2022年中考数学总复习考点知识梳理5.1多边形与平行四边形.docx
第五章四边形5.1多边形与平行四边形了解多边形的定义,多边形的顶点、边、内角、外角、对角线等概念;探索并掌握多边形内角和与外角和公式.理解平行四边形的概念;了解四边形的不稳定性.探索并证明平行四边形的性质定理和判定定理.从多年的安徽中考试题看,这部分的内容属于高频考点,题型多样,难度中等及以上,题目的综合性强,既能与三角形的全等、相似相结合,又能与列代数式、方程、函数相结合.预测2022年安徽中考会延续这种趋势.命题点1 多边形的性质10年3考1.(2015·安徽第8题)在四边形ABCD中,A=B=C,点E在边AB上,AED=60°,则一定有( D )A.ADE=20°B.ADE=30°C.ADE=12ADCD.ADE=13ADC【解析】设ADE=x,ADC=y.由题意可得ADE+AED+A=180°,A+B+C+ADC=360°,即x+60°+A=180°,3A+y=360°,由×3可得3xy=0,所以x=13y,即ADE=13ADC.2.(2018·安徽第9题)在ABCD中,E,F是对角线BD上不同的两点,下列条件中,不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是( B )A.BE=DFB.AE=CFC.AFCED.BAE=DCF【解析】如图,由ABCD得AB=CD,ABCD,所以ABE=CDF,结合选项A或D的条件可得到ABECDF,进而得到AE=CF,AECF,判断出四边形AECF一定为平行四边形;结合选项C的条件可得到ABFCDE,所以AF=CE,判断出四边形AECF一定为平行四边形;只有选项B不能判断出四边形AECF一定为平行四边形.3.(2013·安徽第13题)如图,P为平行四边形ABCD边AD上一点,E,F分别为PB,PC的中点,PEF,PDC,PAB的面积分别为S,S1,S2.若S=2,则S1+S2=8. 【解析】因为E,F分别为PB,PC的中点,所以EFBC,且EF=12BC.由相似三角形的性质可得SPBC=4SPEF=8.又因为SPBC=12SABCD,所以S1+S2=12SABCD,所以S1+S2=8.4.一题多解(2019·安徽第20题)如图,点E在ABCD内部,AFBE,DFCE.(1)求证:BCEADF;(2)设ABCD的面积为S,四边形AEDF的面积为T,求ST的值.解:(1)如图1,延长FA与CB的延长线交于点M.ADBC,FAD=M.又AFBE,M=EBC,FAD=EBC.同理得FDA=ECB.在BCE和ADF中,EBC=FAD,BC=AD,ECB=FDA,BCEADF.(2)解法1:如图1,连接EF.由(1)知BCEADF,AF=BE.又AFBE,四边形ABEF为平行四边形,SAEF=SAEB.同理SDEF=SDEC,T=SAEB+SDEC.另一方面,T=SAED+SADF=SAED+SBCE,S=SAEB+SDEC+SAED+SBCE=2T,于是ST=2.解法2:BCEADF,T=SAED+SBCE.如图2,过点E作直线lBC,交BC于点G,交AD于点H.EGBC,EHAD,T=SAED+SBCE=12BC·(EG+EH)=12BC·GH=12S,即ST=2.改编题如图,四边形ABCD是矩形,EDC=CAB,DEC=90°.(1)求证:ACDE;(2)过点B作BFAC于点F,连接EF,判断四边形BCEF的形状;(3)连接DF,若矩形ABCD的面积记为S1,四边形CEDF的面积记为S2,直接写出S1S2的值.解:(1)四边形ABCD是矩形,ABCD,ACD=CAB.EDC=CAB,EDC=ACD,ACDE.(2)四边形BCEF是平行四边形.理由:BFAC,四边形ABCD是矩形,DEC=90°,DEC=AFB=90°,DC=AB.在CDE和BAF中,DEC=AFB,EDC=FAB,CD=BA,CDEBAF(AAS),CE=BF,DE=AF.ACDE,四边形ADEF是平行四边形,AD=EF.AD=BC,EF=BC.CE=BF,四边形BCEF是平行四边形.(3)2.典例中心为O的正六边形ABCDEF的外接圆半径为6 cm,经过点O的直线交AF,CD于点P,Q.(1)如图1,正六边形ABCDEF的内角和是°,每个内角是°,中心角AOB的度数是°,正六边形ABCDEF的对角线共有条,其中AD=cm. 当P是AF的中点时,OPA=°,OP=cm. 求证:AOPDOQ.(2)连接PB,PE,QB,QE,如图2.求证:四边形PBQE为平行四边形;四边形PBQE周长的最小值是cm. (3)如图3,若M是OB上一点,QMAD,求证:AMPQ.【答案】(1)720;120;60;9;12.90;33.在正六边形ABCDEF中,OA=OD,AFCD,OAP=ODQ,APO=DQO,AOPDOQ.(2)由(1)可知AOPDOQ,AP=DQ.又在正六边形ABCDEF中,AB=DE,BAP=EDQ=120°,ABPDEQ,BP=EQ.AF=CD,AFAP=CDDQ,即PF=CQ.同理可证PE=BQ,四边形PBQE为平行四边形.127.提示:如图,作点E关于直线AF的对称点E',连接BE',与AF的交点为P,此时BP+EP的值最小.连接E'F,EE',EE'与AF的延长线交于点H,易得EF=FE'=6,EE'AH,EE'=2EH=2EF·sin 60°=63,BE=12,BEE'=90°,BE'=BE2+EE'2=122+(63)2=67.四边形PBQE为平行四边形,四边形PBQE周长的最小值是127 cm.(3)连接OC.在正六边形ABCDEF中,OB=OC=OD,BOC=COD=60°,OBC,OCD都是等边三角形,OB=BC=CD=OD=OC,四边形BCDO是平行四边形,OBCD.又QMAD,四边形MQDO是平行四边形,OM=DQ.由(1)知AOPDOQ,AP=DQ,AP=OM.APDQ,APOM,四边形AMOP是平行四边形,AMPQ.1.n边形的内角和为(n2)·180°,过每个顶点有(n3)条对角线,共有n(n-3)2条对角线;正n边形的每个内角为(n-2)·180°n,中心角为360°n.正多边形的中心到各顶点的距离相等.2.要体会性质与判定之间的互逆关系.提分1如图,O是ABC内一点,连接OB,OC,并将AB,OB,OC,AC的中点D,E,F,G依次连接,得到四边形DEFG.(1)求证:四边形DEFG是平行四边形;(2)若M为EF的中点,OM=3,OBC和OCB互余,求DG的长度.解:(1)D,G分别是AB,AC的中点,DGBC,DG=12BC.E,F分别是OB,OC的中点,EFBC,EF=12BC,DG=EF,DGEF,四边形DEFG是平行四边形.(2)OBC和OCB互余,OBC+OCB=90°,BOC=90°.M为EF的中点,OM=3,EF=2OM=6.由(1)知四边形DEFG是平行四边形,DG=EF=6.提分2如图,在ABCD中,点E,F分别在BC,AD上,AC与EF相交于点O,且AO=CO.(1)求证:AOFCOE;(2)连接AE,CF,则四边形AECF是(填“是”或“不是”)平行四边形,并说明理由. 解:(1)四边形ABCD是平行四边形,ADBC,OAF=OCE.在AOF和COE中,OAF=OCE,AO=CO,AOF=COE,AOFCOE(ASA).(2)理由:由(1)得AOFCOE,FO=EO.又AO=CO,四边形AECF是平行四边形.
