2022年中考数学几何变形题归类辅导专题07旋转的应用(解析版).docx

【中考数学几何变形题归类辅导】专题7：旋转的应用【典例引领】例题：在ABC和ADE中，BA=BC，DA=DE，且ABC=ADE=，点E在ABC的内部，连接EC，EB和BD，并且ACE+ABE=90°.（1）如图1，当=60°时，线段BD与CE的数量关系为 ，线段EA，EB，EC的数量关系为 ；（2）如图2当=90°时，请写出线段EA，EB，EC的数量关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，当点E在线段CD上时，若BC=25，请直接写出BDE的面积. 【答案】（1）BD=EC,EA2=EB2+EC2;（2）EA2=EC2+2BE2;（3）2【分析】（1）由DABEAC（SAS），可得BD=EC，ABD=ACE，由ACE+ABE=90°，推出ABD+ABE=90°，可得DBE=90°，由此即可解决问题；（2）结论：EA2=EC2+2BE2由题意ABC，ADE都是等腰直角三角形，想办法证明DABEAC，推出DBEC=ABAC=22，ACE=ABD，可得DBE=90°，推出DE2=BD2+BE2，即可解决问题；（3）首先证明AD=DE=EC，设AD=DE=EC=x，在RtADC中，利用勾股定理即可解决问题；【解答】（1） 如图中，BA=BC，DA=DE且ABC=ADE=60°，ABC，ADE都是等边三角形，AD=AE，AB=AC，DAE=BAC=60°，DAB=EAC，DABEAC（SAS），BD=EC，ABD=ACE，ACE+ABE=90°，ABD+ABE=90°，DBE=90°，DE2=BD2+BE2，EA=DE，BD=EC，EA2=BE2+EC2故答案为BD=EC，EA2=EB2+EC2（2）结论：EA2=EC2+2BE2理由：如图中，BA=BC，DA=DE且ABC=ADE=90°，ABC，ADE都是等腰直角三角形，DAE=BAC=45°，DAB=EAC，ADAE=22，ABAC =22，ADAE=ABAC，DABEAC，DBEC=ABAC=22，ACE=ABD，ACE+ABE=90°，ABD+ABE=90°，DBE=90°，DE2=BD2+BE2，EA=2DE，BD=22EC，12EA2=12EC2+BE2，EA2=EC2+2BE2（3）如图中，AED=45°，D，E，C共线，AEC=135°，ADBAEC，ADB=AEC=135°，ADE=DBE=90°，BDE=BED=45°，BD=BE，DE=2BD，EC=2BD，AD=DE=EC，设AD=DE=EC=x，在RtABC中，AB=BC=25，AC=210，在RtADC中，AD2+DC2=AC2，x2+4x2=40，x=22（负根已经舍弃），AD=DE=22，BD=BE=2，SBDE=12×2×2=2【强化训练】1请认真阅读下面的数学小探究系列，完成所提出的问题：(1)探究1：如图1，在等腰直角三角形ABC中，ACB=90，BC=a，将边AB绕点B顺时针旋转90得到线段BD，连接CD.求证：BCD的面积为12a2.(提示：过点D作BC边上的高DE，可证ABCBDE)(2)探究2：如图2，在一般的RtABC中，ACB=90，BC=a，将边AB绕点B顺时针旋转90得到线段BD，连接CD.请用含a的式子表示BCD的面积，并说明理由(3)探究3：如图3，在等腰三角形ABC中，AB=AC，BC=a，将边AB绕点B顺时针旋转90得到线段BD，连接CD.试探究用含a的式子表示BCD的面积，要有探究过程【答案】（1）详见解析；（2）BCD的面积为12a2，理由详见解析；（3）BCD的面积为14a2【分析】(1)如图1，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E，由垂直的性质就可以得出ABCBDE，就有DE=BC=a.进而由三角形的面积公式得出结论；(2)如图2，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E，由垂直的性质就可以得出ABCBDE，就有DE=BC=a.进而由三角形的面积公式得出结论；(3)如图3，过点A作AFBC与F，过点D作DEBC的延长线于点E，由等腰三角形的性质可以得出BF=12BC，由条件可以得出AFBBED就可以得出BF=DE，由三角形的面积公式就可以得出结论【解答】(1)如图1，过点D作DECB交CB的延长线于E，BED=ACB=90，由旋转知，AB=AD，ABD=90，ABC+DBE=90，A+ABC=90，A=DBE，在ABC和BDE中，ACB=BEDA=DBEAB=BD，ABCBDE(AAS)BC=DE=a，SBCD=12BCDE，SBCD=12a2；(2)BCD的面积为12a2，理由：如图2，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E，BED=ACB=90，线段AB绕点B顺时针旋转90得到线段BE，AB=BD，ABD=90，ABC+DBE=90，A+ABC=90，A=DBE，在ABC和BDE中，ACB=BEDA=DBEAB=BD，ABCBDE(AAS)，BC=DE=a，SBCD=12BCDE，SBCD=12a2；(3)如图3，过点A作AFBC与F，过点D作DEBC的延长线于点E，AFB=E=90，BF=12BC=12a，FAB+ABF=90，ABD=90，ABF+DBE=90，FAB=EBD，线段BD是由线段AB旋转得到的，AB=BD，在AFB和BED中，AFB=EFAB=EBDAB=BD，AFBBED(AAS)，BF=DE=12a，SBCD=12BCDE=1212aa=14a2，BCD的面积为14a22如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，将矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转角，得到矩形A'B'C'D'，B'C与AD交于点E，AD的延长线与A'D'交于点F（1）如图，当=60°时，连接DD'，求DD'和A'F的长；（2）如图，当矩形A'B'CD'的顶点A'落在CD的延长线上时，求EF的长；（3）如图，当AE=EF时，连接AC，CF，求ACCF的值【答案】（1）DD=3，AF= 4；（2）；（3）【分析】试题分析：（1）如图中，矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转角，得到矩形A'B'C'D'，只要证明CDD是等边三角形即可解决问题；如图中，连接CF，在RtCDF中，求出FD即可解决问题；（2）由ADFADC，可推出DF的长，同理可得CDECBA，可求出DE的长，即可解决问题；（3）如图中，作FGCB于G，由SACF=ACCF=AFCD，把问题转化为求AFCD，只要证明ACF=90°，证明CADFAC，即可解决问题；【解答】（1）如图中，矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转角，得到矩形A'B'C'D'，AD=AD=BC=BC=4，CD=CD=AB=AB=3ADC=ADC=90°=60°，DCD=60°，CDD是等边三角形，DD=CD=3如图中，连接CFCD=CD，CF=CF，CDF=CDF=90°，CDFCDF，DCF=DCF=DCD=30°在RtCDF中，tanDCF=，DF=，AF=ADDF=4（2） 如图中，在RtACD中，D=90°，AC2=AD2+CD2，AC=5，AD=2DAF=CAD，ADF=D=90°，ADFADC， ，DF=同理可得CDECBA，ED=，EF=ED+DF=（3） 如图中，作FGCB于G四边形ABCD是矩形，GF=CD=CD=3SCEF=EFDC=CEFG，CE=EF，AE=EF，AE=EF=CE，ACF=90°ADC=ACF，CAD=FAC，CADFAC，AC2=ADAF，AF=SACF=ACCF=AFCD，ACCF=AFCD=3在四边形中，点为边上的一点，点为对角线上的一点，且.（1）若四边形为正方形.如图1，请直接写出与的数量关系_；将绕点逆时针旋转到图2所示的位置，连接，猜想与的数量关系并说明理由；（2）如图3，若四边形为矩形，其它条件都不变，将绕点顺时针旋转得到，连接，请在图3中画出草图，并直接写出与的数量关系.【答案】（1）DF=AE，DF=AE，理由见解析；（2）DF=AE.【分析】试题分析：（1）利用正方形的性质得ABD为等腰直角三角形，则BF=AB，再证明BEF为等腰直角三角形得到BF=BE，所以BDBF=ABBE，从而得到DF=AE；利用旋转的性质得ABE=DBF，加上=，则根据相似三角形的判定可得到ABEDBF，所以=；（2）先画出图形得到图3，利用勾股定理得到BD=AB，再证明BEFBAD得到，则=，接着利用旋转的性质得ABE=DBF，BE=BE，BF=BF，所以=，然后根据相似三角形的判定方法得到ABEDBF，再利用相似的性质可得=【解答】（1）四边形ABCD为正方形，ABD为等腰直角三角形，BF=AB，EFAB，BEF为等腰直角三角形，BF=BE，BDBF=ABBE，即DF=AE；故答案为DF=AE；DF=AE理由如下：EBF绕点B逆时针旋转到图2所示的位置，ABE=DBF，=，=，ABEDBF，=，即DF=AE；（2）如图3，四边形ABCD为矩形，AD=BC=mAB，BD=AB，EFAB，EFAD，BEFBAD，=，EBF绕点B顺时针旋转（0°90°）得到E'BF'，ABE=DBF，BE=BE，BF=BF，=，ABEDBF，=，即DF=AE 4如图1，边长为4的正方形ABCD中，点E在AB边上（不与点A，B重合），点F在BC边上（不与点B，C重合）第一次操作：将线段EF绕点F顺时针旋转，当点E落在正方形上时，记为点G；第二次操作：将线段FG绕点G顺时针旋转，当点F落在正方形上时，记为点H；依次操作下去（1）图2中的EFD是经过两次操作后得到的，其形状为 ，求此时线段EF的长；（2）若经过三次操作可得到四边形EFGH请判断四边形EFGH的形状为 ，此时AE与BF的数量关系是 ；以中的结论为前提，设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y，求y与x的函数关系式及面积y的取值范围；（3）若经过多次操作可得到首尾顺次相接的多边形，其最大边数是多少？它可能是正多边形吗？如果是，请直接写出其边长；如果不是，请说明理由【答案】（1）DEF为等边三角形，EF的长为44（2）四边形EFGH的形状为正方形，此时AE=BFy=2x28x+16（0x4），y的取值范围为：8y16（3）经过多次操作可得到首尾顺次相接的多边形，其最大边数是8，它可能为正多边形，边长为44【分析】（1）根据旋转的性质，易知EFD是等边三角形；利用等边三角形的性质、勾股定理即求出EF的长；（2）四边形EFGH的四边长都相等，所以是正方形；利用三角形全等证明AE=BF；求出面积y的表达式，这是一个二次函数，利用二次函数性质求出最值及y的取值范围（3）如答图2所示，经过多次操作可得到首尾顺次相接的多边形，可能是正多边形，最大边数为8，边长为44【解答】（1）如题图2，由旋转性质可知EF=DF=DE，则DEF为等边三角形在RtADE与RtCDF中，RtADERtCDF（HL）AE=CF设AE=CF=x，则BE=BF=4xBEF为等腰直角三角形EF=BF=（4x）DE=DF=EF=（4x）在RtADE中，由勾股定理得：AE2+AD2=DE2，即：x+42=（4x2，解得：x1=84，x2=8+4（舍去）EF=（4x）=44DEF的形状为等边三角形，EF的长为44（2）四边形EFGH的形状为正方形，此时AE=BF理由如下：依题意画出图形，如答图1所示：由旋转性质可知，EF=FG=GH=HE，四边形EFGH的形状为正方形1+2=90°，2+3=90°，1=33+4=90°，2+3=90°，2=4EF=EHAEHBFE（ASA）AE=BF利用中结论，易证AEH、BFE、CGF、DHG均为全等三角形，BF=CG=DH=AE=x，AH=BE=CF=DG=4xy=S正方形ABCD4SAEH=4×44×x（4x）=2x28x+16y=2x28x+16（0x4）y=2x28x+16=2（x2）2+8，当x=2时，y取得最小值8；当x=0时，y=16，y的取值范围为：8y16（3）经过多次操作可得到首尾顺次相接的多边形，其最大边数是8，它可能为正多边形，边长为44如答图2所示，粗线部分是由线段EF经过7次操作所形成的正八边形设边长EF=FG=x，则BF=CG=x，BC=BF+FG+CG=x+x+x=4，解得：x=44