2022年中考数学总复习热点专题突破专题八阅读理解.docx

专题八阅读理解随着“中国学生核心素养”的提出,各个学科都越来越重视学生文化底蕴、创新能力的培养,数学学科也不例外.而阅读理解就是发展文化底蕴的一个重要途径,同时思维创新又是以阅读理解为前提的.很多人狭义地认为数学学习就是计算、证明,其实解决数学问题一定是以通过阅读对问题准确理解为前提.正所谓“读题三遍,题意自见”.只有认真阅读,才能真正理解题意,否则就不可能准确地解答问题,更谈不上培养创新能力.2017年第16题(“盈不足术”问题)、第19题(合情推理问题),2018年第16题(数学文化问题),2019年第19题(“古代筒车”问题)等都是很好的例证.这里有个教训告诉大家,2017年第19题得分率很低(合肥市区考生得分率仅为0.482),这反映出我们平时在这方面的教习存在很大问题,必须引起足够的重视.目录类型1古典数学文化之阅读理解(10年3考)类型2运算创新之阅读理解(10年1考)类型3图形创新之阅读理解(10年1考)类型4规律创新之阅读理解(10年2考)类型5函数创新之阅读理解(10年1考)典例精析类型1古典数学文化之阅读理解典例1九章算术中有这样一道题,原文:今有甲、乙二人持钱不知其数,甲得乙半而钱五十,乙得甲太半而钱亦五十.问甲、乙持钱各几何?译文:今有甲、乙二人,不知其钱包里有多少钱,若乙把其一半的钱给甲,则甲的钱数为50;若甲把其23的钱给乙,则乙的钱数也能为50,问甲、乙各有多少钱?请解答上述问题.【解析】设甲的钱数为x,乙的钱数为y.根据题意可得甲的钱+乙的钱的一半=50,乙的钱+甲的钱的23=50,据此可列方程组,并求解.【答案】设甲的钱数为x,乙的钱数为y.由题意得x+12y=50,23x+y=50,解得x=752,y=25.答:甲的钱数为752,乙的钱数为25.这类试题大多取材于我国古代数学典籍和古算题,所用知识多是列方程(组)解应用题,主要目的是传承中国经典数学文化,体现文化自信.解决的策略是古文、现代文对照阅读,正确理解题意后再解答.这样的试题安徽中考连续考查了三年(2017,2018,2019),应引起我们高度重视.命题拓展考向数学经典中的一元二次方程问题 1.我国数学经典著作九章算术中有一道“引葭赴岸”名题,原文如下:今有池一丈,葭生其中央,出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐.问水深,葭长各几何?译文:有一正方形池塘,边长为1丈.有一棵芦苇生在它的正中央,高出水面部分有1尺长.把芦苇拉向岸边,恰好碰到岸沿.问水深和芦苇长各多少?(注:尺和丈是我国古代的长度单位,1丈=10尺)请解答上述问题.【答案】设水深为x尺,则芦苇长(x+1)尺.由题得(x+1)2=x2+52,解得x=12,x+1=13.答:水深为12尺,芦苇长为13尺.类型2运算创新之阅读理解典例2对于任意有理数a,b,定义一种运算ab=b2a,例如,35=52×3=1.根据上述定义,不等式(3x4)1>3的最大整数解是. 【解析】根据题意,得12(3x4)>3,解得x<1,则不等式(3x4)1>3的最大整数解是0.【答案】 0类型3图形创新之阅读理解典例3(2013·安徽第23题)我们把由不平行于底边的直线截等腰三角形两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”.如图1,四边形ABCD即为“准等腰梯形”,其中B=C.(1)在图1所示的“准等腰梯形”ABCD中,选择合适的一个顶点引一条直线将四边形ABCD分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形;(画出一种示意图即可)(2)如图2,在“准等腰梯形”ABCD中,B=C,E为边BC上一点.若ABDE,AEDC,求证:ABDC=BEEC;(3)在由不平行于BC的直线AD截PBC所得的四边形ABCD中,BAD与ADC的平分线交于点E,若EB=EC,请问当点E在四边形ABCD内部时(即图3所示情形),四边形ABCD是不是“准等腰梯形”,为什么?若点E不在四边形ABCD内部时,情况又将如何?写出你的结论.(不必说明理由)【解析】先正确理解“准等腰梯形”这个新图形的含义,其实就是有两个角相等的四边形,接着转化为一般的几何考题.(1)根据B=C和“准等腰梯形”的定义即可画出符合要求的图形;(2)证明三角形相似,即可得出对应边的比例关系;(3)根据对所给概念的理解,综合运用角平分线、等腰三角形和全等三角形的知识来证明.【答案】(1)如图所示(画出其中一种即可).(2)AEDC,AEB=C.ABDE,B=DEC,ABEDEC,AEDC=BEEC.B=C,ABE为等腰三角形,AB=AE,ABDC=BEEC.(3)过点E分别作EFAB,EGAD,EHCD,垂足分别为F,G,H,如图4.AE平分BAD,EF=EG.ED平分ADC,EG=EH,EF=EH.EB=EC,RtBFERtCHE,3=4.BE=EC,1=2,1+3=2+4,即ABC=DCB.四边形ABCD为AD截某三角形所得,且AD不平行于BC,四边形ABCD是“准等腰梯形”.当点E不在四边形ABCD内部时,四边形ABCD是“准等腰梯形”.提示:有两种情况:()如图5,当点E在四边形ABCD的边BC上时,同理可证,RtEFBRtEHC,B=C,四边形ABCD是“准等腰梯形”.()如图6,当点E在四边形ABCD的外部时,同理可证,RtEFBRtEHC,EBF=ECH,BE=CE,3=4,EBF3=ECH4,即1=2,四边形ABCD是“准等腰梯形”.正确理解新图形的本质特征是解这类题目的关键,如本题的所谓“准等腰梯形”即为有两个角相等的四边形,当然,正确理解是建立在认真耐心阅读的基础上.类型4规律创新之阅读理解典例4(2017·安徽第19题)【阅读理解】我们知道,1+2+3+n=n(n+1)2,那么12+22+32+n2结果等于多少呢?在图1所示的三角形数阵中,第1行圆圈中的数为1,即12;第2行两个圆圈中数的和为2+2,即22;第n行n个圆圈中数的和为n+n+nn个n,即n2.这样,该三角形数阵中共有n(n+1)2个圆圈,所有圆圈中数的和为12+22+32+n2.【规律探究】将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵,观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数(如第n1行的第一个圆圈中的数分别为n1,2,n),发现每个位置上三个圆圈中数的和均为.由此可得,这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为3(12+22+32+n2)=.因此,12+22+32+n2=. 【解决问题】根据以上发现,计算12+22+32+201721+2+3+2017的结果为. 【解析】【规律探究】由题意知,每个位置上三个圆圈中数的和均为n1+2+n=2n+1,由此可得,这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为3(12+22+32+n2)=(2n+1)×(1+2+3+n)=(2n+1)×n(n+1)2=n(n+1)(2n+1)2,因此,12+22+32+n2=n(n+1)(2n+1)6;【解决问题】原式=16×2017×(2017+1)×(2×2017+1)12×2017×(2017+1)=13×(2017×2+1)=1345.【答案】【规律探究】2n+1;n(n+1)(2n+1)2;n(n+1)(2n+1)6.【解决问题】1345.提醒三点:(1)耐心阅读才能正确理解;(2)数形结合阅读并理解;(3)阅读时应用心思考,总结规律.类型5函数创新之阅读理解这种类型最主要的是对新定义(如针对训练中第12题的“同系二次函数”)的理解,同时注意分类讨论,其他方面都是常规考查二次函数的顶点、表达式及增减性等问题.针对训练1.1261年,我国南宋数学家杨辉用下图中的三角形解释二项和的乘法规律,比欧洲的相同发现要早三百多年,我们把这个三角形称为“杨辉三角”.请观察图中的数字排列规律,则a,b,c的值分别为( B )A.a=1,b=6,c=15B.a=6,b=15,c=20C.a=15,b=20,c=15D.a=20,b=15,c=6【解析】观察“杨辉三角”中的数字规律,容易发现三角形上的3个数的规律.2.(2020·上海)如果存在一条线把一个图形分割成两个部分,使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合,那么我们把这个图形叫做平移重合图形.下列图形中,平移重合图形是( A )A.平行四边形B.等腰梯形C.正六边形D.圆【解析】如图,在ABCD中,取BC,AD的中点E,F,连接EF.四边形ABEF向右平移可以与四边形EFCD重合,ABCD是平移重合图形.3.算筹是古代用来进行计算的工具,它是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算,算筹的摆放形式有纵横两种形式(如图).当表示一个多位数时,像阿拉伯计数一样,把各个数位的数码从左到右排列,但各位数码的筹式需要纵横相间:个位、百位、万位数用纵式表示;十位,千位,十万位数用横式表示;“0”用空位来代替,以此类推.例如3306用算筹表示就是,则2022用算筹可表示为( C )【解析】根据题意,2022的个位数“2”用纵式表示,十位数“2”用横式表示,百位数“0”用空位代替,千位数“2”用横式表示.4.在平面直角坐标系中,对于点P(x,y),我们把点P(y+1,x+1)叫做点P的伴随点.已知点A1的伴随点为A2,点A2的伴随点为A3,这样依次得到点A1,A2,A3,A4,.若点A1的坐标为(3,1),则点A2023的坐标为( B )A.(0,4)B.(3,1)C.(0,2)D.(3,1)【解析】A1的坐标为(3,1),点A2(0,4),A3(3,1),A4(0,2),A5(3,1),依此类推,每4个点为一个循环.2023÷4=5053,点A2023与A3的坐标相同,即为(3,1).5.一组“数值转换机”按下面的程序计算,如果输入的数是36,则输出的结果为106,要使输出的结果为127,则输入的最小正整数是15. 【解析】设输出结果为y.根据题意得y=3x2.令y=127,得x=43;令y=43,得x=15;令y=15,得x=173,不符合条件,故输入的最小正整数是15.6.定义ab=a(b+1),例如23=2×(3+1)=2×4=8,则(x1)x的结果为x21. 【解析】根据题意得(x1)x=(x1)(x+1)=x21.7.在平面直角坐标系中,我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点.已知A(0,4),B是x轴正半轴上的整点,记AOB内部(不包括边界)的整点个数为m.当m=3时,点B的横坐标的所有可能值是3或4;当点B的横坐标为4n(n为正整数)时,m=6n3.(用含n的代数式表示) 【解析】当点B的横坐标为3或4时,AOB内部(不包括边界)的整点个数为3:(1,1),(1,2),(2,1).当点B的横坐标为4n时,AOB为长为4n,宽为4的矩形的一半,该矩形内部横向有3行,纵向有(4n1)列,AB为对角线,与3条横线有3个相交的整点,故AOB内部(不包括边界)的整点个数是m=3(4n-1)-32=6n3.8.(2021·合肥五十中模拟)等腰三角形腰长与底边长的差的绝对值称为该三角形的“边长正度值”.若等腰三角形腰长为5,“边长正度值”为3,那么这个等腰三角形底角的余弦值等于 15或45. 【解析】设等腰三角形的底边长为a.由题意,得|5a|=3,解得a=2或a=8.当a=2时,底角的余弦值是15;当a=8时,底角的余弦值是45.9.九章算术是中国古代数学专著,在数学上有其独到的成就,不仅最早提到了分数问题,也首先记录了“盈不足”等问题.如有一道阐述“盈不足”的问题,原文如下:今有共买鸡,人出九,盈十一;人出六,不足十六.问人数、鸡价各几何?译文为:现有若干人合伙出钱买鸡,如果每人出9文钱,就会多11文钱;如果每人出6文钱,又会缺16文钱.问买鸡的人数、鸡的价格各是多少?请解答上述问题.解:设合伙买鸡者有x人,鸡价为y文钱.由题意得y=9x-11,y=6x+16,解得x=9,y=70.答:合伙买鸡的有9人,鸡价为70文钱.10.周老师在一次“探究性学习”课中,设计了如下数表:n2345a221321421521b46810c22+132+142+152+1(1)请你分别观察a,b,c与n之间的关系,并用含自然数n(n>1)的代数式表示:a=n21,b=2n,c=n2+1. (2)猜想:以a,b,c为边长的三角形是否是直角三角形?证明你的猜想.(3)显然,满足这样关系的整数a,b,c我们把它叫做勾股数,请再写一组这样的数a=35,b=12,c=37(答案不唯一).(不同于表格中已出现的数组) 解:(2)以a,b,c为边长的三角形是直角三角形.理由如下:a2+b2=(n21)2+4n2=n4+2n2+1,c2=(n2+1)2=n4+2n2+1,a2+b2=c2,以a,b,c为边的三角形是直角三角形.11.(2020·浙江宁波节选)定义:三角形一个内角的平分线与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角.(1)如图1,E是ABC中A的遥望角,若A=,请用含的代数式表示E;(2)如图2,四边形ABCD内接于O,AD=BD,四边形ABCD的外角平分线DF交O于点F,连接BF并延长交CD的延长线于点E.求证:BEC是ABC中BAC的遥望角.解:(1)BE平分ABC,CE平分ACD,EBC=12ABC,ECD=12ACD,E=ECDEBD=12(ACDABC)=12A=12.(2)延长BC到点T.四边形FBCD内接于O,FDC+FBC=180°.FDE+FDC=180°,FDE=FBC.DF平分ADE,ADF=FDE.ADF=ABF,ABF=FBC,BE是ABC的平分线.AD=BD,ACD=BFD.BFD+BCD=180°,DCT+BCD=180°,DCT=BFD,ACD=DCT,CE是ACT的平分线,根据定义可得BEC是ABC中BAC的遥望角.12.若两个二次函数y1=a1x2+b1x+c1和y2=a2x2+b2x+c2中的a1=b2,a2=b1,则称y1和y2为“同系二次函数”.(1)请写出两个“同系二次函数”;(2)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象向下平移若干个单位长度即可得到它的“同系二次函数”的图象,求a与b之间的数量关系;(3)设y'为关于x的二次函数y=x2+nx的“同系二次函数”,且y'的常数项为0,函数y+y'的图象与x轴的两个交点分别为A,B,顶点为C,求ABC的面积S随n的变化情况.解:(1)y=2x2+x+3与y=x2+2x+3.(答案不唯一,合理即可)(2)由题意可设y=ax2+bx+c的“同系二次函数”为y=bx2+ax+d.由题意得二次函数y=ax2+bx+c的图象和它的“同系二次函数”的图象的对称轴相同,即b2a=a2b,得a2=b2,a=b(a=b舍去).(3)根据题意知y'=nx2+x,则y+y'=x2+nx+nx2+x,即y+y'=(n+1)x2+(n+1)x,y+y'与x轴的两个交点分别为A(0,0),B(1,0),顶点C的纵坐标为n+14.当n+14=0,即n=1时,A,B,C三点都在x轴上,构不成三角形,不符合题意,舍去;当n+14>0,即n<1时,S=12×1×-n+14=18(n+1),当n<1时,S随n的增大而减小;当n+14<0,即n>1时,S=12×1×n+14=18(n+1),当n>1时,S随n的增大而增大.