五年级奥数-质数、合数和分解质因数.docx

基本概念和知识1.质数与合数一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。要特别记住：1不是质数，也不是合数。2.质因数与分解质因数如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。例：把30分解质因数。解：302×3×5。其中2、3、5叫做30的质因数。又如122×2×322×3，2、3都叫做12的质因数。例题例题1 三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.解：210=2×3×5×7可知这三个数是5、6和7。例题2 两个质数的和是40，求这两个质数的乘积的最大值是多少？解：把40表示为两个质数的和，共有三种形式：40=17+23=1129=3+37。17×2339111×293193×37111。所求的最大值是391。答：这两个质数的最大乘积是391。例题3 自然数123456789是质数，还是合数？为什么？解：123456789是合数。因为它除了有约数1和它本身外，至少还有约数3，所以它是一个合数。例题4  连续九个自然数中至多有几个质数？为什么？解：如果这连续的九个自然数在1与20之间，那么显然其中最多有4个质数（如：19中有4个质数2、3、5、7）。如果这连续的九个自然中最小的不小于3，那么其中的偶数显然为合数，而其中奇数的个数最多有5个.这5个奇数中必只有一个个位数是5，因而5是这个奇数的一个因数，即这个奇数是合数.这样，至多另4个奇数都是质数。综上所述，连续九个自然数中至多有4个质数。例题5  把5、6、7、14、15这五个数分成两组，使每组数的乘积相等。解：5=5，7=7，6=2×3，142×7，15=3×5，这些数中质因数2、3、5、7各共有2个，所以如把14（=2×7）放在第一组，那么7和6（=2×3）只能放在第二组，继而15（3×5）只能放在第一组，则5必须放在第二组。这样14×15=210=5×6×7。这五个数可以分为14和15，5、6和7两组。例题6  有三个自然数，最大的比最小的大6，另一个是它们的平均数，且三数的乘积是42560.求这三个自然数。分析 先大概估计一下，30×30×30=27000，远小于42560.40×40×4064000，远大于42560.因此，要求的三个自然数在3040之间。解：42560=26×5×7×1925×（5×7）×（19×2）32×35×38（合题意）要求的三个自然数分别是32、35和38。例题7  有3个自然数a、b、c.已知a×b=6，b×c=15，a×c10.求a×b×c是多少？解：62×3，15=3×5，102×5。（a×b）×（b×c）×（a×c）=（2×3）×（3×5）×（2×5）a2×b2×c2=22×32×52（a×b×c）2（2×3×5）2a×b×c=2×3×530在例7中有a222，b2=32，c2=52，其中22=4，329，5225，像4、9、25这样的数，推及一般情况，我们把一个自然数平方所得到的数叫做完全平方数或叫做平方数。如.12=1，224，329，42=16，112=121，122=144，其中1，4，9，16，121，144，都叫做完全平方数.下面让我们观察一下，把一个完全平方数分解质因数后，各质因数的指数有什么特征。例如把下列各完全平方数分解质因数：9，36，144，1600，275625。解：9=32 36=22×32 144=32×241600=26×52 275625=32×54×72可见，一个完全平方数分解质因数后，各质因数的指数均是偶数。反之，如果把一个自然数分解质因数之后，各个质因数的指数都是偶数，那么这个自然数一定是完全平方数。如上例中，3662，144=122，1600=402，275625=5252。例题8  一个整数a与1080的乘积是一个完全平方数.求a的最小值与这个平方数。分析 a与1080的乘积是一个完全平方数，乘积分解质因数后，各质因数的指数一定全是偶数。解：1080×a=23×33×5×a，又1080=23×33×5的质因数分解中各质因数的指数都是奇数，a必含质因数2、3、5，因此a最小为2×3×5。1080×a1080×2×3×51080×3032400。答：a的最小值为30，这个完全平方数是32400。例题9  问360共有多少个约数？分析 360=23×32×5。为了求360有多少个约数，我们先来看32×5有多少个约数，然后再把所有这些约数分别乘以1、2、22、23，即得到23×32×5（=360）的所有约数.为了求32×5有多少个约数，可以先求出5有多少个约数，然后再把这些约数分别乘以1、3、32，即得到32×5的所有约数。解：记5的约数个数为Y1，32×5的约数个数为Y2，360（=23×32×5）的约数个数为Y3.由上面的分析可知：Y3=4×Y2，Y23×Y1，显然Y1=2（5只有1和5两个约数）。因此Y34×Y2=4×3×Y1=4×3×2=24。所以360共有24个约数。说明：Y3=4×Y2中的“4”即为“1、2、22、23”中数的个数，也就是其中2的最大指数加1，也就是36023×32×5中质因数2的个数加1；Y2=3×Y1中的“3”即为“1、3、32”中数的个数，也就是23×32×5中质因数3的个数加1；而Y1=2中的“2”即为“1、5”中数的个数，即23×32×5中质因数5的个数加1.因此Y3（31）×（2+1）×（1+1）=24。对于任何一个合数，用类似于对23×32×5（=360）的约数个数的讨论方式，我们可以得到一个关于求一个合数的约数个数的重要结论：一个合数的约数个数，等于它的质因数分解式中每个质因数的个数（即指数）加1的连乘的积。例题10  求240的约数的个数。解：24024×31×51，240的约数的个数是（41）×（1+1）×（11）=20，240有20个约数。请你列举一下240的所有约数，再数一数，看一看是否是20个？