2022年中考数学总复习热点专题突破专题一合情推理.docx
第二部分热点专题突破专题一合情推理初中阶段考查合情推理的试题通常以数式规律类、图形规律类及数形结合类等形式呈现,无论是哪一类,其本质都是在考查观察、分析、猜想、归纳、验证等能力.多年来,各地中考数学都非常重视这个知识的考查,安徽中考数学更是如此,几乎每年都有这类试题.如2017年第19题、2018年第18题、2019年第18题、2020年第17题和2021年第18题等(注:本书的8个专项提升只追溯到近5年安徽中考,不再往前赘述).分析近几年这类试题的变化规律可以发现合情推理类的试题越来越灵活,难度也在逐渐增加.目录类型1数式规律类合情推理(10年5考)类型2图形规律类合情推理(10年4考)类型3数形结合类合情推理(10年1考)典例精析类型1数式规律类合情推理典例1(2021·合肥包河区一模)观察下列等式:第1个等式:1+11=43×1+12;第2个等式:1+12=98×1+13;第3个等式:1+13=1615×1+14;第4个等式:1+14=2524×1+15;根据你观察到的规律,解决下列问题:(1)请写出第5个等式:; (2)请写出第n个等式 (用含n的等式表示),并证明.【答案】(1)1+15=3635×1+16.(2)1+1n=(n+1)2(n+1)2-1×1+1n+1.证明:右边=(n+1)2n(n+2)×n+2n+1=n+1n=1+1n=左边,等式成立.(1)继续实验:原题中只写了4个等式,如果分析后仍找不出规律,可以按照已知的4个等式的规律再写出第5个、第6个等式从而积累数学活动经验,有利于总结归纳发现规律.(2)检验猜想:如本题归纳出猜想的等式“1+1n=(n+1)2(n+1)2-1×1+1n+1”后,应该代入数字检验它的正确性,即检验当“n=1,n=2,n=3”时所得等式与已知等式是否相同.(3)证明要求:在注意这类问题证明格式的特殊要求的同时,还应注意化简的原则是“化繁为简”,即左边复杂则化简左边,右边复杂则化简右边,两边都复杂则两边都化简.(4)改变数据:对于数字变化类合情推理试题,大多是命题者先确定一个代数式(或等式),再令“n=1,n=2,n=3,”,从而命制出试题.比如试题命制者先确定代数式n21,就可以写出数据0,3,8,15,24,这时第n个数据当然是n21.知道了这一点,如果找不到规律,就可以适当改变原数据(最后还原),我们把这个经验称之为改变数据.类型2图形规律类合情推理典例2(2020·安庆二模)下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律组成的,请根据排列规律完成下列问题:(1)填写下表:图形序号菱形个数37 (2)根据表中规律猜想,图n中菱形的个数为.(用含n的式子表示) (3)是否存在一个图形恰好由111个菱形组成?若存在,求出图形序号;若不存在,说明理由.【答案】(1)从上往下依次填入:13;21.(2)n2+n+1(n为正整数).(3)依题意,得n2+n+1=111,解得n1=11(舍去),n2=10,存在一个图形恰好由111个菱形组成,该图形的序号为.继续坚持典例1【名师点拨】中的四个经验,这里再强调一点:表格中的数据“3,7,13,21,”是结果数据,不利于我们发现规律,我们应该根据图形变化规律记录过程数据,如记为“12+1+1,22+2+1,32+3+1,”,这样就容易发现图n的菱形的个数为n2+n+1.命题拓展考向探究平面直角坐标系中的图形变化规律 1.(2011·安徽第18题)在平面直角坐标系中,一只蚂蚁从原点O出发,按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动,每次移动1个单位.其行走路线如图所示.(1)填写下列各点的坐标:A1(0,1),A3(1,0),A12(6,0); (2)写出点A4n的坐标;(n是正整数)(3)指出蚂蚁从点A100到A101的移动方向.【答案】(2)由题图知,蚂蚁的运动是以4为周期,每行走路程为4个单位时,其沿x轴方向前进2个单位,故A4(2,0),A8(4,0),A12(6,0),A4n(2n,0).(3)由(2)及100=4×25知,蚂蚁从点A100到A101的移动方向是向上.类型3数形结合类合情推理典例3如图,每个图形都可以看成由上下左右4个等腰梯形组成或者是外围大正方形减去正中间的正方形(阴影部分),而每个等腰梯形又由若干个更小的全等正方形和全等等腰直角三角形组成,且等腰直角三角形的面积正好是小正方形面积的一半,设小正方形的面积为1,则第个图形的面积为4×2×1+4×12=16,第个图形的面积为4×5×1+5×12=30,第个图形的面积为4×9×1+6×12=48,根据上述规律,解答下列问题:(1)第个图形的面积为4××1+×12=; 第个图形的面积为4××1+×12=. (2)第n个图形的面积为4××1+×12.(用含n的式子填空) (3)上面的图形还可看成一个大正方形减去中间1个小正方形组成,这时,第个图形的面积为(32)22,第个图形的面积为(42)22,第个图形的面积为(52)22再根据这个规律,解答下列问题:按此规律,第n个图形的面积为()22;(用含n的式子填空) 比较两个猜想,写出你发现的结论并验证.【解析】每个正方形都看成上、下、左、右4个等腰梯形组成时,把第个、第个、第个图形的面积的过程数据记录下来应为42×1+(1+3)×12,4(2+3)×1+(2+3)×12,4(2+3+4)×1+(3+3)×12,则第个图形的面积为4(2+3+4+5)×1+(4+3)×12,第个图形的面积为4(2+3+4+5+6)×1+(5+3)×12,第n个图形的面积为4(2+3+4+n+n+1)×1+12(n+3).每个图形都看成是外围大正方形减去正中间的1个小正方形时,不难发现第n个图形的面积为(n+2)222=2(n+2)22,4(2+3+4+n+n+1)×1+12(n+3)=(n+2)222.【答案】(1)14;7;70;20;8;96.(2)2+3+4+n+(n+1);(n+3).(形式不唯一)(3)(n+2)2.结论:4×(2+3+4+n+n+1)×1+12(n+3)=(n+2)222.证明:右边=2n2+8n+6,左边=2(1+2+3+n)+(n+n1+n2+2+1)+2n+2(n+3)=2n(n+1)+2n+2(n+3)=2n2+8n+6,左边=右边,结论成立.了解几个常见的规律问题,并掌握其合并方法.如:1+2+3+n=n(n+1)2;1n(n+1)=1n-1n+1;1+21+22+23+2n=2n+11.针对训练1.观察下列算式:31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729,则32022的末位数字是( D )A.1B.3C.6D.9【解析】式子末尾以3,9,7,1这4个数字为一个循环,2022÷4=5052,所以32022的末位数字是9.2.将一些相同的“”按如图所示摆放,观察每个图形中的“”的个数,若第n个图形中“”的个数是78,则n的值是( B )A.11B.12C.13D.14【解析】第1个图形中“”的个数为1,第2个图形中“”的个数为1+2=3,第3个图形中“”的个数为1+2+3=6,第n个图形中“”的个数为1+2+3+n=n(n+1)2,当n(n+1)2=78时,解得n=12.3.观察下面“品”字形中各数之间的规律,根据观察到的规律得出a的值为( B )A.23B.75C.77D.139【解析】由图可知,上边的数与左边的数的和正好等于右边的数,上边的数为连续的奇数,左边的数为21,22,23,26,由此可得a,b.上边的数为连续的奇数1,3,5,7,9,11,左边的数为21,22,23,b=26=64,上边的数与左边的数的和正好等于右边的数,a=11+64=75.4.观察下列算式,寻找规律填数.1+3=2×2;1+3+5=3×3;1+3+5+7=4×4;1+3+5+7+53+55=28×28. 5.按一定规律排列的一列数依次为:23,1,87,119,1411,1713,按此规律,这列数中的第100个数是 299201. 6.如图,用大小相同的小正方形拼大正方形,拼第1个正方形需要4个小正方形,拼第2个正方形需要9个小正方形,按这样的方法拼成的第(n+1)个正方形比第n个正方形多(2n+3)个小正方形. 【解析】首先根据图形中小正方形的个数规律得出变化规律,进而得出答案.第1个图形由22=4个小正方形组成,第2个图形由32=9个小正方形组成,第3个图形由42=16个小正方形组成,第n个图形由(n+1)2个小正方形组成,第(n+1)个图形由(n+2)2个小正方形组成,(n+2)2(n+1)2=2n+3.7.(2020·合肥包河区一模)观察下列等式:第1个等式:21-22=22;第2个等式:32-23=56;第3个等式:43-24=1012;第4个等式:54-25=1720;按照以上规律,解决下列问题:(1)写出第5个等式: 65-26=2630; (2)写出你猜想的第n个等式: n+1n-2n+1=n2+1n(n+1)(用含n的等式表示),并证明. 解:(2)证明:左边=n+1n-2n+1=(n+1)2-2nn(n+1)=n2+1n(n+1)=右边,等式成立.8.(2021·蚌埠经开区二模)观察下列等式:第1个等式:12=13;第2个等式:(1+2)2=13+23;第3个等式:(1+2+3)2=13+23+33;第4个等式:(1+2+3+4)2=13+23+33+43;按照以上规律,解决下列问题:(1)写出第5个等式:(1+2+3+4+5)2=13+23+33+43+53; (2)写出第n(n为正整数)个等式:(1+2+3+n)2=13+23+33+n3;(用含n的等式表示) (3)利用你发现的规律求113+123+133+1003的值.解:(3)原式=(13+23+33+1003)(13+23+33+103)=(1+2+3+100)2(1+2+3+10)2=50502552=25499475.9.如图是一组完全相同的黑白小球组成的图形.观察各组图形及其对应的关系式.根据发现的规律,解答下列问题:1×2+2×0+4=2×32×3+2×1+4=3×43×4+2×2+4=4×54×5+2×3+4=5×6(1)写出第7个等式:7×8+2×6+4=8×9; (2)写出你猜想的第n个等式:n(n+1)+2(n1)+4=(n+1)(n+2)(用含n的等式表示),并证明其正确性. 解:(2)证明:左边=n2+n+2n2+4=n2+3n+2,右边=n2+2n+n+2=n2+3n+2,左边=右边,等式成立.10.如图,用同样规格的黑白两色正方形瓷砖铺设长方形地面,观察下列图形:解答下列问题:(1)在第4个图形中,共有白瓷砖24块,在第n个图形中,共有白瓷砖n(n+2)块; (2)在第n个图形中,共有瓷砖(n+2)(n+4)块;(用含n的代数式表示) (3)如果每块黑瓷砖20元,每块白瓷砖30元,当n=10时,求铺设长方形地面共需花多少钱购买瓷砖?解:(3)当n=10时,共有白瓷砖120块,黑瓷砖48块,则需花费120×30+48×20=4560(元).11.观察以下等式:第1个等式:1+112+122=1+1-12;第2个等式:1+122+132=1+12-13;第3个等式:1+132+142=1+13-14;按照以上规律,解决下列问题:(1)第4个等式是 1+142+152=1+14-15; (2)写出你猜想的第n个等式,并证明其正确性.解:(2)猜想:1+1n2+1(n+1)2=1+1n-1n+1.证明:左边=n2(n+1)2n2(n+1)2+(n+1)2n2(n+1)2+n2n2(n+1)2=n2(n+1)2+(n+1)2+n2n2(n+1)2=1n(n+1)n2(n2+1+2n)+(n2+1+2n)+n2=1n(n+1)n2(n2+1)+n2×2n+(n2+1)+2n+n2=1n(n+1)(n2+1)2+2n(n2+1)+n2=1n(n+1)(n2+1+n)2=n2+1+nn(n+1),右边=n(n+1)n(n+1)+n+1n(n+1)-nn(n+1)=n(n+1)+(n+1)-nn(n+1)=n2+n+1n(n+1),左边=右边,即猜想的等式正确.12.毕达哥拉斯学派对“数”与“形”的巧妙结合做了如下研究:名称及图形几何点数层数三角形数正方形数五边形数六边形数第一层几何点数1111第二层几何点数2345第三层几何点数3579第六层几何点数6 11 16 21 第n层几何点数n 2n13n24n3请写出第六层各个图形的几何点数,并归纳出第n层各个图形的几何点数.解:三角形数前三层的几何点数分别是1,2,3,第六层的几何点数是6,第n层的几何点数是n.正方形数前三层的几何点数分别是1=2×11,3=2×21,5=2×31,第六层的几何点数是2×61=11,第n层的几何点数是2n1.五边形数前三层的几何点数分别是1=3×12,4=3×22,7=3×32,第六层的几何点数是3×62=16,第n层的几何点数是3n2.六边形数前三层的几何点数分别是1=4×13,5=4×23,9=4×33,第六层的几何点数是4×63=21,第n层的几何点数是4n3.
