2023年中考数学冲刺复习知识点-因式分解.docx

2023年中考数学冲刺复习知识点：因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样，现总结如下：1提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式. 例1.分解因式x2-2x-x x2-2x-x=x(x-2x-1) 2应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式. 例2.分解因式a2+4ab+4b2a2+4ab+4 b2=（a+2b）23分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n)，又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)例3.分解因式m2+5n-mn-5mm2+5n-mn-5m= m2-5m-mn+5n=( m2-5m)+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4十字相乘法对于mx2+px+q形式的多项式，如果a×b=m，c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)例4.分解因式7x2-19x-6分析：1 -37 22-21=-197x2-19x-6=（7x+2）(x-3)5配方法对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解.例5.分解因式x2+3x-40解x2+3x-40= x2+3x+(1.5)2-(1.5)2-40=(x+1.5)2-(6.5 )2=(x+1.5+6.5)(x+1.5 -6.5)=(x+8)(x-5)6拆、添项法可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解.例6.分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b)7换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来.例7.分解因式2x4-x3-6x2-x+22x4-x3-6x2-x+2=2(x4+1)-x(x2+1)-6x2=x22(x2+ 1/x2)-(x+ 1/x )-6令y=x+1/x，x22(x2+ 1/x2 )-(x+ 1/x )-6=x22(y2-2)-y-6=x2(2y2-y-10)=x2(y+2)(2y-5)=x2(x+ 1/x+2)(2x+ 2/x -5)=(x2+2x+1)(2x2-5x+2)=(x+1)2(2x-1)(x-2)8求根法令多项式f(x)=0，求出其根为x，x，x，x，则多项式可因式分解为f(x)=(x-x)(x-x)(x-x)(x-x)例8.分解因式2x+7x-2x-13x+6令f(x)=2x+7x-2x-13x+6=0通过综合除法可知，f(x)=0根为，-3，-2，1则2x+7x-2x-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)9图象法令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图象与x轴的交点x，x，x，x，则多项式可因式分解为f(x)=f(x)=(x-x)(x-x)(x-x)(x-x)例9.因式分解x+2x-5x-6令y=x+2x-5x-6作出其图象，见右图，与x轴交点为-3，-1，2则x+2x-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)10主元法先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解.例10.分解因式a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)分析：此题可选定a为主元，将其按次数从高到低排列a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)=a(b-c)-a(b-c)+(bc-cb)=(b-c)a-a(b+c)+bc=(b-c)(a-b)(a-c)11利用特殊值法将2或10代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式.例11.分解因式x+9x+23x+15令x=2，则x+9x+23x+15=8+36+46+15=105将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7注意到多项式中最高项的系数为1，而3.5.7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值则x+9x+23x+15=（x+1）（x+3）（x+5）12待定系数法首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解.例12.分解因式x-x-5x-6x-4分析：易知这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式.设x-x-5x-6x-4=(x+ax+b)(x+cx+d)=x+(a+c)x+(ac+b+d)x+(ad+bc)x+bd所以解得则x-x-5x-6x-4=(x+x+1)(x-2x-4)