河北省2022年中考数学人教版总复习教学案-第四章第5节解直角三角形.docx

第五节解直角三角形【课标要求】探索并认识锐角三角函数(正弦、余弦、正切)，知道30°，45°，60°角的三角函数值会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题【教材对接】人教：九下第二十八章P6085；冀教：九上第二十六章P103126；北师：九下第一章P127.锐角三角函数的定义正弦sin A在RtABC中，C90°，ABc，BCa，ACb余弦cos A正切tan A特殊角的三角函数值三角函数 30°45°60°图示sin cos tan 1解直角三角形1解直角三角形中常用的关系在直角三角形中，除直角外，还有三条边和两个锐角共五个元素由这五个元素中的已知元素求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形三边关系a2b2c2在RtABC中，C90°两锐角关系AB90°边角关系sin Acos B，cos Asin B， tan A，tan B2.解直角三角形的两种基本图形【基础练1】(1)(2021·云南中考)在ABC中，ABC90°，若AC100，sin A，则AB的长是(D)A B C60 D80(2)(2021·唐山丰润区一模)如图，RtABC中，C90° ，点D在AC上，DBCA.若AC4，cos A，则BD的长度为(C)A. BC D4解直角三角形的应用解直角三角形应用中的相关概念仰角、俯角在视线与水平线所夹的锐角中，视线在水平线上方的角叫做仰角；视线在水平线下方的角叫做俯角(如图)坡度(坡比)、坡角坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i；坡面与水平线的夹角叫做坡角，坡度等于坡角的正切值，即itan (如图) 注：坡度越大，坡角越大，坡面越陡，反之亦然方位角从某个参照点看物体，视线与正北(或正南)方向射线的夹角(一般指锐角)称为方位角点A位于点O的北偏东30°方向；点B位于点O的南偏东60°方向；点C位于点O的北偏西45°方向或西北方向(如图)【方法点拨】解直角三角形的方法：(1)解直角三角形，当所求元素不在直角三角形中时，应作辅助线构造直角三角形，或寻找已知直角三角形中的边角替代所要求的元素；(2)解决实际问题的关键是构造几何模型，大多数问题都需要添加适当的辅助线，将问题转化为解直角三角形的问题【基础练2】(1)(2021·河北一模)如图，创新小组要用架高AB1.6 m的测角仪测量公园内一棵树的高度CD，其中一名小组成员站在距离树4.8 m的点B处，测得树顶C的仰角为45°.则这棵树的高度为(C)A1.6 m B4.8 m C6.4 m D8 m(2)(2021·武汉中考)如图，海中有一个小岛A.一艘轮船由西向东航行，在点B测得小岛A在北偏东60°方向上；航行12 n mile到达点C，这时测得小岛A在北偏东30°方向上小岛A到航线BC的距离是10.4n mile(1.73，结果用四舍五入法精确到0.1)锐角三角函数及特殊角的三角函数值【例1】(2021·沧州南皮县一模)如图，在ABCD中，AB3，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别与AB，BC交于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧在ABC内部相交于点G，作射线BG，交AD边于点H.若cos ABH，则BH的长为(C)A2 B3 C4 D6【解题思路】本题考查了锐角三角函数、角平分线的尺规作图等，熟练进行等角度的转换是解题的关键过点A作AMBH于点M.由作图可得BH是ABC的平分线，ABHHBC. 由ABCD可得ADBC.CBHAHB.ABHAHB又AMBH，BMMH.在RtABM中，cos ABH.BM2.又BMMH，BH4【例2】(2021·泰安中考)如图，四边形ABCD是O的内接四边形，B90°，BCD120°，AB2，CD1，则AD的长为(C)A22 B3C4 D2【解题思路】如图，延长AD，BC交于点E.B90°，BCD120°，A60°，E30°，ADC90°.ADCEDC在RtCDE中，tan 30°，DE.在RtABE中，sin 30°，AE4.ADAEDE41(2021·河北一模)在ABC中，C90°，AB，BC，则A的度数为(B)A30° B45° C60° D75°2(2021·张家口一模)如图，在RtABC中，C90°，tan ，小明在图中用尺规完成了一些作图，根据作图痕迹，可以得到cos 2等于(B)A B C D3(2021·广元中考)如图，在4×4的正方形网格图中，已知点A，B，C，D，O均在格点上，其中A，B，D又在O上，点E是线段CD与O的交点则BAE的正切值为4(2021·海南中考)如图，ABC的顶点B，C的坐标分别是(1，0)，(0，)，且ABC90°，A30°，则顶点A的坐标是(4，)【例3】(2021·唐山开平区一模)如图，台风在某海岛(设为点O)的南偏东45°方向的点B生成，测得OB100 km.台风中心从点B以40 km/h的速度向正北方向移动，经过5 h后到达海面上的点C处因受气旋影响，台风中心从点C开始以30 km/h的速度向北偏西60°方向继续移动，以O为原点建立如图所示的直角坐标系已知距台风中心20 km的范围内均会受到台风的侵袭如果某城市(设为点A)位于点O的正北方向且处于台风中心的移动路线上，那么台风从生成到最初侵袭该城要经过的时间为(D)A8 h B9 h C10 h D11 h【解题思路】本题主要考查解直角三角形的应用，构造出直角三角形是关键过点C作CDOA于点D.由题意可知EOB90°45°45°，ACD90°60°30°. OB100 km，OEOB100 km.DCOE100 km.AC200 km.台风中心从点C开始以30 km/h的速度向北偏西60°方向继续移动，台风从点C到最初侵袭该城要经过的时间为6 h. 台风中心从点B以40 km/h的速度向正北方向移动，经5 h后到达海面上的点C处，台风从生成到最初侵袭该城要经过的时间为6511h.5(2021·石家庄长安区二模)如图为东西流向且河岸平行的一段河道，点A，B分别为两岸上一点，且点B在点A的正北方向，由点A向正东方向走a m到达点C，此时测得点B在点C的北偏西55°方向上，则河宽AB的长为(D)A.atan 55° mB mC mD m6(2021·唐山迁安市二模)图1是一个地铁站入口的双翼闸机如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10 cm，双翼的边缘ACBD54 cm，且与闸机侧立面夹角PCABDQ30°.当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为(C)图1 图2A(5410) cm B(5410) cmC64 cm D54 cm7(2021·邯郸三模)如图是某厂家新开发的一款摩托车，它的大灯射出的光线AB，AC与地面MN的夹角分别为8°和10°，该大灯照亮地面的宽度BC的长为3.5 m，则该大灯距地面的高度为(参考数据：sin 8°，tan 8°，sin 10°，tan 10°)(B)A3.5 m B2.5 m C4.5 m D5.5 m8(2021·本溪中考)如图，某地政府为解决当地农户网络销售农特产品物流不畅问题，计划打通一条东西方向的隧道AB.无人机从点A的正上方点C，沿正东方向以8 m/s的速度飞行15 s到达点D，测得A的俯角为60°，然后以同样的速度沿正东方向又飞行50 s到达点E，测得点B的俯角为37°.(1)求无人机的高度AC(结果保留根号)；(2)求AB的长度(结果精确到1 m)(参考数据：sin 37°0.60，cos 37°0.80，tan 37°0.75，1.73)解：(1)由题意，得CD8×15120(m).在RtACD中，tan ADC，ACCD·tan ADCCD·tan 60°120(m).答：无人机的高度AC是120 m；(2)过点B作BFCD于点F，则四边形ABFC是矩形BFAC120 m，ABCF.在RtBEF中，tan BEF，EF276.8(m).CE8×(1550)520(m)，ABCFCEEF520276.8243(m).答：隧道AB的长度约为243 m对坡度和坡角的概念理解不清，不知道是哪两条线段的比值【例1】如图是某河坝横断面示意图，AC为迎水坡，AB为背水坡，过点A作水平面的垂线AD，BD2CD，已知斜坡AC的坡度为iAC，坡角为ACD，斜坡AB的坡度为iAB，坡角为ABD，则下列结论正确的是()A.iAC2iABBACD2ABDC2iACiABD2ACDABD【错解分析】本题考查坡度和坡角的概念，坡度ihl，易将坡度记成对边与斜边的比值或与坡角混淆而出错【正确解答】A1如图是某水库大坝的横截面示意图，已知ADBC，且AD，BC之间的距离为15 m，背水坡CD的坡度i10.6.为提高大坝的防洪能力，需对大坝进行加固，加固后大坝顶端AE比原来的顶端AD加宽了2 m，背水坡EF的坡度i34，则大坝底端增加的长度CF是(C)A7 m B11 m C13 m D20 m2(2021·无锡中考)一条上山直道的坡度为17，沿这条直道上山，每前进100 m所上升的高度为10m.解直角三角形时，不管是否在直角三角形中都直接套用锐角三角函数去求解【例2】(2021·潍坊中考)如图，某海岸线M的方向为北偏东75°，甲、乙两船同时出发向C处海岛运送物资甲船从港口A处沿北偏东45°方向航行，乙船从港口B处沿北偏东30°方向航行，其中乙船的平均速度为v.若两船同时到达C处海岛，求甲船的平均速度(结果用v表示参考数据：1.4，1.7)【错解分析】本题考查解直角三角形的应用，因对三角函数知识理解不透彻，不看图形是不是直角三角形就直接套用锐角三角函数而出错，或者在构造多个直角三角形时，没有看清哪些角或边在哪个直角三角形内【正确解答】解：过点C作CDAM，垂足为点D.由题意，得CAD75°45°30°，CBD75°30°45°.设CDa，则BDa，BCa，AC2CD2a.两船同时到达C处海岛，t甲t乙，即.v甲v1.4v.3(2021·南京中考)如图，为了测量河对岸两点A，B之间的距离，在河岸这边取点C，D.测得CD80 m，ACD90°，BCD45°，ADC19°17，BDC56°19.设A，B，C，D在同一平面内，求A，B两点之间的距离(参考数据：tan 19°170.35，tan 56°191.50)解：过点B作BECD于点E，过点A作AFBE于点F.BCD45°，BCE是等腰直角三角形设CEx m，则BEx m.CD80 m，DE(80x) m.在RtBDE中，BDC56°19，tan 56°19，即1.50.x48.BECE48 m.在RtACD中，ADC19°17，tan 19°17，即0.35.AC28 m.ACD90°，BECD，AFBE，四边形ACEF是矩形AFCE48 m，EFAC28 m.BFBEEF20 m.在RtABF中，AB52(m).答：A，B两点之间的距离约为52 m4为加快城乡对接，建设美丽乡村，某地区对A，B两地间的公路进行改建，如图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需途经C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶，已知BC80 km，A45°，B30°.(1)开通隧道前，汽车从A地到B地要走多少千米？(2)开通隧道后，汽车从A地到B地可以少走多少千米？(参考数据：1.4，1.7)解：(1)过点C作AB的垂线CD，垂足为点D.ABCD，sin 30°，BC80 km，CDBC·sin 30°80×40(km)，AC4056(km).ACBC5680136(km).答：开通隧道前，汽车从A地到B地要走136 km；(2)cos 30°，BC80 km，BDBC·cos 30°80×4068(km).tan 45°，CD40 km，AD40 km.ABADBD4068108(km).13610828(km).答：汽车从A地到B地比原来少走的路程为28 km.解直角三角形及应用(5年4考)1(2020·河北中考)如图，从笔直的公路l旁一点P出发，向西走6 km到达l；从点P出发向北走6 km也到达l.下列说法错误的是(A)A从点P向北偏西45°走3 km到达lB公路l的走向是南偏西45°C公路l的走向是北偏东45°D从点P向北走3 km后，再向西走3 km到达l2(2019·河北中考)如图，从点C观测点D的仰角是(B)ADAB BDCECDCA DADC3(2021·唐山滦州市一模)如图，嘉淇一家驾车从A地出发，沿着北偏东60° 的方向行驶，到达B地后沿着南偏东50°的方向行驶来到C地，且C地恰好位于A地正东方向上，则下列说法正确的是(C)AB地在C地的北偏西40°方向上BA地在B地的南偏西30°方向上CcosBACDACB50°