)16题2023新高考I卷第19题2.2.同构类型同构类型一元同构二元同构局部同构同构+切线放缩【常见同构形式】【常见同构形式】(1)乘积模型：(1)乘积模型：aeablnbaealnbelnbealneablnblna+alnb+ln(lnb)f(x)=xexf(x)=xlnxf(x)=x+lnx(2)商式模型：(2)商式模型：eaablnbealneablnbeaaelnblnba-lnalnb-ln(lnb)f(x)=xlnxf(x)=exxf(x)=x-lnx(3)和差模型：(3)和差模型：eaablnbealneablnb f(x)=xlnxealneaelnblnb f(x)=exlnx【六大超越函数图像】【六大超越函数图像】12024届高考数学专项练习指对同构（朗博同构）含答案20202020新高考新高考1 1卷卷2121(2 2)1已知函数 f(x)=aex-1-lnx+lna，若 f(x)1，求a的取值范围220222022新高考新高考1 1卷第卷第2222题题2已知函数 f(x)=ex-x和g(x)=x-lnx，证明：存在直线y=b，其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列20222022全国甲卷全国甲卷(理理)2121题题3已知函数 f x=exx-lnx+x-a(1)若 f x0，求a的取值范围；(2)证明：若 f x有两个零点x1,x2，则x1x20时，f(x)2lna+32.320222022全国乙卷全国乙卷(理理)1616题题5已知x=x1和x=x2分别是函数 f(x)=2ax-ex2(a0且a1)的极小值点和极大值点若x10对x 0,1恒成立，则实数a的取值范围为()A.-,1eB.1e,+C.1e,1D.0,1e宁波九校高三上期末宁波九校高三上期末 2222(2 2)3已知函数 f(x)=x+1xlnx-2x，e是自然对数的底数若不等式2f(x)a(eax+1)-4x对x0恒成立，求实数a的取值范围4江苏盐城江苏盐城20232023届高三届高三5 5月三模月三模 22224已知函数 f(x)=ex-ea(a+lnx).(1)当a=1时，求 f(x)的单调递增区间；(2)f(x)0恒成立，求a的取值范围湖南九校联盟第二次联考湖南九校联盟第二次联考 16165已知不等式exalna(x-1)e(a0)恒成立,则实数a的最大值为湖南省湖南省20232023届高三下届高三下3 3月考试月考试 16166已知e是自然对数的底数若x 0，+，memxlnx成立，则实数m的最小值是7若不等式aex-lnx+lna0恒成立，则a的取值范围是()A.1e,+B.2e,+C.e2,+D.e，+)湖北鄂东南联考 湖北鄂东南联考 8 88已知函数 f(x)=lnx-x-xe-x-k恒有零点，则实数k的取值范围是()A.-,-1B.-,-1-1eC.-1-1e,-1D.-1-1e,05福建龙岩九校联考福建龙岩九校联考 16169已知函数 f(x)=mln(x+1)mx，若不等式 f(x)x+1ex在 0,+上恒成立，则实数m的取值范围是.湖南常德湖南常德3 3月模拟月模拟10已知不等式ln(x+a)ex-a对x1,+)恒成立，则a的取值范围为浙江省衢州、丽水、湖州三地市高三下学期浙江省衢州、丽水、湖州三地市高三下学期4 4月教学质量检测月教学质量检测 8 811对任意的实数x0，不等式2ae2x-lnx+lna0恒成立,则实数a的最小值为()A.2eB.22 eC.2eD.12e20222022湖北四地七校高二下期中湖北四地七校高二下期中 7 712已知实数a0，不等式ex-aln ax0恒成立，则a的取值范围是()A.1eaeB.0a1C.0ae湖南郴州高二下期末湖南郴州高二下期末 161613函数 f x=emx+m-1x-lnx mR若对任意x0，都有 f x0，则实数m的取值范围为湖南邵阳二模湖南邵阳二模 8 814若不等式tetx-1-1xln x-10对任意x 2e+1,+恒成立，则正实数t的取值范围是()A.ln22e+1,+B.ln2+12e+1,+C.0,ln2+12e+1D.ln22e+1,ln2+12e+1615已知函数 f x=ex-aln ax-a+a a0，若关于x的不等式 f x0恒成立，则实数a的取值范围为()A.(0,eB.(0,e2C.1,e2D.(1,e2)16关于x的不等式ex-eaxxa-1-lnxx恒成立，则a的取值范围为20222022衡阳市八中高二期末衡阳市八中高二期末 161617已知函数 f(x)=x+alnx+1ex-xa(a0，若对任意的x1e2，+，不等式emx-lnxm1m-emxmx恒成立，则实数m的取值范围为湖北省部分学校高三下湖北省部分学校高三下5 5月适应性考试月适应性考试 141419对于任意实数x0，不等式2ae2x-lnx+lna0恒成立，则a取值范围是.20232023 广东惠州广东惠州 一模一模T T2222(2 2)20已知函数 f(x)=2x-alnx，若函数 f(x)(a+2)x-xex恒成立，求实数a的取值范围720232023 广东深圳广东深圳 南山区高三上期末联考南山区高三上期末联考 222221已知定义在 0,+上的函数 f x=x eax.(1)若aR，讨论 f x的单调性；(2)若a0，且当x 0,+时，不等式eaxx2alnxax恒成立，求实数a的取值范围.20232023 广东汕头广东汕头 一模一模T T222222已知函数 f(x)=aex-ln(x+2)+lna-2(1)若函数 f x在x=2023处取得极值，求a的值及函数的单调区间；(2)若函数 f x有两个零点，求a的取值范围8题型二题型二二元同构20222022届山东聊城一模届山东聊城一模 8 823已知正数x，y满足ylnx+ylny=ex，则xy-2x的最小值为()A.121n2B.2-2ln2C.-121n2D.2+2ln224实数x，y满足ex=ylnx+ylny，则exx-2lny的最小值为20222022届届T T8 8第一次联考第一次联考 8 825设a，b都为正数，e为自然对数的底数，若aea+1+beB.bea+1C.abeD.bnlnn+m，则下列结论一定正确的是()A.若m0，则m-n0B.若m0，则em-n0C.若m0，则m+lnn0D.若m2河北省衡水中学河北省衡水中学20232023届高三下学期第三次综合素养评价届高三下学期第三次综合素养评价 161627若正实数a，b满足a lnb-lna+abea-1，则1ab的最小值为28设a=1011e111,b=11ln1.1，则()A.1abaB.1abbC.aab1D.bab0，若关于x的方程ex-1x-x+ln x=0存在正零点，则实数的值可能为A.1eB.12C.eD.230已知函数 f(x)=aexlnx1，若 f(x)0恒成立，则实数a的取值范围是20232023 广东广东 海珠区高三海珠区高三2 2月联考月联考 222231已知函数 f x=axex-12a0(1)讨论函数 f x的单调性；(2)已知函数g x=f x-lnxx有两个零点，求实数a的取值范围1020232023 广东广东3 3月月 中学生标准学术能力诊断测试联考模拟预测中学生标准学术能力诊断测试联考模拟预测T T2222(2 2)部分同构 部分同构+放缩放缩32设 f(x)=xex(xR R)，若(ex)f(x)k(lnx+1)在x 1,+上恒成立，求k的取值范围.20232023 广东广东 深圳中学深圳中学5 5月适应性测试月适应性测试T T2222(1 1)部分同构 部分同构33已知函数 f x=ax-alnx-exx，若不等式 f x0恒成立，求实数a的取值范围.题型四题型四同构+切线放缩20232023佛山一模佛山一模T T111134(多选)若正实数x，y满足xex-1=y 1+lny，则下列不等式中可能成立的是()A.1xyB.1yxC.xy1D.yx0时，f x a+1x+lnx+2，求实数a的取值范围.12补充练习补充练习杭州一模杭州一模(高三上期末高三上期末)T T1616-同构有一定难度，函数分析也比较麻烦同构有一定难度，函数分析也比较麻烦1已知不等式axlnaaln x-1(a0,a1)对x(1,+)恒成立，a的取值范围是.潍坊一模潍坊一模 2121(2 2)2已知函数 f x=ex-1lnx，g x=x2-x，证明：当x 0,2时，f xg x.20232023湖北高三九师联盟湖北高三九师联盟1 1月月 8 83已知ab1，若ea+bea=aeb+1+a，则A.ln(a+b)1B.ln(a-b)0C.3a+3-b2 3D.3a-1aln ax-2a(a0)恒成立，则实数a的取值范围为.5对x0，恒有a eax+12 x+1xlnx，则实数a的最小值为.13指对同构指对同构(朗博同构朗博同构)1.1.高考真题回顾高考真题回顾2020新高考I卷第21题2022新高考I卷第22题2022全国甲卷(理)21题2022全国乙卷(理)16题2023新高考I卷第19题2.2.同构类型同构类型一元同构二元同构局部同构同构+切线放缩【常见同构形式】【常见同构形式】(1 1)乘积模型：乘积模型：aeablnbaealnbelnbealneablnblna+alnb+ln(lnb)f(x)=xexf(x)=xlnxf(x)=x+lnx(2 2)商式模型：商式模型：eaablnbealneablnbeaaelnblnba-lnalnb-ln(lnb)f(x)=xlnxf(x)=exxf(x)=x-lnx(3 3)和差模型：和差模型：eaablnbealneablnb f(x)=xlnxealnea0，所以h(m)在R上单调递增由 elna+x-1+lna+x-1 elnx+lnx，可知 h(lna+x-1)h(lnx)，所以 lna+x-1 lnx，所以 lna(lnx-x+1)max令F(x)=lnx-x+1，则F(x)=1x-1=1-xx所以当x(0,1)时，F(x)0,F(x)单调递增；2当x(1,+)时，F(x)0,x0，令aex-1=t，所以lna+x-1=lnt，所以lna=lnt-x+1于是 f(x)=aex-1-lnx+lna=t-lnx+lnt-x+1由于 f(x)1,t-lnx+lnt-x+11t+lntx+lnx，而y=x+lnx在x(0,+)时为增函数，故tx，即aex-1x，分离参数后有axex-1令g(x)=xex-1，所以g(x)=ex-1-xex-1e2x-2=ex-1(1-x)e2x-2当0 x0,g(x)单调递增；当x1时，g(x)0.设g(x)=f(x),则g(x)=aex-1+1x20,g(x)在(0,+)上单调递增，即 f(x)在(0,+)上单调递增，当a=1时，f(1)=0,f xmin=f 1=1,f x1成立.当a1时，1a1，e1a-11，f1af(1)=a e1a-1-1(a-1)0，使得 f(x0)=aex0-1-1x0=0，且当x(0,x0)时 f(x)0，aex0-1=1x0，lna+x0-1=-lnx0，因此 f(x)min=f(x0)=aex0-1-lnx0+lna=1x0+lna+x0-1+lna2lna-1+21x0 x0=2lna+11,f x1,f x1恒成立；当0a1时，f(1)=a+lnaa1,f(1)0，所以S(a)在区间(0,+)内单调递增因为S(1)=1，所以a1时，有S(a)S(1)，即a+lna1下面证明当a1时，f(x)1恒成立令T(a)=aex-1-lnx+lna，只需证当a1时，T(a)1恒成立因为T(a)=ex-1+1a0，所以T(a)在区间1,+)内单调递增，则T(a)min=T(1)=ex-1-lnx因此要证明a1时，T(a)1恒成立，只需证明T(a)min=ex-1-lnx1即可由exx+1,lnxx-1，得ex-1x,-lnx1-x上面两个不等式两边相加可得ex-1-lnx1，故a1时，f(x)1恒成立当0a1时，因为 f(1)=a+lna1，显然不满足 f(x)1恒成立3所以a的取值范围为a1【整体点评】(2)方法一：利用同构思想将原不等式化成elna+x-1+lna+x-1elnx+lnx，再根据函数h(m)=em+m的单调性以及分离参数法即可求出，是本题的最优解；方法二：通过先换元，令aex-1=t，再同构，可将原不等式化成t+lntx+lnx，再根据函数y=x+lnx的单调性以及分离参数法求出；方法三：利用导数判断函数 f x的单调性，求出其最小值，由 fmin0即可求出，解法虽稍麻烦，但是此类题，也是本题的通性通法；方法四：由特殊到一般，利用 f(1)1可得a的取值范围，再进行充分性证明即可20222022新高考新高考1 1卷第卷第2222题题2已知函数 f(x)=ex-x和g(x)=x-lnx，证明：存在直线y=b，其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列【解答】易得 f(x)在 0,+，-,0；g(x)在 0,1，1,+只有y=b过 f(x)与g(x)交点时，恰有3个不同交点则有 f(x1)=f(x2)=g(x2)=g(x3)=b，即ex1-x1=ex2-x2=x2-lnx2=x3-lnx3=bex1-x1=ex1-lnex1=x2-lnx2，且ex11,x20,x20，lnx3=x2x3=ex2由可得：x1+x3=ex2+lnx2=b+x2+x2-b=2x2，证毕20222022全国甲卷全国甲卷(理理)2121题题3已知函数 f x=exx-lnx+x-a(1)若 f x0，求a的取值范围；(2)证明：若 f x有两个零点x1,x2，则x1x20故g t=et+t在区间 1,+上是增函数4故g tmin=g 1=e+1，即ae+1所以a的取值范围为(-,e+1方法二：常规求导f(x)的定义域为(0,+)，则f(x)=1x-1x2ex-1x+1=1x1-1xex+1-1x=x-1xexx+1令 fx=0,得x=1当x(0,1),f(x)0,f(x)单调递增 f(x)f(1)=e+1-a，若 f(x)0,则e+1-a0,即ae+1所以a的取值范围为(-,e+1(2)法一：极值点偏移+同构简化计算由题知,f x一个零点小于1,一个零点大于1，不妨设x11x2，要证x1x21,即证x1 f1x2，又因为 f x1=f x2,故只需证 f x2 f1x2，即证exx-lnx+x-xe1x-lnx-1x0,x(1,+)同构，原不等式变形为：ex-lnx+x-lnxe1x+lnx+1x+lnx令g(x)=ex+x，则有g(x-lnx)g1x+lnx即证：x-lnx1x+lnx,x(1,+)即证h(x)=2lnx+1x-x0,x(1,+)h(x)=2x-1x2-1=-x-12x21，即h(x)递减，故h(x)1，则 f t=t+lnt-a，f t=1+1t0所以g t=t+lnt-a在 1,+上单调递增，故g t=0只有1个解又因为 f x=exx+lnexx-a有两个零点x1,x2，故t=ex1x1=ex2x2两边取对数得：x1-lnx1=x2-lnx2，即x1-x2lnx1-lnx2=1又因为x1x2x1-x2lnx1-lnx2*，故x1x21，即x1x21下证x1x2x1-x2lnx1-lnx2*因为x1x2x1-x2lnx1-lnx2lnx1-lnx2x1-x2x1x2lnx1x21，则只需证2lnt1，则h t=2t-1-1t2=-1-1t205故h t=2lnt-t+1t在 1,+上单调递减故h th 1=0，即2lnt0时，f(x)2lna+32.解：即证：当a0时，aex+a2-x2lna+32第一步，指数化，同构变形：elna+x+a2-x2lna+32elna+x-lna+xlna-a2+32第二步，换元：令t=lna+x，tR R，有et-tlna-a2+32第三步，放缩：et-t1(证明略)，即证1lna-a2+32第四步，构造函数：令g(a)=lna-a2+32，g(a)=1a-2a，故g(a)在 0，22，22,+g(a)g22=ln22-12+32=ln22+10且a1)的极小值点和极大值点若x1x2，则a的取值范围是【答案】1e,1【详解】方法一：转化法，零点的问题转为函数图象的交点因为 fx=2lnaax-2ex，所以方程2lnaax-2ex=0的两个根为x1,x2，即方程lnaax=ex的两个根为x1,x2，即函数y=lnaax与函数y=ex的图象有两个不同的交点，因为x1,x2分别是函数 f x=2ax-ex2的极小值点和极大值点，所以函数 f x在-,x1和 x2,+上递减，在 x1,x2上递增，所以当时-,x1x2,+，fx0，即y=ex图象在y=lnaax下方a1，图象显然不符合题意，所以0a1令g x=lnaax，则gx=ln2aax,0a1，设过原点且与函数y=g x的图象相切的直线的切点为 x0,lnaax0，则切线的斜率为gx0=ln2aax0，故切线方程为y-lnaax0=ln2aax0 x-x0，则有-lnaax0=-x0ln2aax0，解得x0=1lna，则切线的斜率为ln2aa1lna=eln2a，因为函数y=lnaax与函数y=ex的图象有两个不同的交点，6所以eln2ae，解得1eae，又0a1，所以1ea1，则gx在R上单调递增，此时若gx0=0，则 fx在-,x0上单调递减，在 x0,+上单调递增，此时若有x=x1和x=x2分别是函数f x=2ax-ex2(a0且a1)的极小值点和极大值点，则x1x2，不符合题意；若0a0且a 1)的极小值点和极大值点，且 x1 0，fx0=2 ax0lna-ex0=2elna-ex00，即x01故lnax0=x0lna=lnelna21，所以1ea1.方法三：同构+放缩(简证)先得出0a0)放缩：exexexxeelna2e lna21-1lna01ea0对x 0,1恒成立，则实数a的取值范围为()A.-,1eB.1e,+C.1e,1D.0,1e【答案】B【分析】由题意可知a0，且lnaexaexlnxx对x 0,1恒成立，设g x=lnxx，则问题转化为g aexg x在 0,1上恒成立，利用导数说明函数的单调性，再分aex1和0aex0，lnex+lnaexalnxx，即lnaexaexlnxx对x 0,1恒成立设g x=lnxx，则问题转化为g aexg x在 0,1上恒成立，因为gx=1-lnxx2，所以当0 x0，当xe时，gx0，所以g x在 0,e上单调递增，在 e,+上单调递减，又g 1=0，所以当x 0,1时，g x0在x 0,1上，若aex1恒成立，即a1，g aex0g x；在x 0,1上，若0aexx恒成立，即xexa0，所以h x在 0,1上单调递增，所以h xh 1=1e，所以1ea0恒成立，求实数a的取值范围【答案】实数a的取值范围为2e,+2f(x)a(eax+1)-4x2 x+1xlnx-4xa(eax+1)-4x，整理，同乘x得：2 x+1xlnxa(eax+1)x2+1lnx2ax(eax+1)，比较一下2种构造方式，方式1：令g(x)=xex+x，g(x)=x+1ex+1，易错：由洛必达可知(选填时用)-)-这里用不了错了！8limx-x+1ex=x+1e-x=-+=limx-1-e-x=1-=-0，故g(x)=x+1ex+10g(x)g(x)=x+1ex+1=x+1e-x+1=x+1+e-xe-x，令h(x)=ex-x+1，易知h(x)2恒成立，故x+1+e-x=e-x-x+1+=h(-x)0g(x)0g(x)由 x2+1lnx2ax(eax+1)lnx2elnx2+lnx2axeax+ax，则有g(lnx2)g(ax)，由单调性可知lnx2axalnx2xmin=2e参考y=lnxx图像可以快速得出答案，解答题还是要写一下求导过程.方式2：g(x)=xlnx+x总结：(1)求导通分看极值点即可，注意2个增区间之间用“，”而不是“”(2)先同构再判断单调性.江苏盐城江苏盐城20232023届高三届高三5 5月三模月三模 22224已知函数 f(x)=ex-ea(a+lnx).(1)当a=1时，求 f(x)的单调递增区间；(2)f(x)0恒成立，求a的取值范围【答案】(1)1,+(2)(-,1(1)解：当a=1时，f x=ex-e 1+lnx，fx=ex-ex，又 fx=ex+ex20，fx单调递增，2分又 f1=0，当x 0,1时 fx0，f x的单调递增区间为 1,+.4分(2)若 f x0恒成立，即ex-eaa+lnx0恒成立.方法1：f x=ex-ealnx-eaa,fx=ex-eax=xex-eax,令g x=xex-ea，则gx=ex+xex0，g x=xex-ea在 0,+上单调递增，又g 0=-ea0，当x+时g(x)+，故存在唯一正实数x0使得x0ex0=ea，6分当xx0时，fxx0时，fx0，f x单调递增，f xmin=f x0=ex0-ealnx0-eaa，由 f x0恒成立，得 f xmin0，由x0ex0=ea得x0+lnx0=a，f xmin=f x0=ex0-x0ex0(x0+2lnx0)0，8分1-x0(x0+2lnx0)0，x0(x0+2lnx0)-10，x0+2lnx0-1x00，设h(x)=x+2lnx-1x，则h(x)9=1+2x+1x20恒成立，故h(x)在(0,+)上递增，而h(1)=0，00)，则g xg ln(tx)，8分gx=x+1ex0，g x=xex(x0)在 0,+上单调递增，当ln tx0时，g xg ln(tx)显然成立；当ln tx0时，xln tx=lnt+lnx恒成立，即lntx-lnx恒成立，可证x-lnx1(过程略)，lnt1，te，即eae，a1，综上，a的取值范围为(-,1.12分方法4：f(x)0恒成立，f(1)0，即eeaa，同法3考查函数g x=xex(x0)可得a1，7分反之，当a1时，x-a+1a+x-1，又可证lnxx-1,ex-ax-a+1(过程略)，ex-aa+lnx，exeaa+lnx恒成立，故a的取值范围为(-,1.12分补充：同构和型+放缩ex-ea(a+lnx)0exea(a+lnx)ex-aa+lnxex-a+x-ax+lnx=elnx+lnx令g(x)=ex+x，则有g(x-a)g(lnx)x-alnxa x-lnxmin=1总结：(1)两次求导+取点(2)法一和法二是整体求导再用隐零点处理，法三和法四是同构处理相对简单湖南九校联盟第二次联考湖南九校联盟第二次联考 16165已知不等式exalna(x-1)e(a0)恒成立,则实数a的最大值为【答案】e2exalna(x-1)eexa lna(x-1)-1ex-lnalna+ln(x-1)-1ex-lna+x-lnaln(x-1)+x-1令g(x)=ex+x，则有g(x-lna)g ln(x-1)x-lnaln(x-1)x-ln(x-1)lna2lnae2a可放缩补充：构造函数求导令g(x)=x-ln(x-1)，g(x)=1-1x-1=x-2x-1故g(x)在(1，2)上单调递减，在(2，+)上单调递增，因此g(x)min=g(2)=2.因为不等式exalna(x-1)e(a0)恒成立，所以Ina2，即ae2.总结：指对分离，补全结构，最后的最值可以放缩得出.10补充：对右边的式子配凑也可以湖南省湖南省20232023届高三下届高三下3 3月考试月考试 16166已知e是自然对数的底数若x 0，+，memxlnx成立，则实数m的最小值是【答案】1e解析：由memxlnxmxemxxlnx=elnxlnx令 f x=xex，则 f x在 0，+上单调递增，且 f mx f lnx，所以mxlnx，即mlnxx对x 0，+恒成立令g x=lnxx，则gx=1-lnxx2，所以当x 0，e时，gx0；当x e，+时，gx0，则lna+xlnx，即lna lnx-xmax令y=lnx-x，则y=1-xx，故ymax=-1，则lna-1a1e.对于lna+xlnx还可以直接分类参数：lna+xlnxlnalnx-lnex=lnxexaxexmax=1e总结：需要同加x才能补全结构【法二】：整体求导、取点设 f(x)=aex-lnx+lna，则x0，a0，f(x)=aex-1x，易知 f(x)在(0,+)上为增函数，存在x0(0,+)，使得 f(x0)=aex0-1x0=0，即aex0=1x0，两边取对数，可得lna+x0=-lnx0，当0 xx0时，f(x)x0时，f(x)0，函数 f(x)单调递增，f(x)min=f(x0)=aex0-lnx0+lna=1x0+x0+2lna，不等式aex-lnx+lna0恒成立，111x0+x0+2lna0恒成立，1x0+x0-2lna恒成立，1x0+x02x01x0=2，当且仅当x0=1时取等号，-2lna2，即a1e，故a的取值范围是1e，+湖北鄂东南联考 湖北鄂东南联考 8 88已知函数 f(x)=lnx-x-xe-x-k恒有零点，则实数k的取值范围是()A.-,-1B.-,-1-1eC.-1-1e,-1D.-1-1e,0方法1：同构要使 f(x)=lnx-x-xe-x-k恒有零点，只需k=lnx-x-xe-x=lnx-x-elnxe-x设lnx-x=t，求导可知t-,-1而k=t-et，求导可知函数k=t-et在-,-1上单调递增，故k-,1-1e方法2：分参求导k=lnx-x-xe-x，令g(x)=lnx-x-xe-x，则g(x)=1x-1-e-x+xe-x=1-x1x-1ex1x-1ex0故g(x)=lnx-x-xe-x在 0,1递增，1,+递减，故g(x)max=g(1)=-1-1e，故选B.注：由常见不等式exx+1得到，即ex-x01x-1ex0；或者令h(x)=1x-1ex=ex-xxex，h(x)=ex-1x2e2x，因为x0,故h(x)0方法3：直接求导(可以消掉k)f(x)=1x-1+xex-1ex=-xex+ex+x2-xxex=x-1x-exxex，不难得出 x-ex在 0,+上恒小于 0，故 f(x)在 0,1上单调递增，在 1,+上递减，故 f(x)max=f(1)=-1-1e-k，当x0时，f(x)-，故 f(x)的值域为-,-1-1e-k，则-1-1e-k0k-1-1e.福建龙岩九校联考福建龙岩九校联考 16169已知函数 f(x)=mln(x+1)mx，若不等式 f(x)x+1ex在 0,+上恒成立，则实数m的取值范围是.【答案】-,1f(x)x+1ex在 0,+上恒成立等价于mln(x+1)-mxx+1-ex第一步，错位同构：mln(x+1)-x+1mx-ex，第二步，构造对应函数：令g(x)=mx-ex，则有g ln(x+1)g(x)第三步，分析单调性，定义域：易知0ln(x+1)0mexmin=1总结：错位同构，很少见，最后要注意取等.湖南常德湖南常德3 3月模拟月模拟10已知不等式ln(x+a)ex-a对x1,+)恒成立，则a的取值范围为【答案】-1-1即：ln(x+a)+eln(x+a)x+ex，构造函数g x=x+ex，g ln x+ag x易知g x在x1,+)为增函数；xln x+a，令h x=x-ln x+a，hx=1-1x+a=x+a-1x+a，当a0时，hx0，h x在x1,+)为增函数，h xh 10，0ae-1；当-1a1；x1,1-a)，hx0；x 1-a，+时，hx0；h xmin=h 1-a=1-a0，-1a1，综上：-10，不等式2ae2x-lnx+lna0恒成立,则实数a的最小值为()A.2eB.22 eC.2eD.12e【答案】D总结：指对分离，补全结构20222022湖北四地七校高二下期中湖北四地七校高二下期中 7 712已知实数a0，不等式ex-aln ax0恒成立，则a的取值范围是()A.1eaeB.0a1C.0ae【解答】解：令 f(x)=ex-aln(ax)，a0，x(0，+)，f(x)=ex-ax在x(0，+)上单调递增，x0时，f(x)-；x+时，f(x)+存在唯一x00，使得ex0-ax0=0，即ex0=ax0，x0=lna-lnx0，x=x0时，函数 f(x)取得极小值即最小值，f(x0)=ax0+ax0-2alna0，2-2lna0，解得0a0，都有 f x0，则实数m的取值范围为【答案】1e,+【分析】将条件转化为emx+mxx+lnx，然后设g x=x+lnx x0，则问题转化为g emxg x，进而根据函数g x为增函数得到emxx0，最后通过分离参数求得答案.【详解】由题意，f x=emx+mx-x+lnx0emx+mxx+lnx，设g x=x+lnx x0，则问题可转化为g emxg x.因为g x=x+lnx是 0,+上增函数(增+增)，所以emxx0mlnxxx0恒成立.设h x=lnxxx0，则hx=1-lnxx2，x 0,e时hx0，h x单调递增，x e,+时hx1，则 f tx f ln x-1恒成立，利用 f x的单调性可得 tx ln x-1在 x 2e+1 时恒成立，即 t ln x-1xx2e+1恒成立，构造函数g x=ln x-1xx2e+1，由其单调性得g xg 2e+1=ln2+12e+1，即可得出答案.【详解】因为x2e+1，tetx-1-1xln x-10恒成立，即txetx x-1ln x-1=eln x-1ln x-1恒成立令 f x=xex(x0)，则 f tx f ln x-1恒成立因为 fx=x+1ex0恒成立，故 f x单调递增，所以txln x-1在x2e+1时恒成立，tln x-1xx2e+1恒成立令g x=ln x-1xx2e+1，gx=xx-1-ln x-1x2=x-x-1ln x-1x2x-1令h x=x-x-1ln x-1x2e+1，则hx=-ln x-1014 h x单调递减 h x h 2e+1=2e+1-2e+1-1 ln 2e+1-1=1-2eln2=1-eln4 0，即gx0，若关于x的不等式 f x0恒成立，则实数a的取值范围为()A.(0,eB.(0,e2C.1,e2D.(1,e2)【答案】B解：由题意可知：ex aln ax-a-aexa-lna ln x-1-1 ex-lna+x-lna x-1+ln x-1，即构成同构式ex-lna+x-lnaeln x-1+ln x-1，只需x-lnaln x-1构造函数：x-lnaln x-1x-ln x-1lnaexx-1max=e2a放缩：x-lnaln x-1x-ln x-12lna，a0)恒成立，即a1+lnxx对x 0,+恒成立令g x=lnxx，则gx=1-lnxx2，所以当x 0，e时，gx0；当x e，+时，gx0，故g x在 1，+上的最大值是1e，所以a1+1e故答案为：1+1e，+总结：参变分开即可20222022衡阳市八中高二期末衡阳市八中高二期末 161617已知函数 f(x)=x+alnx+1ex-xa(a0)，若 f(x)0在x2，+)上恒成立，则实数a的取值范围为【答案】-e,0)【解答】解：由 f(x)0在x2，+)上恒成立，得：lnxa-xalne-x-e-x在x2，+)上恒成立，易知当x2，+)，a0时，0 xa1，0e-x1，令函数g(t)=lnt-t(0t0，g(t)单调递增，故有xae-x，则alogxe-x=-xlnx在x2，+)上恒成立，令F(x)=-xlnx(x2)，则F(x)=1-lnx(lnx)2，15易得F(x)在2，e)上单调递增，在e，+)上单调递减，故F(x)max=F(e)=-e，故a-e，即实数a的取值范围是-e,0)总结：结构上的变形处理会麻烦一些，要由定义域所决定的函数单调性也可以这样构造：e-x-xxa-alnx=elnxa-alnx=ealnx-alnx令g(x)=ex-x x0，若对任意的x1e2，+，不等式emx-lnxm1m-emxmx恒成立，则实数m的取值范围为【答案】1e，+解析：由已知emx-lnxm1m-emxmx(mx+1)emx+1ln(ex)eln(ex)，令 f(x)=xex，则 f(mx+1)f(ln(ex)，显然 f(x)在 0，+上单调递增，所以mx+1ln(ex)=1+lnxmlnxx对x1e2，+恒成立令g x=lnxx，则gx=1-lnxx2，所以当x1e2，e时，gx0；当x e，+时，gx0，不等式2ae2x-lnx+lna0恒成立，则a取值范围是.【答案】12e,+【解析】【分析】不等式2ae2x-lnx+lna0恒成立等价于即2x+ln2xlnxa+ln lnxaxa，由于 f x=x+lnx为增函数，由 f 2x f lnxa得2xlnxa，即axe2x恒成立，令g x=xe2x，此题转化为求g xmax.【详解】不等式2ae2x-lnx+lna0恒成立等价于2ae2xlnxa即2xe2xxalnxax0，第一种：2xe2xxalnxax0e2xlne2xxalnxa，令h(x)=xlnx x1e，故h e2xhxa第二种：2xe2xlnxaelnxax0e2xlne2xxalnxa，h(x)=xexx0故h 2xh lnxa2xe2xxalnxax02x+ln2xlnxa+ln lnxaxa，还取啥对数呀由于 f x=x+lnx为增函数，16所以由 f 2x f lnxa，得2xlnxa，即axe2x恒成立，令g x=xe2x，则gx=1-2xe2x，当0 x0，g x单调递增，当x12时，gx0，g x单调递减易得g xmax=g12=12e，所以a12e，所以a的取值范围是12e,+.补充：2ae2x-lnx+lna02elna+2x+lna+2x2x+lnx=2elnx+lnx令g(x)=2ex+x，则有g(lna+2x)g(lnx)lna+2xlnxaxe2xmax=12e总结：构造比较麻烦，需要多尝试20232023 广东惠州广东惠州 一模一模T T2222(2 2)20已知函数 f(x)=2x-alnx，若函数 f(x)(a+2)x-xex恒成立，求实数a的取值范围【答案】a0,ef(x)(a+2)x-xex恒成立，等价于xex-a(x+lnx)0 xex=elnx+xelnx+xa(x+lnx)，令t=x+lnx，tR R，则有etat等价于y1=ex的图像恒在y2=ax的上方首先，y2=ax在一，三象限，即a0，过原点作y1=ex的切线，切线方程方程为y=ex，故ae.总结：部分同构+过某点的切线斜率思考1：分参是否可行？答：不行，要讨论正负elnx+xa(x+lnx)aelnx+xx+lnx补充：这样分参可行elnx+xa(x+lnx)a0时1ax+lnxelnx+xmax=1e00，且当x 0,+时，不等式eaxx2alnxax恒成立，求实数a的取值范围.【解析】(1)函数 f x=x eax，x0，求导得：f(x)=12 xeax+a x eax=2ax+12 xeax，当a0时，f(x)0，函数 f x在 0,+上单调递增，当a0得0 x-12a，由 f(x)-12a，则 f x在 0,-12a上递增，在-12a,+上递减，17所以当a0时，函数 f x的递增区间是 0,+；当a0，且当x 0,+时，不等式eaxx2alnxax恒成立，当0