2022年数学(百色专用)一轮复习教学案-教材知识特训5中点问题的常见模型.docx

教材知识特训五中点问题的常见模型三角形中线及倍长中线模型模型点拨：三角形的中线等分三角形的面积：AD是ABC的中线，则SABDSACDSABC(ABD与ACD是两个等底同高的三角形).当已知条件中出现中线时，常常将此中线倍长构造全等三角形解决问题如图，在ABC中，D为BC的中点，延长AD到点E，使DEAD.【例1】如图，已知AD是ABC的边BC上的中线(1)若ABC的面积为10，则SADC_5_；(2)若ABD的面积为6，且BD边上的高为3，则BC_8_【解析】(1)根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分即可求解；(2)先求出ABC的面积，再根据三角形的面积公式即可求解【例2】如图，在ABC中，若AB7，AC5，则BC边上的中线AD的取值范围为_1AD6_【解析】延长AD到点E，使DEAD，再连接BE(或将ACD绕着点D旋转180°得到EBD)，把AB，AC，2AD集中在ABE中，利用三角形三边的关系即可得出中线AD的取值范围三角形中位线模型模型点拨：多个中点出现或“平行中点”(中点在平行线上)时，常考虑或构造三角形中位线在三角形中，如果有中点，可构造三角形的中位线，利用三角形中位线的性质定理：DEBC，且DEBC，ADEABC，解决线段之间的相等或比例关系及平行问题【例3】如图，在RtABC中，ACB90°，CD为中线，延长CB至点E，使BEBC，连接DE，F为DE的中点，连接BF.若AC8，BC6，则BF的长为(B)A2 B2.5 C3 D4【解析】先利用勾股定理求得AB的长，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得CD的长度，最后结合题意得出线段BF是CDE的中位线，则BFCD可求直角三角形斜边中点模型模型点拨：直角三角形中有斜边中点时，常作斜边上的中线，利用“斜边上的中线等于斜边的一半”可得CDADBDAB来解题，有时有直角无中点，要找中点，可简记为“直角中点，等腰必呈现”，此模型作用：证明线段相等或求线段长；构造角相等进行等量代换【例4】如图，在ABC中，CFAB于点F，BEAC于点E，M为BC的中点，BC10.(1)若ABC44°，ACB70°，则EMF的度数为_48°_；(2)若EF4，则MEF的面积为_2_【解析】(1)根据直角三角形的性质得到BMFMEMCM，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算；(2)过点M作MNEF于点N，根据直角三角形的性质得到FMBC5，根据等腰三角形的性质、勾股定理、三角形面积公式计算等腰三角形底边中点模型(三线合一)模型点拨：等腰三角形中有底边上的中点时，常作底边的中线，利用等腰三角形底边中线、高线、顶角平分线“三线合一”的性质得到BADCAD，ADBC，BDCD，解决线段相等及平行问题、角度之间的相等问题【例5】ABC中，ABAC，BAC120°，BC2，点D为BC的中点，AEAB，则EBD的面积为(B)A B C D【解析】连接AD，根据“三线合一”得到ADBC，AD为角平分线，则可以得到BD的长，在RtABD中，利用锐角三角函数求得AD的长，由此可以确定ABD的面积，再根据EBD的面积与ABD的面积关系即可求解三角形边的垂直平分线模型模型点拨：当三角形某一边的垂线过这边的中点时，可以考虑用垂直平分线的性质得到BECE，证明线段间的数量关系【例6】如图，等腰三角形ABC中，ABAC10，边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E.若ABD的周长为26，则DE的长为_【解析】根据题意求得BC16，过点A作AMBC于点M，根据等腰三角形的性质得到BM8，根据勾股定理求得AM的长，根据线段垂直平分线的性质得出ADC是等腰三角形，易证得ABCDAC，根据相似三角形对应高的比等于相似比，即可求得DE的长圆中的中点模型(点E是弦AB的中点)(点C是的中点)模型点拨：圆中弦(或弧)的中点，考虑垂径定理及圆周角定理(1)圆心O是直径的中点，常与已知中点连接，或过点O作一边的平行线或垂线构造中位线解题；(2)圆中遇到弦的中点，联想“垂径定理”，出现“中点垂直”解决相应问题；(3)圆中遇到弧的中点利用“等圆心角等弧等弦等弦心距”“垂径定理”解决相应问题【例7】如图，AB为O的直径，CD为弦，且CDAB，垂足为H.(1)若O的半径为4，BAC30°，求CD的长；(2)若点E为的中点，连接OE，CE.求证：CE平分OCD.【解析】(1)根据垂径定理得到CD2CH，求出OH，根据勾股定理求出CH即可；(2)求出ACOBCD，ACEBCE，相减即可【解答】(1)解：ABCD，CD2CH，CHA90°.OAOC，BAC30°，ACOBAC30°，COH2BAC60°.OCH30°.OHOC×42.CHOH2.CD2CH4；(2)证明：AB为O的直径，ACB90°CHB.ABBBCH90°.ABCDACO.点E为的中点，ACEBCE.ACEACOBCEBCD.OCEDCE，即CE平分OCD.含30°角的直角三角形模型【例8】(2021·广州中考)如图，在RtABC中，C90°，A30°，线段AB的垂直平分线分别交AC，AB于点D，E，连接BD.若CD1，则AD的长为_2_【解析】根据线段垂直平分线的性质以及直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AD与CD的数量关系，即可求得AD的长度