山东省2022年中考数学(六三制)一轮习题-题型五几何图形探究题.docx

题型五几何图形探究题类型1动点探究题 (2020·凉山州)如图，点P，Q分别是等边ABC边AB，BC上的动点(端点除外)，点P，点Q以相同的速度，同时分别从点A，点B出发(1)如图1，连接AQ，CP.求证：ABQCAP；(2)如图1，当点P，Q分别在AB，BC边上运动时，AQ，CP相交于点M，QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数；(3)如图2，当点P，Q分别在AB，BC的延长线上运动时，直线AQ，CP相交于点M，QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数【思路分析】(1)根据等边三角形的性质，利用SAS定理证明ABQCAP即可；(2)由(1)知ABQCAP，根据全等三角形的性质可得BAQACP，从而得到QMC60°；(3)先判定ABQCAP，根据全等三角形的性质可得BAQACP，从而得到QMC120°.【规范解答】1(2019·威海)如图，在正方形ABCD中，AB10 cm，点E为对角线BD上一动点，连接AE，CE，过E点作EFAE，交直线BC于点F.点E从B点出发，沿着BD方向以每秒2 cm的速度运动，当点E与点D重合时，运动停止设BEF的面积为y cm2，点E的运动时间为x秒(1)求证：CEEF；(2)求y与x之间关系的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；(3)求BEF面积的最大值类型2图形变换探究题命题角度1图形平移变换 如图，将ABC沿着射线BC方向平移至ABC，使点A落在ACB的外角平分线CD上，连接AA.(1)判断四边形ACCA的形状，并说明理由；(2)在ABC中，B90°，AB24，cosBAC，求CB的长【思路分析】(1)根据平行四边形的判定定理(有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)知四边形ACCA是平行四边形再根据对角线平分对角的平行四边形是菱形知四边形ACCA是菱形；(2)通过解直角三角形ABC得到AC，BC的长度，由(1)中菱形ACCA的性质知ACAA，由平移的性质得四边形ABBA是平行四边形，则AABB，所以CBBBBC.【规范解答】2(2020·浙江嘉兴)在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，使点A与点F重合，点C与点D重合(如图1)，其中ACBDFE90°，BCEF3 cm，ACDF4 cm，并进行如下研究活动活动一：将图1中的纸片DEF沿AC方向平移，连接AE，BD(如图2)，当点F与点C重合时停止平移【思考】图2中的四边形ABDE是平行四边形吗？请说明理由【发现】当纸片DEF平移到某一位置时，小兵发现四边形ABDE为矩形(如图3)求AF的长活动二：在图3中，取AD的中点O，再将纸片DEF绕点O顺时针方向旋转度(090)，连接OB，OE(如图4)【探究】当EF平分AEO时，探究OF与BD的数量关系，并说明理由命题角度2图形旋转变换 (2019·德州)(1)如图1，菱形AEGH的顶点E，H在菱形ABCD的边上，且BAD60°，请直接写出HDGCEB的结果；(不必写计算过程)(2)将图1中的菱形AEGH绕点A旋转一定角度，如图2，求HDGCEB；(3)把图2中的菱形都换成矩形，如图3，且ADABAHAE12，此时HDGCEB的结果与(2)小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果(不必写计算过程)；若无变化，请说明理由 【思路分析】(1)连接AG，由菱形AEGH的顶点E，H在菱形ABCD的边上，且BAD60°，易得A，G，C共线，延长HG交BC于点M，延长EG交DC于点N，连接MN，交GC于点O，则四边形GMCN也为菱形，利用菱形对角线互相垂直，结合三角函数可得结论；(2)连接AG，AC，由ADC和AHG都是等腰三角形，易证DAHBAE与DAHCAG，利用相似三角形的性质及菱形的性质可得结论；(3)连接AG，AC，易证ADCAHG和ADHABE，利用相似三角形的性质可得结论【规范解答】3(2021·烟台)有公共顶点A的正方形ABCD与正方形AEGF按如图1所示放置，点E，F分别在边AB和AD上连接BF，DE，点M是BF的中点，连接AM交DE于点N，【观察猜想】(1)线段DE与AM之间的数量关系是_，位置关系是_；【探究证明】(2)将图1中的正方形AEGF绕点A顺时针旋转45°，点G恰好落在边AB上，如图2，其他条件不变，线段DE与AM之间的关系是否仍然成立？并说明理由命题角度3图形翻折变换 (2019·济宁)如图1，在矩形ABCD中，AB8，AD10，E是CD边上一点，连接AE，将矩形ABCD沿AE折叠，顶点D恰好落在BC边上点F处，延长AE交BC的延长线于点G.(1)求线段CE的长；(2)如图2，点M，N分别是线段AG，DG上的动点(与端点不重合)，且DMNDAM，设AMx，DNy.写出y关于x的函数解析式，并求出y的最小值；是否存在这样的点M，使DMN是等腰三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由【思路分析】(1)由翻折可知ADAF10.DEEF，设ECx，则DEEF8x.在RtEFC中，利用勾股定理构建方程即可解决问题；(2)证明ADMGMN，可得 ，由此即可解决问题；存在有两种情形：如图1中，当MNMD时如图2中，当MNDN时，作MHDG于H.分别求解即可解决问题【规范解答】4(2021·菏泽)在矩形ABCD中，BCCD，点E，F分别是边AD，BC上的动点，且AECF，连接EF，将矩形ABCD沿EF折叠，点C落在点G处，点D落在点H处(1)如图1，当EH与线段BC交于点P时，求证：PEPF；(2)如图2，当点P在线段CB的延长线上时，GH交AB于点M，求证：点M在线段EF的垂直平分线上；(3)当AB5时，在点E由点A移动到AD中点的过程中，计算出点G运动的路线长命题角度4图形的其他变换 (2019·淄博)如图1，正方形ABDE和BCFG的边AB，BC在同一条直线上，且AB2BC，取EF的中点M，连接MD，MG，MB.(1)试证明DMMG，并求的值；(2)如图2，将图1中的正方形变为菱形，设EAB2(0<<90°)，其他条件不变，问(1)中的值有变化吗？若有变化，求出该值(用含的式子表示)；若无变化，说明理由【思路分析】(1)延长DM交FG的延长线于点H.证明DMG是等腰直角三角形即可，连接EB，BF，DF，设BCa，则AB2a，BE2a，BFa，求出BM，MG即可解决问题；(2)(1)中的值有变化连接BE，AD交于点O，连接OG，CG，BF，CG交BF于O.首先证明O，G，F三点共线，再证明点M在直线AD上，设BCm，则AB2m，求出BM，MG(用m表示)，即可解决问题【规范解答】5【探究证明】(1)某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明：如图1，在矩形ABCD中，EFGH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H.求证：；【结论应用】(2)如图2，在满足(1)的条件下，又AMBN，点M，N分别在边BC，CD上若，则的值为_；【联系拓展】(3)如图3，四边形ABCD中，ABC90°，ABAD10，BCCD5，AMDN，点M，N分别在边BC，AB上，求的值类型3类比、拓展类探究题 (2021·东营)已知点O是线段AB的中点，P是直线l上的任意一点，分别过点A和点B作直线l的垂线，垂足分别为C和D.我们定义垂足与中点之间的距离为“足中距”(1)猜想验证如图1，当P与点O重合时，请你猜想、验证后直接写出“足中距”OC和OD的数量关系是_；(2)探究证明如图2，当P是线段AB上的任意一点时，“足中距”OC和OD的数量关系是否依然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；(3)拓展延伸如图3，当点P是线段BA延长线上的任意一点时，“足中距”OC 和OD的数量关系是否依然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； 若COD60°，请直接写出线段AC，BD，OC之间的数量关系图1图2图3【思路分析】(1)猜想：OCOD.证明RtAOCRtBOD(AAS)，可得结论；(2)结论成立过点O作直线EFCD，交BD于点F，延长AC交EF于点E，证明COEDOF(SAS)，可得结论；(3)结论成立如图3中，延长CO交DB的延长线于点E，证明COOE，再利用直角三角形斜边中线的性质解决问题即可；结论：ACBDOC.利用等边三角形的判定和性质以及全等三角形的性质证明即可【规范解答】6(2020·泰安)小明将两个直角三角形纸片如图1那样拼放在同一平面上，抽象出如图2的平面图形，ACB与ECD恰好为对顶角，ABCCDE90°，连接BD，ABBD，F是线段CE上一点探究发现：(1)当点F为线段CE的中点时，连接DF(如图2)，小明经过探究，得到结论：BDDF.你认为此结论是否成立？_(填“是 ”或“否”)拓展延伸：(2)将(1)中的条件与结论互换，即：若BDDF，则点F为线段CE的中点，请判断此结论是否成立若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由问题解决：(3)若AB6，CE9，求AD的长参考答案【类型清单·过方法关】【例1】 (1)证明：ABC是等边三角形，ABQCAP60°，ABCA.又点P，Q运动速度相同，APBQ.在ABQ与CAP中，ABQCAP(SAS)(2)解：当点P，Q分别在AB，BC边上运动时，QMC的大小不变ABQCAP，BAQACP.QMC是ACM的外角，QMCACPMACBAQMACBAC.BAC60°，QMC60°.(3)解：当点P，Q分别在AB，BC的延长线上运动时，QMC不变由(1)知ABQCAP，BAQACP.QMC是APM的外角，QMCBAQAPMACPAPM180°PAC180°60°120°.【跟踪训练】1(1)证明：如图，过点E作MNAB，交AD于点M，交BC于点N.四边形ABCD是正方形，ADBC，ABAD，MNAD，MNBC，AMEFNE90°NFEFEN.AEEF，AEFAEMFEN90°，AEMEFN.DBC45°，BNE90°，BNENAM，AEMEFN(AAS)，AEEF.四边形ABCD是正方形，ADCD，ADECDE.DEDE，ADECDE(SAS)，AECE，CEEF.(2)解：y与x之间的函数解析式为y(3)解：BEF面积的最大值是50 cm2.【例2】 解：(1)四边形ACCA是菱形理由如下：由平移的性质得到ACAC，且ACAC，则四边形ACCA是平行四边形，ACCAAC.又CD平分ACB的外角，即CD平分ACC，易证CD也平分AAC，四边形ACCA是菱形(2)CB16.【跟踪训练】2解：【思考】 四边形ABDE是平行四边形理由如下：ABCDEF，ABDE，BACEDF，ABDE，四边形ABDE是平行四边形【发现】 如图1，连接BE交AD于点O.四边形ABDE为矩形，OAODOBOE.设AFx cm，则OAOE(x4)，OFOAAF2x.在RtOFE中，OF2EF2OE2，(2x)232(x4)2，解得x，AF cm.【探究】 BD2OF.证明：如图2，延长OF交AE于点H.由矩形的性质及旋转的性质知OABOBAODEOED，OAOBOEOD，OBDODB，OAEOEA，BDEDEAABDEAB.ABDBDEDEAEAB360°，ABDBAE180°，AEBD，OHEODB.EF平分OEH，OEFHEF.EFOEFH90°，EFEF，EFOEFH(ASA)，EOEH，FOFH，EHOEOHOBDODB，EOHOBD(AAS)，BDOH2OF.【例3】 解：(1)HDGCEB11.(2)如图，连接AG，AC，BD，AC，BD交于点O.四边形ABCD和四边形AEGH都是菱形，ADAB，AHAE，DABHAE60°，DAHHABBAEHAB，DAHBAE(SAS)在DAH和BAE中，DAHBAE(SAS)，HDEB.四边形ABCD是菱形，DAB60°，DAC30°，ACBD，BD2OD，AC2OA，在RtAOD中，tanDAOtan 30°，BDAC1.又DAB60°，ADAB，ABD是等边三角形，ADBD，ADAC1.同理可得，AHAG1，ADACAHAG.又DACHAG，即DAHHACCAGHAC，DAHCAG，DAHCAG，HDGC1.又HDEB，HDGCEB11.(3)有变化HDGCEB12.【跟踪训练】3解：(1)DE2AMDEAM(2)仍然成立理由如下：如图，延长AM至点H，使得AMMH，连接FH.点M是BF的中点，BMFM .又AMBHMF，AMBHMF(SAS)，ABHF，ABMHFM，ABHF，HFGAGF.四边形ABCD和四边形AEGF均是正方形，DABAFG90°，AEAF，ADABFH，EAGAGF，EADEAGDABAFGAGFAFGHFGAFH，EADAFH(SAS)，DEAH.又AMMH，DEAMMH2AM.EADAFH，ADEFHA .AMBHMF，FHABAM，ADEBAM.又BAMDAMDAB90°，ADEDAM90°，AND180°(ADEDAM)90°，即DEAM.故线段DE与AM之间的数量关系是DE2AM，线段DE与AM之间的位置关系是DEAM.【例4】 解：(1)四边形ABCD是矩形，ADBC10，ABCD8，BBCD90°，由翻折可知ADAF10，DEEF.设ECx，则DEEF8x.在RtABF中，由勾股定理得BF6，CFBCBF1064.在RtEFC中，由勾股定理得(8x)2x242，x3，EC3.(2)ADCG，CG6，BGBCCG16.在RtABG中，AG8，在RtDCG中，DG10.ADDG10，DAGAGD.DMGDMNNMGDAMADM，DMNDAM，ADMGMN，ADMGMN，yx2x10.当x4时，y有最小值，最小值为2.存在有两种情形：如图1，当MNMD时，图1MDNGDM，DMNDGM，DMNDGM，.MNDM，DGGM10，xAM810.如图2，当MNDN时，过点M作MHDG于点H.图2MNDN，MDNDMN.DMNDGM，MDGMGD，MDMG.MHDG，DHGH5.由GHMGBA可得，MG，xAM8.【跟踪训练】4(1)证明：四边形ABCD是矩形，ADBC，DEFEFB.由翻折变换可知，DEFPEF，PEFPFE，PEPF.(2)证明：如图，连接AC交EF于点O，连接PM，PO.AECF，EAOFCO.AECF，AOECOF，AEOCFO(AAS)，OEOF.PEPF，PO平分EPF，POEF.ADBC，AEFC，EDBF.由折叠的性质可知EDEH，BFEH，PEEHPFBF，PBPH.PHMPBM90°，PMPM，RtPMHRtPMB(HL)，PM平分EPF，P，M，O三点共线POEF，OEOF，点M在线段EF的垂直平分线上(3)解：点G运动的路径长lBC .【例5】 (1)证明：如图1，延长DM交FG的延长线于点H.四边形ABDE和四边形BCFG都是正方形，DEACGF，EDMFHM.EMDFMH，EMFM，EDMFHM(AAS)，DEFH，DMMH.DE2FG，BGDG，HGDG.DGHBGF90°，MHDM，GMDM，DMMG.连接EB，BF，DF，设BCa，则AB2a，BE2a，BFa.EBDDBF45°，EBF90°，EFa.EMMF，BMEFa.HMDM，GHFG，MGDFa，.(2)解：的值有变化理由：如图2，连接BE，AD交于点O，连接OG，CG，BF，CG交BF于点O.DOOA，DGGB，GOAB，OGAB.GFAC，O，G，F三点共线FGAB，OFABDE.DEAC，ACOF，DEOF，OD与EF互相平分EMMF，点M在直线AD上GDGBGOGF，四边形OBFD是矩形，OBFODFBOD90°.OMMD，OGGF，MGDF.设BCm，则AB2m，易知BE2OB2·2m·sin 4msin ，BF2BO2mcos ，DFOB2msin .BMEF，又GMDFmsin ，.【跟踪训练】5(1)证明：如图，过点A作APEF，交CD于点P，过点B作BQGH，交AD于点Q，交AP于点T.四边形ABCD是矩形，ABDC，ADBC，四边形AEFP和四边形BHGQ都是平行四边形，APEF，GHBQ.GHEF，APBQ，QATAQT90°.四边形ABCD是矩形，DABD90°，DAPDPA90°，AQTDPA，PDAQAB，.(2)解：(3)解：.【例6】 解：(1)OCOD(2)数量关系依然成立理由如下：如图，过点O作直线EFCD，交BD于点F，延长AC交EF于点E.EFCD，DCEECDF90°，四边形CEFD为矩形，OFD90°，CEDF.由(1)知，OEOF，COEDOF(SAS)，OCOD.(3)数量关系依然成立证明：如图，过点O作直线EFCD，交BD于点F，延长CA交EF于点E.EFCD，DCEECDF90°，四边形CEFD为矩形，OFD90°，CEDF.由(1)知，OEOF，COEDOF(SAS)，OCOD.ACBDOC.【跟踪训练】6解：(1)是(2)结论成立证明如下：BDDF，EDAD，BDCCDF90°，EDFCDF90°，BDCEDF.ABBD，ABDC，AEDF.又AE，EEDF，EFFD.又EECD90°，ECDCDF，CFDF，CFEF，点F为CE的中点(3)AD.