2022年中考数学总复习习题-4.5等腰三角形与直角三角形.docx
4.5等腰三角形与直角三角形1.(2021·内蒙古赤峰)如图,ABCD,点E在线段BC上,CD=CE.若ABC=30°,则D的度数为(B)A.85°B.75°C.65°D.30°第1题图第2题图2.(2021·辽宁大连)如图,在ABC中,ACB=90°,BAC=,将ABC绕点C顺时针旋转90°得到A'B'C,点B的对应点B'在边AC上(不与点A,C重合),则AA'B'的度数为(C)A.B.-45°C.45°-D.90°-3.如图,在RtABC中,ACB=90°,A=30°,AB=4,CDAB于点D,E是AB的中点,则DE的长为(A)A.1B.2C.3D.4第3题图第4题图4.(2020·湖北黄冈)如图,在ABC中,点D在边BC上,AB=AD=DC,C=35°,则BAD=40°. 5.如图,在RtABC中,C=90°,AF=EF.若CFE=72°,则B=54°. 第5题图第6题图6.如图,在ABC中,AD平分BAC,AC的垂直平分线交BC于点E,交AC于点F.若B=48°,DAE=15°,则C=34°. 【解析】EF是AC的垂直平分线,EA=EC,EAC=C,DAC=C+15°.AD平分BAC,DAB=DAC=C+15°.B+BAC+C=180°,48°+C+15°+C+15°+C=180°,解得C=34°.7.如图,ACBC,垂足为C,AC=4,BC=33,将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°,得到线段AD,连接CD,BD.(1)线段CD=4; (2)线段BD= 7. 【解析】(1)由旋转的性质可知AC=AD,CAD=60°,ACD是等边三角形,CD=AC=4.(2)过点D作DEBC于点E.ACBC,ACD=60°,BCD=30°.在RtCDE中,DE=12CD=2,CE=23,BE=3.在RtBDE中,由勾股定理,得BD=DE2+BE2=7.8.(2021·杭州)如图,在ABC中,ABC的平分线BD交AC边于点D,AEBC于点E.已知ABC=60°,C=45°.(1)求证:AB=BD;(2)若AE=3,求ABC的面积.解:(1)BD平分ABC,ABC=60°,DBC=12ABC=30°,ADB=DBC+C=75°,BAC=180°-ABC-C=75°,BAC=ADB,AB=BD.(2)在RtABE中,BE=AEtanABC=3,在RtACE中,EC=AEtanC=3,BC=3+3,SABC=12BC·AE=9+332.9.(2021·辽宁本溪)如图,在ABC中,AB=BC,由图中的尺规作图痕迹得到的射线BD与AC交于点E,F为BC的中点,连接EF.若BE=AC=2,则CEF的周长为(C)A.3+1B.5+3C.5+1D.4【解析】由题可知BE是ABC的平分线.AB=BC,BEAC,BEC=90°,AE=CE=12AC=1,BC=BE2+CE2=22+12=5.F为BC的中点,EF=12BC=BF=CF,CEF的周长=CF+EF+CE=CF+BF+CE=BC+CE=5+1.10.如图,将矩形ABCD折叠,使点C和点A重合,折痕为EF,EF与AC交于点O.若AE=5,BF=3,则AO的长为(C)A.5B.352C.25D.45【解析】四边形ABCD是矩形,ADBC,AD=BC,AB=CD,由折叠的性质得EFC=AEF=AFE,AE=AF=5,FC=AF,OA=OC,BC=3+5=8.在RtABF中,AB=52-32=4,在RtABC中,AC=42+82=45,OA=OC=25.11.如图,在ABC中,AB=AC,AD,CE是ABC的两条中线,P是AD上的一个动点,则下列线段的长等于BP+EP最小值的是(B)A.BCB.CEC.ADD.AC【解析】AB=AC,ABC是等腰三角形,根据“等腰三角形的三线合一性质”可知点B与点C关于直线AD对称,因此连接CE,此时BP+EP的最小值为CE.12.(2020·天津)如图,ABCD的顶点C在等边BEF的边BF上,点E在AB的延长线上,G为DE的中点,连接CG.若AD=3,AB=CF=2,则CG的长为 32. 【解析】四边形ABCD是平行四边形,AD=BC=3,CD=AB=2,DCAB,BF=BC+CF=5.BEF是等边三角形,G为DE的中点,BF=BE=5,DG=EG.延长CG交BE于点H.DCAB,CDG=HEG,又DGC=EGH,DG=EG,DCGEHG(ASA),EH=DC=2,CG=HG,BH=3.CBH=60°,BC=BH=3,BCH是等边三角形,CH=3,CG=12CH=32.13.(2020·江苏苏州)(1)如图1,在四边形ABCD中,B=C=90°,P是BC上一点,PA=PD,APD=90°.求证:AB+CD=BC.(2)如图2,在四边形ABCD中,B=C=45°,P是BC上一点,PA=PD,APD=90°.求AB+CDBC的值.解:(1)B=APD=90°,BAP+APB=90°,APB+DPC=90°,BAP=DPC.又PA=PD,B=C=90°,BAPCPD(AAS),BP=CD,AB=PC,BP+PC=AB+CD=BC.(2)过点A作AEBC于点E,过点D作DFBC于点F.由(1)可知,EF=AE+DF.B=C=45°,AEBC,DFBC,B=BAE=45°,C=CDF=45°,BE=AE,CF=DF,AB=2AE,CD=2DF,BC=BE+EF+CF=2(AE+DF),AB+CDBC=2(AE+DF)2(AE+DF)=22.14.(2021·内蒙古通辽)已知AOB和MON都是等腰直角三角形22OA<OM<OA,AOB=MON=90°.(1)如图1,连接AM,BN,求证:AM=BN;(2)将MON绕点O顺时针旋转,如图2,当点M恰好在AB边上时,求证:AM2+BM2=2OM2.证明:(1)AOB=MON=90°,AOB+AON=MON+AON,即AOM=BON.AOB和MON都是等腰直角三角形,OA=OB,OM=ON,AOMBON(SAS),AM=BN.(2)连接BN.AOB=MON=90°,AOB-BOM=MON-BOM,即AOM=BON.AOB和MON都是等腰直角三角形,OA=OB,OM=ON,AOMBON(SAS),MAO=NBO=45°,AM=BN,MBN=90°,BM2+BN2=MN2.MON是等腰直角三角形,MN2=2OM2,AM2+BM2=2OM2.
