2022年中考数学总复习考点知识梳理4.3全等三角形.docx
4.3全等三角形理解全等三角形的概念,能识别全等三角形中的对应边、对应角.掌握基本事实:两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.掌握基本事实:两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.掌握基本事实:三边分别相等的两个三角形全等.证明定理:两角及其中一组等角的对边分别相等的两个三角形全等.探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理.三角形全等的判定和性质基本每年都会考查,仅仅从这部分知识点看,难度不是很大,但是与其他知识综合命题,难度加大,解题的关键是把判定全等的条件从综合题中分离出来,熟练利用全等三角形的判定、性质等相关知识进行解题.命题点全等三角形的判定与性质必考,多与其1.(2019·安徽第20(1)题)如图,点E在ABCD内部,AFBE,DFCE.求证:BCEADF.证明:延长FA与CB的延长线交于点M.ADBC,FAD=M.又AFBE,M=EBC,FAD=EBC,同理得FDA=ECB.又BC=AD,BCEADF(ASA).2.(2014·安徽第23题)如图1,正六边形ABCDEF的边长为a,P是BC边上一动点,过点P作PMAB交AF于点M,作PNCD交DE于点N.(1)MPN=60° 求证:PM+PN=3a;(2)如图2,O是AD的中点,连接OM,ON.求证:OM=ON;(3)如图3,O是AD的中点,OG平分MON,判断四边形OMGN是否为特殊四边形,并说明理由.解:(1)如图1,连接BE交MP于点H.在正六边形ABCDEF中,PNCD,又BECDAF,所以BEPNAF.又PMAB,所以四边形AMHB、四边形HENP为平行四边形,BPH为等边三角形.所以PM+PN=MH+HP+PN=AB+BH+HE=AB+BE=3a.(2)如图2,连接BE.由(1)知AM=EN,且AO=EO,MAO=NEO=60°,所以MAONEO(SAS),所以OM=ON.(3)四边形OMGN是菱形.理由:如图3,连接OE,OF.由(2)知MOA=NOE,又因为AOE=120°,所以MON=AOEMOA+NOE=120°.由已知OG平分MON,所以MOG=60°.又FOA=60°,所以MOA=GOF.又AO=FO,MAO=GFO=60°,所以MAOGFO(ASA),所以MO=GO.又MOG=60°,所以MGO为等边三角形.同理可证NGO为等边三角形,所以四边形OMGN为菱形.典例已知ABDACE,点D,E在BC上.(1)如图1.若B=35°,DAE=70°,求BAD的度数;若BC=12,DE=6,求BD的长.(2)若点G,F分别在AB,AC上,且AF=AG,如图2.求证:BEGCDF;求证:ADFAEG;连接AO,如图3,求证:AO平分FOG.【答案】(1)ABDACE,B=C=35°,BAD=CAE,BAC=180°BC=110°.DAE=70°,BAD=CAE=12×(BACDAE)=20°.ABDACE,BD=CE.BC=12,DE=6,BD+CE=BCDE=6,BD=3.(2)ABDACE,B=C,AB=AC,BD=CE,BD+DE=CE+DE,即BE=CD.AF=AG,ABAG=ACAF,即BG=CF,BEGCDF(SAS).ABDACE,AD=AE.BEGCDF,EG=DF.AF=AG,ADFAEG(SSS).过点A作AHEG于点H,AKDF于点K.由(2)可知ADFAEG,AE=AD,AEG=ADF.AHEG,AKDF,AHE=AKD=90°,AHEAKD(AAS),AH=AK.AO平分FOG.【选题意图】本题通过一个题组将安徽中考常考的有关全等三角形的判定和性质串联起来.(1)考查全等三角形的性质;(2)考查全等三角形的判定,综合考查全等三角形的判定和角平分线的判定.提分1(2021·江苏盐城)工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角.如图,在AOB的两边OA,OB上分别取OC=OD,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与点C,D重合,这时过角尺顶点M的射线OM就是AOB的平分线.这里构造全等三角形的依据是( D )A.SASB.ASAC.AASD.SSS【解析】在COM和DOM中,OC=OD,OM=OM,MC=MD,COMDOM(SSS),COM=DOM,即OM是AOB的平分线.提分2(2021·辽宁大连)如图,点A,D,B,E在一条直线上,AD=BE,AC=DF,ACDF,求证:BC=EF.解:AD=BE,AD+BD=BE+BD,即AB=DE.ACDF,A=EDF.在ABC与DEF中,AB=DE,A=EDF,AC=DF,ABCDEF(SAS),BC=EF.三角形的费马点教材原题呈现HK版教材八上P150 A组复习题第12题已知:如图,在ABC中,以它的边AB,AC为边,分别在形外作等边三角形ABD,ACE,连接BE,CD.求证:BE=DC.【参考答案】由已知可得AB=AD,AC=AE,BAD=CAE=60°,BAD+BAC=CAE+BAC,即DAC=BAE.在BAE和DAC中,AB=AD,BAE=DAC,AE=AC,BAEDAC,BE=DC.【教材知识拓展】费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点.如图,若P为ABC所在平面上一点,且APB=BPC=CPA=120°,则P叫做ABC的费马点.理由:如图所示,以点A为旋转中心,将ACP逆时针旋转60°,得ADE,连接PD,CE,易得APD和ACE为等边三角形,且B,P,D,E四点共线,PC=DE,AP=DP,AP+BP+CP=BP+PD+DE=BE,此时AP+BP+CP的值最小,P为ABC的费马点.教材文化延伸命题方向1 考查定义1.若P为ABC所在平面上一点,且APB=BPC=CPA=120°,则P叫做ABC的费马点.若P为锐角ABC的费马点,且ABC=60°,PA=3,PC=4,则PB的值为23. 【解析】如图所示,APB=BPC=CPA=120°,PAB+PBA=60°.ABC=60°,即PBA+PBC=60°,PAB=PBC,PABPBC,PAPB=PBPC,PB2=PA·PC=3×4=12,PB=23.命题方向2 求到不共线三点距离之和的最小值2.(2021·山东淄博改编)两张宽为3 cm的纸条交叉重叠成四边形ABCD,如图所示.若=30°,求对角线BD上的动点P到A,B,C三点距离之和的最小值.解:如图,作DEBC于点E,把ABP绕点B逆时针旋转60°得到A'BP'.=30°,DE=3 cm,CD=2DE=6 cm,同理得BC=AD=6 cm.由旋转的性质,得A'B=AB=CD=6 cm,BP'=BP,A'P'=AP,P'BP=60°,A'BA=60°,P'BP是等边三角形,BP=PP',PA+PB+PC=A'P'+PP'+PC.根据两点间线段最短,可知当PA+PB+PC=A'C时最短.连接A'C,与BD的交点即为点P,即点P到A,B,C三点距离之和的最小值是A'C.ABC=DCE=30°,A'BA=60°,A'BC=90°,A'C=A'B2+BC2=62+62=62 cm,点P到A,B,C三点距离之和的最小值是62 cm.命题方向3 求角度3.如图,P为正方形ABCD内一点,PB=1,PC=2,PD=3,求BPC的度数.解:如图,过点C作CQCP,并截取CQ=CP,连接PQ,BQ.易得PCQ为等腰直角三角形,CPQ=45°,PQ=22.易证DCPBCQ(SAS),BQ=PD=3.在BPQ中,BP=1,PQ=22,BQ=3,BP2+PQ2=BQ2,BPQ=90°,BPC=90°+45°=135°.
