2024届四川省绵阳市高三上学期第一次诊断性考试文科数学试题含答案.pdf

第 1 页 共 6 页绵阳市高中绵阳市高中 2021 级第级第一一次诊断性考试次诊断性考试文科数学参考答案及评分意见一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分BBCADBACBCBC二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13714515 1)，161三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分17解解：（1）由 S1，2S2，3S3成等差数列，则 4S2=S1+3S3，得 3a3=a2，3 分数列an的公比 q31，4 分由271a，数列an的通项公式nnnqaa4113；6 分（2）令nnab3log，则nbnn43log43，8 分当4n时，0nb，9 分当3n或 4 时，Tn取得最大值：612343TT 12 分18解解：（1）1)8tan()3(f，k48，而2|，2 分8，即)883tan()(xxf，3 分()f x的最小正周期为：83T；4 分（2）由题意，33()tan()888g xx，5 分(0)tantan()88f，)8tan()883323tan()0()4(，得由fg，7 分kk，832783Z，9 分0381211，又，Zkk，10 分第 2 页 共 6 页的最小值为7412 分19解：（1）232()(2)(2)=22(2)(2)f xxm xmxmxmxm m为奇函数，2(2)0(2)0mm m，解得：m=2 5 分（2）当 m0 时，2x2+m0，函数2()(2)(2)f xxm xm不可能有两个零点6 分当 m 0 时，由()0f x，解得：2mx 或 m2，7 分要使得 f(x)仅有两个零点，则22mm ，8 分即22780mm，此方程无解故 m=0，即32()24f xxx，9 分令32()()3243h xf xxx，则2()682(34)h xxxxx，()0h x，解得：0 x 或43x ，()0h x解得：403x，故()h x在4()3，(0)，上递增，在4(0)3，上递减，10 分又417()0327h ，故函数()3yf x仅有一个零点12 分20解：（1）cos(CB)sinA=cos(CA)sinB(cosCcosB+sinCsinB)sinA=(cosCcosA+sinCsinA)sinB2 分cosCcosBsinA=cosCcosAsinB3 分又ABC 为斜三角形，则 cosC0，cosBsinA=cosAsinB，5 分sin(AB)=0，又 A，B 为ABC 的内角，A=B；6 分（2）在ABC 中，由（1）知，a=b，第 3 页 共 6 页由正弦定理sinsinbcBC，则1sinsinCbcB，7 分又1sinBc，即sin1cB，11sinsin()sin2CABBab，2211ac=sin2Bsin22B，9 分2211ac=sin2Bsin22B=sin2B4cos2Bsin2B=sin2B4(1sin2B)sin2B，10 分令 sin2B=t，令 f(t)=t4(1t)t=4t23t，11 分又因为 0sin2B1，即 0t1，当 t=38时，f(t)取最小值，且 f(t)min=916，综上所述：2211ac的最小值为916 12 分21解：（1）方法一：aaxxxfx21e)(，1 分因为()f x在(1)，上单调递增，()0fx恒成立，故：当1x 时，21e1xxax恒成立 3 分设21e()(1)1xxg xxx，则max()agx，则12(2)(e)()(1)xxxg xx，易知1 xex，所以xex1，故令0)(xg得到：21 x；令0)(xg得到：2x()g x在(2)，上递减；在(1 2)，上递增5 分故：当1x时，max()(2)4egxg实数 a 的取值范围：4ea6 分方法二：12()exfxxaxa，第 4 页 共 6 页因为()f x在(1)，上单调递增，所以()0fx恒成立，等价于：211 0exxaxa在1)，上恒成立，2 分设21()1(1)exxaxag xx，则max()0gx，1()(2)()exxa xg x，当2a 时，()0g x，()g x在1)，上递减，max()(1)0gxg，符合题意3 分当2a 时，易知()g x在(12)，上递减，在(2)a，上递增，在）（,2上递减，因为(1)0g，故只需满足1()10aag ae（由1 xex易得），符合题意4 分当21 a时，易知()g x在(1，a)上递减，在(a，2)上递增，在）（,2上递减，因为(1)0g，故只需满足4(2)10eag，即24ae，当1a时，易知()g x在(1，2)上递增，在2 （，）上递减，5 分max4()(2)10agxge，不符合题意综上：实数 a 的取值范围：4ea6 分（2）()f x的极值点个数等价于()fx的变号零点个数，令21()1exxaxag x，则等价于()g x的变号零点个数，7 分当x 时，()g x ；当x时，1)(xg，由（1）可知1()(2)()exxa xg x，(1)0g，当2a时，易知()g x在），（上递减，故()g x有唯一变号零点 1；8 分当2a 时，易知()g x在），（2上递减，在），（a2上递增，在）（,2上递减，因为(2)(1)0gg，1()10eaag a，故()g x有唯一变号零点 1；当2a且1a时，易知()g x在()a，上递减，在(a，2)上递增，在2（，）上递减，第 5 页 共 6 页9 分01e)(1aaag，4(2)1eag，若(2)0g，即4e2a时，有唯一变号零点 1；10 分若(2)0g，即4ae且1a 时，()g x有三个变号零点 1，2x，3x，且2312xx。当1a 时，易知()g x在(1)，上递减，在(1，2)上递增，在)2(，上递减，11 分由于(1)0g，3(2)10eg，()g x有唯一变号零点0 x，且02x.综上：当ea 4且1a时，()f x有三个极值点；当1a 或4ea时，()f x有唯一极值点 12 分22解：（1）曲线 C1的参数方程为 C1：ttyttx11（t 为参数），由22 得 C1的普通方程为：422 yx；2 分曲线 C2的参数方程为 C2：sin2cos22yx（为参数），所以 C2的普通方程为：4)2(22yx；4 分（2）曲线 C1的极坐标方程为：4sincos2222)24(k，5 分2cos42，6 分由264cos2得：22A，射线：)0(6与曲线 C1交于 A)622(，7 分曲线 C2的极坐标方程为cos40cos4sincos2222，第 6 页 共 6 页由，cos46得：32B，射线：)0(6与曲线 C2交于 B)632(，9 分则PABSPOBSPOAS=1|()sin26BAOP=23 10 分23解：（1），1825124582533)(xxxxxxxxxf1 分08210245108250)(xxxxxxxf或或，2 分解得45215xxx或或，4 分不等式的解集为)21()4(，；5 分（2）证明：由1,8251,245,82)(xxxxxxxf，可得)(xf的最小值为6，6 分则6m，6cba，)111()()()(121111accbbaaccbbaaccbba)3(121accbacbacbaccbbabaacbacb7 分1(322212bc abca abca bcab bcab cabc ca 8 分43129)2223(121，当且仅当2cba时，等号成立，9 分43111accbba10 分