2022年中考数学总复习考点知识梳理4.5等腰三角形与直角三角形.docx

4.5等腰三角形与直角三角形了解等腰三角形的概念,探索并证明等腰三角形的性质定理;探索并掌握等腰三角形的判定定理.探索等边三角形的性质定理和判定定理.了解直角三角形的概念,探索并掌握直角三角形的性质定理;掌握有两个角互余的三角形是直角三角形.探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理.探索勾股定理及其逆定理,并能运用它们解决一些简单的实际问题.探索并证明角平分线的性质定理和判定定理.理解线段垂直平分线的概念,探索并证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理.了解三角形的重心的概念.本节内容属于安徽中考的必考内容,主要考查等腰三角形的性质和判定、勾股定理等,综合性较强.同时线段的垂直平分线、角平分线的性质和判定也经常考查,常与其他知识综合,考查图形形状的判定、全等、相似、翻折以及动点问题.预计2022年仍有这方面内容的考查,且难度在中等及以上.命题点1 等腰三角形的判定及计算必考,多与其他几何知识综合考查1.(2016·安徽第23题)如图1,A,B分别在射线OM,ON上,且MON为钝角.现以线段OA,OB为斜边向MON的外侧作等腰直角三角形,分别是OAP,OBQ,点C,D,E分别是OA,OB,AB的中点.(1)求证:PCEEDQ.(2)延长PC,QD相交于点R.如图2,若MON=150°,求证:ABR为等边三角形;如图3,若ARBPEQ,求MON的大小和ABPQ的值.解:(1)C,D,E分别是OA,OB,AB的中点,DEOC,CEOD,四边形ODEC是平行四边形,OCE=ODE.OAP,OBQ是等腰直角三角形,PCO=QDO=90°,PCE=EDQ.又PC=12AO=OC=ED,CE=OD=12OB=DQ,PCEEDQ(SAS).(2)连接OR.PR与QR分别为线段OA与OB的中垂线,AR=OR=BR,ARC=ORC,ORD=BRD.在四边形OCRD中,OCR=ODR=90°,MON=150°,CRD=30°,ARB=ARO+BRO=2ORC+2ORD=2CRD=60°,ABR为等边三角形.由(1)知EQ=PE,DEQ=CPE.PEQ=CEDCEPDEQ=ACECEPCPE=ACERCE=ACR=90°.即PEQ为等腰直角三角形.ARBPEQ,ARB=90°.在四边形OCRD中,OCR=ODR=90°,CRD=12ARB=45°,MON=135°.此时P,O,B在一条直线上,PAB为直角三角形且APB为直角,AB=2PE=2×22PQ=2PQ,即ABPQ=2.2.(2021·安徽第5题)两个直角三角板如图摆放,其中BAC=EDF=90°,E=45°,C=30°,AB与DF相交于点M.若BCEF,则BMD的大小为( C )A.60°B.67.5°C.75°D.82.5°【解析】BAC=EDF=90°,F=45°,B=60°.BCEF,BDF=F=45°,BMD=180°60°45°=75°.3.(2019·安徽第7题)如图,在RtABC中,ACB=90°,AC=6,BC=12,点D在边BC上,点E在线段AD上,EFAC于点F,EGEF交AB于点G.若EF=EG,则CD的长为( B )A.3.6B.4C.4.8D.5【解析】过点D作DMBC交AB于点M,易证DC=DM.设CD=x,则DM=x.DMAC,BDMBCA,BDBC=DMAC,即12-x12=x6,解得x=4.改编题如图,在RtABC中,C=90°,BAC=60°,AC=12,BAC的平分线AD交BC于点D,过点D作DECA交AB于点E.(1)求DE的长;(2)取线段AD的中点P,连接BP,交线段DE于点F,延长线段BP交边AC于点G,求EFDF的值.解:(1)在RtABC中,C=90°,BAC=60°,AC=12,BC=123.AD平分BAC,DAC=30°,在RtACD中,CD=43,BD=BCCD=83.DECA,DECA=BDBC=23,DE=8.(2)P是线段AD的中点,DP=AP.DECA,DFAG=DPAP,DF=AG.DECA,EFAG=BFBG=BDBC=23,EFDF=23.4.(2012·安徽第10题)在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点,分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形,剩下的部分是如图所示的直角梯形,其中三边长分别为2,4,3,则原直角三角形纸片的斜边长是( C )A.10B.45C.10或45D.10或217【解析】如图1,BD=AD=4,且tan =12=BCAB,故BC=12AB=4,则AC=AB2+BC2=45;如图2,易知FI=GI=4,tan =34=EFFG,故EF=34FG=6,则EG=EF2+FG2=10.综上可知,C项正确.教材知识网络(学用见P6970)考点1等腰三角形的性质和判定典例1如图,在BOD中,BOD=45°,OB=OD,DAOB于点A,OE平分BOD交AD于点F.(1)求证:OF=BD.(2)连接AE,BF.若G是线段OF的中点,连接AG.求证:AEG为等腰直角三角形.【答案】(1)OB=OD,OE平分BOD,OEBD,DE=BE.DAOB,BOD=45°,AOD是等腰直角三角形,OA=AD,ADB+DFE=OFA+AOF=90°.DFE=OFA,ADB=AOF.在AOF和ADB中,FAO=BAD,OA=AD,AOF=ADB,AOFADB(ASA),OF=BD.(2)G是OF的中点,OAF=90°,AG=OG=12OF,AOG=OAG.DE=BE,DAOB,AE=DE=12BD,ADB=DAE.由(1)知OF=BD,ADB=AOG,AE=AG,OAG=DAE.OAG+GAD=90°,DAE+GAD=90°,即EAG=90°,AEG为等腰直角三角形.提分1HK版教材八上P91 A组复习题第12题改编如图,CE是ABC外角的平分线,且ABCE.若ACB=32°,则A=74°. 提分2(2021·江西)如图,在ABC中,A=40°,ABC=80°,BE平分ABC交AC于点E,EDAB于点D,求证:AD=BD.证明:BE平分ABC,ABC=80°,ABE=12ABC=40°.A=40°,A=ABE,ABE为等腰三角形,EDAB,AD=BD.考点2等边三角形的性质和判定典例2(2020·四川宜宾改编)如图,ABC和ECD都是等边三角形,且点B,C,D在一条直线上,连接BE,AD,M,N分别是线段BE,AD上的两点,且BM=13BE,AN=13AD.判断CMN的形状,并说明理由.【答案】CMN是等边三角形.理由:ABC和ECD都是等边三角形,BC=AC,CE=CD,BCA=ECD=60°,BCA+ACE=ECD+ACE,即BCE=ACD.在BCE与ACD中,BC=AC,BCE=ACD,CE=CD,BCEACD(SAS),MBC=NAC,BE=AD.BM=13BE,AN=13AD,BM=AN.在MBC与NAC中,BM=AN,MBC=NAC,BC=AC,MBCNAC(SAS),MC=NC,BCM=ACN.BCM+MCA=60°,ACN+MCA=60°,即MCN=60°,CMN是等边三角形.【思维教练】(1)利用等边三角形的性质为证明三角形全等创造条件;(2)证明一个三角形是等边三角形的思路是证三边相等、两边相等且一个角是60°或两个角是60°.提分3如图,等边ABC沿DE折叠,点A恰好落在BC边上的点P处,且DPBC.若BP=4 cm,则EC=(2+23)cm. 【解析】根据“30°角所对的直角边等于斜边的一半”可求得BD=8,再由勾股定理求得DP=43.根据折叠的性质可以得到DPE=A=60°,DP=DA=43,易得EPC=30°,PEC=90°,所以EC=12PC=12(8+43-4)=(2+23) cm.提分4如图,在边长为4的等边ABC中,D,E分别为AB,BC的中点,EFAC于点F,G为EF的中点,连接DG,则DG的长为 192. 【解析】连接DE.D,E分别为AB,BC的中点,DE是ABC的中位线,DE=12AC=2,且DEAC,BD=BE=EC=2.EFAC,C=60°,FEC=30°,DEF=EFC=90°,FC=12EC=1,EF=EC2-FC2=3.G为EF的中点,EG=32,DG=DE2+EG2=192.考点3直角三角形的性质和判定典例3(2021·湖南娄底改编)如图,E,F是等腰RtABC的斜边BC上的两动点,EAF=45°,CDBC且CD=BE.求证:(1)ADE为等腰直角三角形;(2)EF2=BE2+CF2.【答案】(1)ABC是等腰直角三角形,AB=AC,B=ACB=45°.CDBC,BCD=90°,ACD=BCDACB=45°=B.在ABE和ACD中,AB=AC,B=ACD,BE=CD,ABEACD(SAS),AE=AD,BAE=CAD.BAE+CAE=90°,CAE+CAD=90°,即DAE=90°,ADE为等腰直角三角形.(2)由(1)知DAE=90°,AE=AD.EAF=45°,DAF=DAEEAF=45°=EAF.AF=AF,AEFADF(SAS),DF=EF.在RtDCF中,根据勾股定理,得DF2=CF2+CD2.CD=BE,EF2=BE2+CF2.【思维教练】(1)(2)提分5(2021·四川雅安)如图,在RtABC中,ABC=90°,BF是AC边上的中线,DE是ABC的中位线.若DE=6,则BF的长为( A )A.6B.4C.3D.5提分6如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=3,E为BC上一点,把CDE沿DE翻折,点C恰好落在AB边上的点F处,则CE的长是( D )A.1B.43C.32D.53【解析】设CE=x,则BE=3x.由折叠的性质可知EF=CE=x,DF=CD=AB=5.在RtDAF中,AD=3,DF=5,AF=DF2-AD2=4,BF=AB-AF=1.在RtBEF中,BE2+BF2=EF2,即(3-x)2+12=x2,解得x=53.勾股定理“赵爽弦图”链接教材:HK版八年级下册P62第18章数学史话1.公元3世纪,我国数学家赵爽巧妙地利用面积关系(后人称“赵爽弦图”)证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲.“赵爽弦图”还曾经作为国际数学家大会的会标.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD.已知小正方形的边长为3,大正方形的边长为7,则每个直角三角形的周长为( A )A.7+89B.7+69C.14D.15【解析】设每个直角三角形较长直角边的长度为a,较短直角边的长度为b.由题意知每个直角三角形的面积为14×(72-32)=10,即ab=20.a2+b2=49,a2+b2+2ab=49+2ab,(a+b)2=89,即a+b=89,每个直角三角形的周长为7+89.2.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b.若ab=8,大正方形的面积为25,则小正方形的边长为( D )A.9B.6C.4D.3【解析】由题意可知中间小正方形的边长为ab.每一个直角三角形的面积为12ab=12×8=4,4×12ab+(ab)2=25,(ab)2=2516=9,ab=3.3.公元3世纪,我国数学家赵爽巧妙地利用如图1所示的图形面积关系(后人称“赵爽弦图”)证明了勾股定理,这是我国古代数学的骄傲.“赵爽弦图”还曾经作为国际数学家大会的会标.某数学探究小组仿照“赵爽弦图”也作了一个如图2的“弦图”,它由5个小图形拼成了一个大平行四边形,其中两个是全等的等腰直角三角形(ADE和BCG),另外两个是全等的直角三角形(ABH和CDF),中间是一个小正方形EFGH.已知AB=10,BAH=26°48',求AD的长.(结果保留两位小数,参考数据:sin 26°48'0.45,cos 26°48'0.89,tan 26°48'0.51,21.4)解:在RtABH中,AB=10,BAH=26°48',BH=AB·sin 26°48'4.5,AH=AB·cos 26°48'8.9.四边形EFGH是正方形,AHAE=BGBH.AE=BG,AHAE=AEBH,即2AE=AH+BH,AE=6.7.在等腰RtADE中,AD=2AE9.38.