河北省2022年中考数学人教版总复习教学案-第五章第2节矩形、菱形、正方形.docx

第二节矩形、菱形、正方形【课标要求】理解矩形的概念，探索并证明矩形的性质定理以及判定定理理解菱形的概念，探索并证明菱形的性质定理以及判定定理理解正方形的概念，探索并证明正方形的性质定理以及判定定理知道正方形具有矩形和菱形的一切性质理解平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系【教材对接】人教：八下第十八章P5259；冀教：八下第二十二章P134149；北师：九上第一章P225.矩形及其性质与判定定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形性质(1)矩形的对边平行且相等，四个内角都是直角；(2)矩形的两条对角线相等且互相平分；(3)矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形，有2条对称轴判定(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形(定义)；(2)有三个角是直角的四边形是矩形；(3)对角线相等的平行四边形是矩形面积、周长Sab，C2(ab)(a，b分别表示矩形的长和宽)菱形及其性质与判定定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形性质(1)菱形的四条边都相等，对边平行，对角相等；(2)菱形的两条对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角；(3)菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形，有2条对称轴判定(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形(定义)；(2)四条边相等的四边形是菱形；(3)两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形面积、周长Sah，C4a(a表示菱形的边长，h为该边上的高)；S(l1，l2分别表示菱形两条对角线的长)正方形及其性质与判定定义有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形性质(1)正方形的对边平行，四条边都相等；(2)正方形的四个角都是直角；(3)对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；(4)正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形，有4条对称轴判定(1)有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形(定义)；(2)有一组邻边相等(或对角线互相垂直)的矩形是正方形；(3)有一个角是直角(或对角线相等)的菱形是正方形；(4)对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形面积、周长Sa2，C4a(a表示正方形的边长)；S(l表示正方形的对角线长)平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系1关系图2从边、角的关系看3从对角线的关系看4平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质对比平行四边形矩形菱形正方形边对边平行且相等对边平行且相等对边平行、四条边都相等对边平行、四条边都相等角对角相等四个角都是直角对角相等四个角都是直角续表平行四边形矩形菱形正方形对角线对角线互相平分对角线互相平分且相等对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角对角线互相垂直平分且相等，且每一条对角线平分一组对角对称性中心对称轴对称、中心对称轴对称、中心对称轴对称、中心对称【知识拓展】中点四边形(1)定义：顺次连接四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形(2)中点四边形的形状由原四边形的对角线之间的关系决定原四边形是任意四边形，则中点四边形是平行四边形原四边形的对角线相等，则中点四边形是菱形原四边形的对角线垂直，则中点四边形是矩形原四边形的对角线垂直且相等，则中点四边形是正方形【基础练】(1)(2021·北京中考)如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AFEC.只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是AFAE(答案不唯一)(写出一个即可)(2)(2021·石家庄长安区二模)如图，在四边形ABCD中，ABAD，BCDC，AC, BD交于点O.添加一个条件使这个四边形成为一种特殊的平行四边形，则以下说法错误的是(B)A添加“ABCD”，则四边形ABCD是菱形B添加“BAD90°”，则四边形ABCD是矩形C添加“OAOC”，则四边形ABCD是菱形D添加“ABCBCD90°”，则四边形ABCD是正方形【例1】如图，点E，F分别在矩形ABCD的边AB，CD上，且DAFBCE.(1)求证：AFCE；(2)连接AC，若AC平分FAE，DAF30°，CE4，求CD的长【解题思路】(1)证明DAFBCE，即可得出结论；(2)由(1)可知，AFCE4，由ABCD可证CABDCA，可得出FACDCA，则CFAF4，由直角三角形的性质可得出结果【解答】(1)证明：四边形ABCD是矩形，ADBC，DB90°.DAFBCE，DAFBCE(ASA).AFCE；(2)解：四边形ABCD是矩形，ABCD.CABFCA.AC平分FAE，FACCAB.FACFCA.CFAF4.在RtADF中，DAF30°，DFAF2.CDDFCF6.1如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EFBC，分别交AB，CD于点E，F，连接PB，PD.若AE2，PF8，则图中阴影部分的面积为(C)A10 B12 C16 D182(2021·石家庄第四十中学二模)如图，在矩形ABCD中，点E从点B开始，沿矩形的边 BAAD运动，AB3，AD4，连接CE与对角线BD相交于点N，F是线段CE的中点，连接OF，则OF长度的最大值是(C)A1 B C2 D3(2021·武威中考)如图，在矩形ABCD中，E是BC边上一点，AED90°，EAD30°，F 是AD边的中点，EF4 cm，则BE6cm.【例2】(2021·十堰中考)如图，已知ABC中，D是AC的中点，过点D作DEAC交BC于点E，过点A作AFBC交DE于点F，连接AE，CF.(1)求证：四边形AECF是菱形；(2)若CF2，FAC30°，B45°，求AB的长【解题思路】(1)证明ADFCDE，可得AFCE，即四边形AECF是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可得证；(2)过点A作AGBC，解直角三角形即可求解【解答】(1)证明：在ABC中，点D是AC的中点，ADCD.AFBC，FADECD，AFDCED.AFDCED(AAS).AFCE.四边形AECF是平行四边形又EFAC，点D是AC的中点，即EF垂直平分AC，AFFC.四边形AECF是菱形；(2)解：如图，过点A作AGBC于点G.由(1)知四边形AECF是菱形，又CF2，FAC30°，AFEC，AECF2，FAE2FAC60°.AEBFAE60°.AGBC，AGBAGE90°.GAE30°.GEAE1，AGGE.B45°，GABB45°.BGAG.ABBG.4(2021·保定顺平县二模)在学习菱形时，几名同学对同一问题给出了如下几种解题思路，其中正确的是(A)已知：如图，四边形ABCD是菱形，E，F是直线AC上两点，AFCE.求证：四边形FBED是菱形甲：利用三角形全等，证明四边形FBED的四条边相等，进而说明该四边形是菱形；乙：连接BD，利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形，判定四边形FBED是菱形；丙：该题目错误，根据已知条件不能够证明该四边形是菱形A甲、乙对，丙错 B乙、丙对，甲错C三个人都对 D甲、丙对，乙错5如图，在菱形ABCD中，ABC120°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处(不与点B，D重合)，折痕为EF，若DG2，BG6，则BE的长为2.8.【例3】(2021·包头中考)如图，BD是正方形ABCD的一条对角线，E是BD上一点，F是CB延长线上一点，连接CE，EF，AF.若DEDC，EFEC，则BAF的度数为22.5°【解题思路】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定等，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形连接AE.设AB，FE交于点G.由题可知，DEDCAD，DEC，AED，FEC是等腰三角形，由正方形的性质得EBC，ADE，EDC度数，进而求出EAD，AED，DCE，DEC的度数，即可得出ECB，EFC，FEC，BEC，FEB，AEF的度数，再证DECDAE，则AEECEF，即可判断AEF的形状，从而得出FAE的度数，减去BAE即可6如图，已知四边形ABCD是矩形，点E在对角线AC上，点F在边CD上(点F与点C，D不重合)，BEEF，且ABECEF45°.(1)求证：四边形ABCD是正方形；(2)连接BD，交EF于点Q，求证：DQ·BCCE·DF.证明：(1)过点E作EMBC于点M.四边形ABCD是矩形，ABBC.EMAB.ABEBEM，BACCEM.ABECEF45°，BEMCEF45°.BEEF，CEM45°BAC.BACACB45°.ABBC.四边形ABCD是正方形；(2)BEFBCFEFCEBC360°，EBCEFC180°.又EFCQFD180°，QFDEBC.四边形ABCD是正方形，BCEFDQ45°.BCEFDQ.DQ·BCCE·DF.【例1】 如图，正方形ABCD的面积为12，ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PDPE的和最小，则这个最小值为() A.2B2C3D【错解分析】本题考查利用轴对称性质求最值问题，由正方形的对称性可知B和D关于AC成轴对称，则PDPE的和的最小值为BE的长，根据正方形面积与ABE是等边三角形即可求出这个最小值【正确解答】A1(2021·青海中考)如图，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上且DM2，N是AC上的一动点，则DNMN的最小值是10不能熟练地运用折叠、翻折、平移、旋转、剪拼等操作的性质【例2】如图，把菱形ABCD向右平移至菱形DCEF的位置，过点E作EGAB，垂足为G，EG与CD相交于点K，GD的延长线交EF于点H，连接DE，则下列结论： DGDE；DHEBAD；EFFH2KC；BEDH.其中所有成立的结论是()A.BCD【错解分析】本题考查菱形的性质、平移变换、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质等知识解题时因不能正确寻找出相应的全等三角形而出错【正确解答】A2(2021·唐山迁西县一模)如图，将长为6 cm，宽为4 cm的长方形ABCD先向右平移2 cm，再向下平移1 cm，得到长方形ABCD，则阴影部分的面积为24cm2.【例3】(2021·台州中考)如图，将长、宽分别为12 cm，3 cm的长方形纸片分别沿AB，AC折叠，点M，N恰好重合于点P.若60°，则折叠后的图案(阴影部分)面积为()A.(366) cm2B(3612) cm2C24 cm2D36 cm2【错解分析】本题主要考查矩形以及折叠的性质等，解题时容易因搞不清楚折叠的哪些角或线段相等而出现错误如图，过点C作CFMN，过点B作BEMN.长方形纸片分别沿AB，AC折叠，点M，N恰好重合于点P，PAC60°.EABPAB30°.BAC90°，AB6 cm，AC2 cm.SABCAB·AC×6×26(cm2).S阴S矩形SABC12×36(366) cm2.【正确解答】A3(2021·邢台模拟)如图1，有一个足够长的矩形纸片ABCD，E，F分别是AD，BC上的点，DEF24°.(1)将纸片含CD的部分沿EF折叠，称为第1次操作；如图2，则CFG132°；(2)继续将纸片含CD的部分沿BF折叠，称为第2次操作；如图3，则CFE108°；以后，重复上述这两步操作，分别记作第3次，第4次，第5次第n次操作，则n的最大值为6【例4】如图，将正方形沿图中虚线(其中xy)剪成四块图形，用这四块图形恰能拼成一个矩形(非正方形).(1)画出拼成的矩形的简图；(2)求的值【错解分析】本题主要考查正方形、矩形的性质，解一元二次方程、分式的基本性质等正确思考出本题中的四块图形到底怎样拼成一个矩形(非正方形)是解题的关键再利用拼图前后面积相等的关系，列方程即可求出的值解题时易因找不出拼成的矩形而出错【正确解答】解：(1)如图所示；(2)由拼图前后的面积相等，得(xy)yy(xy)2.y0，整理，得210.(负值不合题意，已舍去).4(2021·唐山滦州市二模)如图是甲、乙两张不同的矩形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则(A)A甲、乙都可以 B甲、乙都不可以C甲不可以、乙可以 D甲可以、乙不可以5七巧板是我国祖先的一项卓越创造，流行于世界各地由边长为2的正方形可以制作一副中国七巧板或一副日本七巧板，如图1所示分别用这两副七巧板试拼如图2中的平行四边形或矩形，则这两个图形中，中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数分别是(D)A1和1 B1和2C2和1 D2和2特殊四边形的判定及性质(5年6考)1(2019·河北中考)如图，菱形ABCD中，D150°，则1等于(D)A30° B25° C20° D15°2(2017·河北中考)求证：菱形的两条对角线互相垂直已知：如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O.求证：ACBD.以下是排乱的证明过程：又BODO，AOBD，即ACBD.四边形ABCD是菱形，ABAD.证明步骤正确的顺序是(B)A.BCD