2022年中考数学总复习热点专题突破专题二用“数”解“形”ocx.docx
专题二用“数”解“形”我国著名数学家华罗庚先生说过“数缺形时少直观,形缺数时难入微”,这也就是我们常说的数形结合思想.数形结合思想运用非常广泛,这里所说的用“数”解“形”只是其中一个具体应用,在这里我们不仅可以理解为借助方程和函数知识解答几何问题,还包括借助代数式的恒等变形解答几何问题.这种考查形式是安徽数学中考长期保持的一个特色,如2017年第14题、第23题,2018年第23题,2020年第10题,2021年第8题、第17题、第23题等.目录类型1借助方程,用“数”解“形”类型2借助函数,用“数”解“形”类型3借助代数式的恒等变形,用“数”解“形”类型1借助方程,用“数”解“形”典例1我国古代数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的三角形,如图所示.已知A=90°,BD=4,CF=6,则正方形ADOF的边长是()A.2B.2C.3D.4【解析】设正方形ADOF的边长为x,由题意得BE=BD=4,CE=CF=6,所以BC=BE+CE=10.在RtABC中,AC2+AB2=BC2,即(6+x)2+(x+4)2=102,整理得x2+10x24=0,解得x=2或x=12(舍去),即正方形ADOF的边长是2.【答案】 B当问题中涉及线段较多,要想表达清楚这些线段之间的数量关系,可设其中一条或多条线段为未知数,表达出其他线段,再由线段之间的等量关系列出方程(组),解出未知数,完成解题.命题拓展考向应用勾股定理列方程解题 1.如图为一张三角形纸片ABC,其中C=90°,AC=8 cm,BC=6 cm,现将纸片折叠,使点A与点B重合,那么折痕长等于 154cm. 【解析】如图,线段MN为折痕,连接BN,易得MN垂直平分AB,AB=AC2+BC2=10,BN=AN,设AN=x,则BN=x,CN=8-x,在RtBCN中,BC2+CN2=BN2,即62+(8-x)2=x2,解得x=254,在RtAMN中,MN2=AN2-AM2,解得MN=154.类型2借助函数,用“数”解“形”典例2(2021·湖北黄冈)如图,AC为矩形ABCD的对角线,已知AD=3,CD=4,点P沿折线CAD以每秒1个单位长度的速度运动(运动到D点停止),过点P作PEBC于点E,则CPE的面积y与点P运动的路程x间的函数图象大致是()【解析】当点P在AC上时,即当0<x5时,BCAD,ACB=DAC.PEC=D=90°,PCECAD,PCAC=CEAD=PECD.AD=3,CD=4,AC=AD2+CD2=5,PE=CD·PCAC=45x,CE=AD·PCAC=35x,y=12PE·CE=12×35x×45x=625x2;当点P在AD上运动时,即当5<x8时,PE=CD=4,CE=8-x,y=12PE·CE=12×4×(8x)=162x.综上所述,当0<x5时,函数为二次函数图象,且y随x增大而增大,当5<x8时,函数为一次函数图象,且y随x增大而减小.只有D项符合条件.【答案】 D命题拓展考向一利用二次函数模型解决图形运动规律问题 2.(2020·合肥瑶海区二模)如图所示,在ABC中,AB=AC,动点D在折线段BAC上沿BAC方向以每秒1个单位的速度运动,过点D垂直于BC的直线交BC边于点E.如果AB=5,BC=8,点D运动的时间为t秒,BDE的面积为S,则S关于t的函数图象的大致形状是( B )【解析】过点A作AHBC交BC于点H.AB=AC,HB=HC=12BC=4,AH=3,cos B=BHAB=45,则sin B=35.当点D在AB边上时,S=12BE·DE=12BD·cos B·BD·sin B=625t2,该函数为开口向上的抛物线.当点D在AC边上时,AB=AC,B=C,cos C=45,sin C=35,CD=10-t,CE=45(10-t),DE=35(10-t),BE=8-45(10-t),S=12845(10t)×35(10-t)=-625t2+125t,该函数为开口向下的抛物线.考向二利用反比例函数模型解决图形运动规律问题 3.如图,O的直径AB垂直于弦CD,垂足为E,P为O上一个动点,点P沿ADB在半圆上运动(点P不与点A重合),AP交CD所在的直线于点F.若AB=10,CD=8,记PA=x,AF=y,则y关于x的函数图象大致是( A )【解析】分别连接OC,AC,CP.在RtOCE中,OE=3,在RtACE中,AC=82+42=45,易证ACPAFC,AC2=AP·AF,即xy=80,y=80x(0<x10),A项正确.类型3借助代数式的恒等变形,用“数”解“形”典例3(2018·安徽第23题节选)如图,在RtABC中,ACB=90°,D为边AC上一点,DEAB于点E,M为BD中点,CM的延长线交AB于点F.(1)求证:CM=EM;(2)若BAC=50°,求EMF的大小.【解析】(1)根据直角三角形的性质,把CM,EM转化为12BD;(2)先求出ABC=40°,证CM=BM=EM,得到CBM和BCM,ABM和BEM的关系,再根据三角形的外角定理进行角的恒等变形,求得CME=80°即可.【答案】(1)由已知,在RtBCD中,BCD=90°,M为斜边BD的中点,CM=12BD.又DEAB,同理,EM=12BD,CM=EM.(2)由已知,CBA=90°50°=40°,由(1)知CM=BM=EM,CBM=BCM,ABM=BEM,CME=CMD+DME=CBM+BCM+ABM+BEM=2(CBM+ABM)=2CBA=80°,EMF=180°CME=100°.针对训练1.如图,在ABC中,点I是内心,则BIC与A之间的数量关系为( C )A.BIC=2AB.A=2IBCC.BIC=90°+12AD.BIC=180°+12A【解析】点I是内心,可设IBC=12ABC=,ICB=12ACB=,BIC=180°-(+),A=180°-(2+2),BIC=90°+12A.2.若菱形的周长为45,两条对角线的和为6,则菱形的面积为( D )A.2B.5C.3D.4【解析】菱形的四条边相等,周长为45,菱形的边长为 5.设菱形的两条对角线的长分别为x,y,则x+y=6,x22+y22=5,即x2+y2=20,得(x+y)2-(x2+y2)=2xy=16,xy=8,S菱形=12xy=4.3.如图,在菱形ABCD中,AB=2 cm,D=60°,点P,Q同时从点A出发,点P以1 cm/s的速度沿ACD的方向运动,点Q以2 cm/s的速度沿ABCD的方向运动,当其中一点到达点D时,两点均停止运动.设运动时间为x s,APQ的面积为y cm2,则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是( A )【解析】四边形ABCD是菱形,AB=BC=CD=AD,B=D=60°,ABC,ACD都是等边三角形,CAB=ACB=ACD=60°.当0x1时,如图1,AQ=2x,AP=x,过点P作PEAB于点E,PE=AP·sin PAE=32x,y=12×2x·32x=32x2,是开口向上的抛物线;当1<x2时,如图2,CP=2-x,CQ=4-2x,BQ=2x-2,过点P作PFBC于点F,过点Q作QHAB于点H,PF=CP·sin PCF=32(2-x),QH=BQ·sin ABC=32(2x-2)=3(x-1),y=34×22-12×2×3(x-1)-12×(4-2x)·32(2-x)=-32x2+3x,是开口向下的抛物线;当2<x3时,如图3,CP=x-2,CQ=2x-4,PQ=x-2,过点A作AGCD于点G,AG=AC·sin ACD=32×2=3,y=12×(x-2)·3=32x-3,是递增的一条线段.只有A项符合要求.4.(2021·黑龙江龙东地区)如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD的边ADy轴,垂足为E,顶点A在第二象限,顶点B在y轴正半轴上,反比例函数y=kx(k0,x>0)的图象同时经过顶点C,D.若点C的横坐标为5,BE=2DE,则k的值为( A )A.403B.52C.54D.203【解析】过点D作DFBC于点F.由已知得BC=5,四边形ABCD是菱形,CD=5.BE=2DE,设DE=x,则BE=2x,DF=2x,BF=x,CF=5x,在RtDFC中,DF2+CF2=CD2,(2x)2+(5x)2=25,解得x1=2,x2=0(舍去),DE=2,DF=4.设OB=a,则点D的坐标为(2,a+4),点C的坐标为(5,a).点D,C在双曲线上,2×(a+4)=5a,a=83,k=5×83=403.5.(2020·江苏无锡)如图,在四边形ABCD中(AB>CD),ABC=BCD=90°,AB=3,BC=3,把RtABC沿着AC翻折得到RtAEC.若tan AED=32,则线段DE的长度为( B )A.63B.73C.32D.275【解析】解法1:如图1,延长ED交AC于点M,过点M作MNAE于点N.设MN=3m,tan AED=32,MNNE=32,NE=2m.ABC=90°,AB=3,BC=3,CAB=30°,由翻折可知EAC=30°,AM=2MN=23m,AN=3MN=3m.AE=AB=3,5m=3,m=35,AN=95,MN=335,AM=635.AC=23,CM=AC-AM=435.MN=335,NE=2m=65,EM=MN2+NE2=375.ABC=BCD=90°,CDAB,DCA=30°.由翻折可知ECA=BCA=60°,ECD=30°,CD是ECM的平分线,SCEDSCMD=EDMD=CECM,3435=ED375-ED,解得ED=73.解法2:如图2,过点D作DMCE于点M.由折叠可知AEC=B=90°,AEDM,AED=EDM.设EM=3n,tan AED=tan EDM=32,DM=2n.由折叠性质可知,EC=CB=3,CM=3-3n,tan MCD=DMCM=2n3-3n=33,解得n=13,DM=23,EM=33.在RtEDM中,DE=DM2+EM2=73.6.如图,在ABC中,AC=3,BC=4,若AC,BC边上的中线BE,AD垂直相交于点O,则AB= 5. 【解析】连接DE.AD,BE为三角形的中线,DEAB,DE=12AB,DOEAOB,DOOA=OEOB=DEAB=12,设OD=x,OE=y,OA=2x,OB=2y,在RtBOD中,x2+4y2=4,在RtAOE中,4x2+y2=94,+得5x2+5y2=254,x2+y2=54,在RtAOB中,AB2=4x2+4y2=4(x2+y2)=4×54,即AB=5.7.如图,在等腰ABC中,AB=AC,B=30°,BC=6,D是BC边上一点(不与点B,C重合),过点D作DEBC交AB于点E,将BDE沿直线DE翻折,点B落在BC边上的点F处,当AEF为直角三角形时,BD的长为1或2. 【解析】如图1,当AFE=90°时,作AGBC于点G.易得FAG=30°,设BD=x,则DF=x,FG=32x,在RtABG中,BG=3,B=30°,AG=3,在RtAFG中,FAG=30°,FGAG=33,3-2x3=33,解得x=1;如图2,当EAF=90°时,易得AEF=60°,AFE=30°,设BD=y,则BF=2y,AF=y,在RtABF中,AB=23,在RtBDE中,BE=233y,则EF=233y,在RtAEF中,AFE=30°,AE=12EF=33y,23-33y=233y,解得y=2.综上所述,BD的长为1或2.8.如图,D,E分别是ABC的边BC和AB上的点,ABD与ACD的周长相等,CAE与CBE的周长相等.设BC=a,AC=b,AB=c.(1)求AE和BD的长;(2)若BAC=90°,ABC的面积为S,求证:S=AE·BD.解:(1)ABD与ACD的周长相等,BC=a,AC=b,AB=c,AB+BD=AC+CD,c+BD=b+CD.CD=aBD,c+BD=b+aBD,BD=12(a+b-c).同理AE=12(ab+c).(2)BAC=90°,b2+c2=a2,S=12bc.由(1)知AE·BD=12(a+b-c)×12(a-b+c)=14a+(b-c)·a-(b-c)=14a2-(b-c)2=14(a2-b2-c2+2bc)=12bc,即S=AE·BD.9.如图,BC与O相切于点B,过点O,C的直线与O相交于点A,D,过点D作DEBC于点E,延长ED交O于点F,连接AB,AF,BD.求证:(1)BAF+BAD=90°(2)OC·DF=2OD2.证明:(1)连接OB.BC是O的切线,OBBC.DEBC,OBDE,OBD=BDE.OB=OD,OBD=ADB,BDE=ADB.AD是O的直径,ABD=90°,ADB+BAD=90°,BDE+BAD=90°.BAF+BDF=180°,BDE+BDF=180°,BAF=BDE,BAF+BAD=90°.(2)AD是O的直径,AFD=90°,AFD=OBC=90°.OBDE,BOC=ADF,BOCFDA,OCDA=OBDF,OC·DF=DA·OB.DA=2OB=2OD,OC·DF=2OD2.
