2022年中考数学总复习考点知识梳理6.2与圆有关的位置关系.docx
6.2与圆有关的位置关系探索并了解点与圆的位置关系.了解直线和圆的位置关系,掌握切线的概念.探索切线与过切点的半径的关系;会用三角尺过圆上一点画圆的切线.知道三角形的内心和外心.探索并证明切线长定理:过圆外一点所画的圆的两条切线长相等(选学).从安徽省近几年的中考试卷看,与本节有关的命题常常是切线的性质与圆的基本性质综合考查,题型有选择题、填空题和解答题,考试的难度为中等及偏下.预测2022年对这部分知识的考查着力点还是放在切线的概念、切线与过切点的半径的关系上.命题点1 切线的性质与判定10年4考1.(2018·安徽第12题)如图,菱形ABOC的边AB,AC分别与O相切于点D,E.若D是AB的中点,则DOE=60°. 【解析】连接OA.AB与O相切于点D,ODAB.D是AB的中点,OA=OB.四边形ABOC是菱形,AB=OB=OA,ABO是等边三角形,B=60°,BAC=120°.AC与O相切于点E,OEAC,DOE=60°.2.一题多解(2020·安徽第20题)如图,AB是半圆O的直径,C,D是半圆O上不同于A,B的两点,AD=BC,AC与BD相交于点F.BE是半圆O所在圆的切线,与AC的延长线相交于点E.(1)求证:CBADAB;(2)若BE=BF,求证:AC平分DAB.证明:(1)因为AB为半圆O的直径,所以ACB=BDA=90°.在RtCBA与RtDAB中,因为BC=AD,BA=AB,所以CBADAB.(2)解法1:因为BE=BF,又由(1)知BCEF,所以BC平分EBF.因为AB为半圆O的直径,BE为切线,所以BEAB.于是DAC=DBC=CBE=90°E=CAB,故AC平分DAB.解法2:因为BE=BF,所以E=BFE.因为AB为半圆O的直径,BE为切线,所以BEAB.于是CAB=90°E=90°BFE=90°AFD=CAD,故AC平分DAB.改编题如图,AB是O的直径,C,E是O上不同于A,B的两点,BC与AE相交于点M,CM=EM,O的切线BF与AE的延长线相交于点D,与OE的延长线相交于点F.(1)求证:CBAEAB;(2)若DE=DF,求证:AE平分CAB.证明:(1)AB是O的直径,C=AEB=90°.CM=EM,CMA=BME,ACMBEM,AC=BE,又AB=BA,CBAEAB.(2)DE=DF,F=FED.OA=OE,EAO=OEA.OEA=FED,F=EAO.BF是O的切线,OBF=90°,F+BOF=90°.AEB=90°,EAO+ABE=90°,BOF=ABE,OE=EB.又OE=OB,OBE为等边三角形,EOB=60°,EAO=30°.CBAEAB,CAB=EBA=60°,CAE=EAB=30°,即AE平分CAB.命题点2 三角形的外接圆与内切圆10年4考3.(2019·安徽第13题)如图,ABC内接于O,CAB=30°,CBA=45°,CDAB于点D.若O的半径为2,则CD的长为 2. 【解析】如图,连接CO并延长交O于点E,连接AE,则E=B=45°.因为CE是O的直径,所以CAE=90°,所以AC=4×22=22.因为CAB=30°,CDAB,所以CD=12AC=2.4.(2017·安徽第20题)如图,在四边形ABCD中,AD=BC,B=D,AD不平行于BC,过点C作CEAD交ABC的外接圆O于点E,连接AE.(1)求证:四边形AECD为平行四边形;(2)连接CO.求证:CO平分BCE.证明:(1)由题意得B=E.B=D,E=D.CEAD,D+ECD=180°,E+ECD=180°,AECD,四边形AECD为平行四边形.(2)过点O作OMBC于点M,ONCE于点N.四边形AECD为平行四边形,AD=CE,又AD=BC,CE=CB,OM=ON.又OMBC,ONCE,CO平分BCE.考点1点与圆、直线与圆的位置关系典例1在平面直角坐标系中,圆心为坐标原点,O的半径为10,则点P(10,1)与O的位置关系为()A.点P在O上B.点P在O外C.点P在O内D.无法确定【解析】由题意知OP=(-10)2+12=101.O的半径为10,101>10,点P在O外.【答案】 B判断点与圆的位置关系,可以根据这个点到圆心的距离来进行:设O的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,则点P在圆外d>r;点P在圆上d=r;点P在圆内d<r.提分1数轴上有两个点A和B,点B表示实数6,点A表示实数a,B的半径为4.若点A在B内,则( B )A.a<2或a>10B.2<a<10C.a>2D.a<10【解析】点B表示实数6,B的半径为4,数轴与B的交点表示的数为2或10.点A表示实数a,点A在B内,2<a<10.典例2已知O的半径为2 cm,直线l上一点P到圆心O的距离为4 cm,则直线l与O的位置关系可能是()A.相离B.相切C.相交D.以上结果均有可能【解析】通过作图可知A,B,C项都有可能.【答案】 D考点2切线的性质与判定典例3如图,AB是O的直径,AC是O的切线,BC交O于点D,AE平分DAB,交O于点E,交BC于点F.(1)求证:CAD=DEA;(2)若AC=AB,求证:AF=2BE.【答案】(1)AB是O的直径,ADB=90°,DBA+DAB=90°.AC是O的切线,CAB=90°,即CAD+DAB=90°,CAD=DBA.DBA=DEA,CAD=DEA.(2)连接OE.AB是O的直径,OE=12AB.AB=AC,OE=12AC.由(1)知CAB=ADB=90°,CAD=DAB=C=45°.AE平分DAB,DAE=EAB=12DAB=22.5°,CAF=67.5°.EOB=2EAB=45°,EOB=C.OB=OE,OBE=12×(180°45°)=67.5°,OBE=CAF,CAFOBE,BEAF=OBAC=OEAC=12,即AF=2BE.提分2(2021·合肥包河区二模)如图,在RtABC中,C=90°,AC=4,BC=3,以BC上一点O为圆心作O与AC,AB都相切,O与BC的另一个交点为D,则线段BD的长为( B )A.14B.13C.12D.1【解析】连接OE,则OEAB,OE=OC.ACOC,ACB=90°,BEO=ACB=90°.又B=B,BEOBCA,BOBA=OEAC.C=90°,AC=4,BC=3,AB=5,BC-OEBA=OEAC,即3-OE5=OE4,OE=43,OC=43,BD=BC-2OC=13.考点3三角形的外接圆与内切圆典例4如图,在扇形OAB中,C是AB上任意一点(不与点A,B重合),CDOA交OB于点D,点I是OCD的内心,连接OI,BI.若AOB=,则OIB等于()A.180°12B.180°C.90°+12D.90°+【解析】连接IC.CDOA,CDB=AOB=,COD+OCD=CDB=.点I是OCD的内心,OI,CI分别平分COD,OCD,COI=12COD,OCI=12OCD,OIC=180°-(COI+OCI)=180°-12(COD+OCD)=180°-12,OIB=OIC=180°-12.【答案】 A【思维教练】因为三角形的内心是三角形三内角平分线的交点,所以在计算与证明中,有内心时,我们常连接内心与顶点,以便利用角平分线的性质.规律清单I内切于ABC,切点分别为D,E,F,如图,则(1)BIC=90°+12BAC;(2)若ABC的三边长分别为a,b,c,I的半径为r,则有SABC=12(a+b+c)r;(3)(选学)在ABC中,若ACB=90°,AC=b,BC=a,AB=c,则内切圆半径r=a+b-c2.提分3如图,在ABC中,AB=AC,BAC=40°,点O是ABC的内心,则BOC的度数为( B )A.120°B.110°C.115°D.130°【解析】AB=AC,BAC=40°,ABC+ACB=140°.点O是ABC的内心,OBC=12ABC,OCB=12ACB,OBC+OCB=12ABC+12ACB=12(ABC+ACB)=70°,BOC=180°(OBC+OCB)=110°.提分4(2021·北京)如图,O是ABC的外接圆,AD是O的直径,ADBC于点E.(1)求证:BAD=CAD;(2)连接BO并延长,交AC于点F,交O于点G,连接GC.若O的半径为5,OE=3,求GC和OF的长.解:(1)AD是O的直径,ADBC,BD=CD,BAD=CAD.(2)由(1)可得E为BC的中点,又O是BG的中点,OE=12GC,OEGC,AOFCGF,OAGC=OFGF.OE=3,GC=6.O的半径为5,OA=OG=5,56=OF5-OF,解得OF=2511.
