备战2023年中考数学一轮复习知识解读专题05对角互补模型综合应用.docx

专题05 对角互补模型综合应用（知识解读）【专题说明】共顶点模型，即四边形或构成的几何图形中，相对的角互补。主要：含90°的对角互补，含120°的对角互补，两种类型，种类不同，得出的个别结论会有所区别。解决此类题型常用到的辅助线画法主要有两种：旋转法和过顶点作两垂线.【方法技巧】类型一：含90°的对角互补模型（1）如图，AOB=DCE=90°，OC平分AOB，则有以下结论： 作法1 作法2； ；（2）如图，AOB=DCE=90°，OC平分AOB，当DCE的一边与AO的延长线交于点D时，则有以下结论： 作法1 作法2；类型二：含120°的对角互补模型（1）如图，AOB=2DCE=120°，OC平分AOB，则有以下结论： 作法1 作法2；（2）如图，AOB=DCE=90°，OC平分AOB，当DCE的一边与AO的延长线交于点D时，则有以下结论： 作法1 作法2；【典例分析】【类型一：含90°的对角互补模型】【典例1】（1）如图1，在四边形ABCD中，ABAD，BD90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且EAFBAD，线段EF、BE、FD之间的关系是 ；（不需要证明）（2）如图2，在四边形ABCD中，ABAD，B+D180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且EAFBAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明（3）如图3，在四边形ABCD中，ABAD，B+D180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且EAFBAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明【变式1-1】如图，在ABC中，ABAC，BAC90°，直角EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，连接EF交AP于点G，以下五个结论：BC45°；APEF；AFP和AEP互补；EPF是等腰直角三角形；四边形AEPF的面积是ABC面积的，其中正确的结论是（）ABCD【变式1-2】（1）如图1，在四边形ABCD中，ABAD，BAD100°，BADC90°E，F分别是BC，CD上的点且EAF50°探究图中线段EF，BE，FD之间的数量关系小明同学探究的方法是：延长FD到点G，使DGBE，连接AG，先证明ABEADG，再证明AEFAGF，可得出结论，他的结论是 （直接写结论，不需证明）；（2）如图2，若在四边形ABCD中，ABAD，B+D180°，E，F分别是BC，CD上的点，且2EAFBAD，上述结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由；（3）如图3，四边形ABCD是边长为7的正方形，EBF45°，直接写出DEF的周长【变式1-3】（1）如图，在四边形ABCD中，ABAD，BD90°，E，F分别是边BC，CD上的点，且EAFBAD请直接写出线段EF，BE，FD之间的数量关系： ；（2）如图，在四边形ABCD中，ABAD，B+D180°，E，F分别是边BC，CD上的点，且EAFBAD，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；（3）在四边形ABCD中，ABAD，B+D180°，E，F分别是边BC，CD所在直线上的点，且EAFBAD请直接写出线段EF，BE，FD之间的数量关系： 【变式1-4】问题探究：如图1，在ABC中，点D是BC的中点，DEDF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EFBE、CF与EF之间的关系为：BE+CF EF；（填“”、“”或“”）若A90°，探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明问题解决：如图2，在四边形ABDC中，B+C180°，DBDC，BDC130°，以D为顶点作EDF65°，EDF的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明【类型二：含120°的对角互补模型】【典例2】问题背景：如图1，在四边形ABCD中，ABAD，BAD120°，BADC90°，E，F分别是BC，CD上的点，且EAF60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系，小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G使DGBE连接AG，先证明ABEADG，再证明AEFAGF，可得出结论，他的结论应是 ；探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，ABAD，B+D180°，E，F分别是BC，CD上的点，且EAFBAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以70海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以90海里/小时的速度，前进2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离【变式2-1】如图，ABC是边长为6的等边三角形，BDCD，BDC120°，以点D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连结MN，则AMN的周长是 【变式2-2】【问题背景】如图1：在四边形ABCD中，ABAD，BAD120°，BADC90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EAF60°，试探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DGBE，连接AG，先证明ABEADG，再证明AEFAGF，可得出结论，他的结论应是 【探索延伸】如图2，若在四边形ABCD中，ABAD，B+D180°，E、F分别是BC，CD上的点，且EAFBAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由【学以致用】如图3，四边形ABCD是边长为5的正方形，EBF45°，直接写出DEF的周长专题05 对角互补模型综合应用（知识解读）【专题说明】共顶点模型，即四边形或构成的几何图形中，相对的角互补。主要：含90°的对角互补，含120°的对角互补，两种类型，种类不同，得出的个别结论会有所区别。解决此类题型常用到的辅助线画法主要有两种：旋转法和过顶点作两垂线.【方法技巧】类型一：含90°的对角互补模型（1）如图，AOB=DCE=90°，OC平分AOB，则有以下结论： 作法1 作法2； ；（2）如图，AOB=DCE=90°，OC平分AOB，当DCE的一边与AO的延长线交于点D时，则有以下结论： 作法1 作法2；类型二：含120°的对角互补模型（1）如图，AOB=2DCE=120°，OC平分AOB，则有以下结论： 作法1 作法2；（2）如图，AOB=DCE=90°，OC平分AOB，当DCE的一边与AO的延长线交于点D时，则有以下结论： 作法1 作法2；【典例分析】【类型一：含90°的对角互补模型】【典例1】（1）如图1，在四边形ABCD中，ABAD，BD90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且EAFBAD，线段EF、BE、FD之间的关系是 ；（不需要证明）（2）如图2，在四边形ABCD中，ABAD，B+D180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且EAFBAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明（3）如图3，在四边形ABCD中，ABAD，B+D180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且EAFBAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明【解答】解：（1）EFBE+FD，理由如下：如图1，延长CB至G，使BGDF，连接AG，在ABG和ADF中，ABGADF（SAS），AGAF，BAGDAF，EAFBAD，DAF+BAEEAF，GAEBAG+BAEDAF+BAEEAF，在GAE和FAE中，GAEFAE（SAS），EFEG，EGBG+BEBE+DF，EFBE+FD，故答案为：EFBE+FD；（2）（1）中的结论仍然成立，理由如下：如图2，延长CB至M，使BMDF，连接AM，ABC+D180°，ABC+1180°，1D，在ABM和ADF中，ABMADF（SAS），AMAF，32，EAFBAD，3+4EAF，EAM3+42+4EAF，在MAE和FAE中，MAEFAE（SAS），EFEM，EMBM+BEBE+DF，EFBE+FD；（3）（1）中的结论不成立，EFBEFD，理由如下：如图3，在EB上截取BHDF，连接AH，同（2）中证法可得，ABHADF，AHAF，BAHDAF，HAEFAE，在HAE和FAE中，HAEFAE（SAS），EFEH，EHBEBHBEDF，EFBEFD【变式1-1】如图，在ABC中，ABAC，BAC90°，直角EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，连接EF交AP于点G，以下五个结论：BC45°；APEF；AFP和AEP互补；EPF是等腰直角三角形；四边形AEPF的面积是ABC面积的，其中正确的结论是（）ABCD【答案】D【解答】解：ABAC，BAC90°，BC45°，故正确；点P为BC的中点，BAC90°，ABAC，APCP，APC90°，BAPC45°，EPFAPC，APEFPC，在AEP和CFP中，AEPCFP（ASA），PEPF，EPF是等腰直角三角形，四边形AEPF的面积为SAEP+SAFPSCPF+SAPFSAPCSABC，故正确，不正确；BACEPF90°，AFP和AEP互补，故正确；PE不是定长，故不正确正确的有：，故选：D【变式1-2】（1）如图1，在四边形ABCD中，ABAD，BAD100°，BADC90°E，F分别是BC，CD上的点且EAF50°探究图中线段EF，BE，FD之间的数量关系小明同学探究的方法是：延长FD到点G，使DGBE，连接AG，先证明ABEADG，再证明AEFAGF，可得出结论，他的结论是EFBE+DF（直接写结论，不需证明）；（2）如图2，若在四边形ABCD中，ABAD，B+D180°，E，F分别是BC，CD上的点，且2EAFBAD，上述结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由；（3）如图3，四边形ABCD是边长为7的正方形，EBF45°，直接写出DEF的周长【解答】证明：（1）延长FD到点G使DGBE连接AG，在ABE和ADG中，ABEADG（SAS），AEAG，BAEDAG，BAD100°，EAF50°，BAE+FADDAG+FAD50°，EAFFAG50°，在EAF和GAF中，EAFGAF（SAS），EFFGDF+DG，EFBE+DF，故答案为：EFBE+DF；（2）结论仍然成立，理由如下：如图2，延长EB到G，使BGDF，连接AGABC+D180°，ABG+ABC180°，ABGD，在ABG与ADF中，ABGADF（SAS），AGAF，BAGDAF，2EAFBAD，DAF+BAEBAG+BAEBADEAF，GAEEAF，又AEAE，AEGAEF（SAS），EGEFEGBE+BGEFBE+FD；（3）如图，延长EA到H，使AHCF，连接BH，四边形ABCD是正方形，ABBC7ADCD，BADBCD90°，BAHBCF90°，又AHCF，ABBC，ABHCBF（SAS），BHBF，ABHCBF，EBF45°，CBF+ABE45°HBA+ABEEBF，EBHEBF，又BHBF，BEBE，EBHEBF（SAS），EFEH，EFEHAE+CF，DEF的周长DE+DF+EFDE+DF+AE+CFAD+CD14【变式1-3】（1）如图，在四边形ABCD中，ABAD，BD90°，E，F分别是边BC，CD上的点，且EAFBAD请直接写出线段EF，BE，FD之间的数量关系： ；（2）如图，在四边形ABCD中，ABAD，B+D180°，E，F分别是边BC，CD上的点，且EAFBAD，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；（3）在四边形ABCD中，ABAD，B+D180°，E，F分别是边BC，CD所在直线上的点，且EAFBAD请直接写出线段EF，BE，FD之间的数量关系： 【解答】解：（1）如图1，延长EB到G，使BGDF，连接AG在ABG与ADF中，ABGADF（SAS）AGAF，12，1+32+3BADEAFGAEEAF又AEAE，易证AEGAEFEGEFEGBE+BGEFBE+FD（2）（1）中的结论EFBE+FD仍然成立理由是：如图2，延长EB到G，使BGDF，连接AGABC+D180°，ABG+ABC180°，ABGD，在ABG与ADF中，ABGADF（SAS）AGAF，12，1+32+3BADEAFGAEEAF又AEAE，AEGAEFEGEFEGBE+BGEFBE+FD（3）当（1）结论EFBE+FD成立，当图三中，EFBEFD或EFFDBE证明：在BE上截取BG，使BGDF，连接AGB+ADC180°，ADF+ADC180°，BADF在ABG与ADF中，ABGADF（SAS）BAGDAF，AGAFBAG+EADDAF+EADEAFBADGAEEAFAEAE，AEGAEF（SAS）EGEFEGBEBGEFBEFD同理可得：EGEFEGBGBEEFFDBE故答案为：（1）EFBE+FD；（2）成立；（3）EFBE+FD或EFBEFD或EFFDBE【变式1-4】问题探究：如图1，在ABC中，点D是BC的中点，DEDF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EFBE、CF与EF之间的关系为：BE+CF EF；（填“”、“”或“”）若A90°，探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明问题解决：如图2，在四边形ABDC中，B+C180°，DBDC，BDC130°，以D为顶点作EDF65°，EDF的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明【解答】解：（1）如图1中，延长ED到H，使得DHDE，连接CH，FHBDCD，BDECDH，DEDH，BDECDH（SAS），BECH，DEDH，FDEH，FEFH，在FCH中，CH+CFFH，BE+CFEF故答案为（2）结论：EF2BE2+CF2理由：如图2中，延长ED到H，使得DHDE，连接CH，FHBDCD，BDECDH，DEDH，BDECDH（SAS），BECH，BDCH，DEDH，FDEH，FEFH，A90°，B+ACB90°，ACB+DCH90°，FCH90°，FH2CH2+CF2，EF2BE2+CF2（3）如图3中，结论：EFBE+CF理由：DBDC，B+ACD180°，可以将DBE绕点D顺时针旋转得到DCH，A，C，H共线BDC130°，EDF65°，CDH+CDFBDE+CDF65°，FDEFDH，DFDF，DEDH，FDEFDH（SAS），EFFH，FHCF+CHCF+BE，EFBE+CF【类型二：含120°的对角互补模型】【典例2】问题背景：如图1，在四边形ABCD中，ABAD，BAD120°，BADC90°，E，F分别是BC，CD上的点，且EAF60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系，小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G使DGBE连接AG，先证明ABEADG，再证明AEFAGF，可得出结论，他的结论应是 ；探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，ABAD，B+D180°，E，F分别是BC，CD上的点，且EAFBAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以70海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以90海里/小时的速度，前进2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离【解答】解：问题背景：由题意：ABEADG，AEFAGF，BEDG，EFGF，EFFGDF+DGBE+FD故答案为：EFBE+FD探索延伸：EFBE+FD仍然成立理由：如图2，延长FD到点G，使DGBE，连接AGB+ADC180°，ADG+ADC180°，BADG，又ABAD，在ABE和ADG中，ABEADG（SAS），AEAG，BAEDAG，又EAFBAD，FAGFAD+DAGFAD+BAEBADEAF，BADBADBAD，EAFGAF在AEF和AGF中，AEFAGF（SAS），EFFG，又FGDG+DFBE+DF，EFBE+FD实际应用：如图3，连接EF，延长AE，BF相交于点C，在四边形AOBC中，AOB30°+90°+20°140°，FOE70°AOB，又OAOB，OAC+OBC60°+120°180°，符合探索延伸中的条件，结论EFAE+FB成立即，EFAE+FB2×（70+90）320（海里）答：此时两舰艇之间的距离为320海里【变式2-1】如图，ABC是边长为6的等边三角形，BDCD，BDC120°，以点D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连结MN，则AMN的周长是 【解答】解：BDC是等腰三角形，且BDC120°，BCDDBC30°，ABC是边长为4的等边三角形，ABCBACBCA60°，DBADCA90°，延长AB至F，使BFCN，连接DF，在BDF和CND中，BDFCND（SAS），BDFCDN，DFDN，MDN60°，BDM+CDN60°，BDM+BDF60°，在DMN和DMF中，DMNDMF（SAS），MNMF，AMN的周长是：AM+AN+MNAM+MB+BF+ANAB+AC6+612故答案为：12【变式2-2】【问题背景】如图1：在四边形ABCD中，ABAD，BAD120°，BADC90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EAF60°，试探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DGBE，连接AG，先证明ABEADG，再证明AEFAGF，可得出结论，他的结论应是 【探索延伸】如图2，若在四边形ABCD中，ABAD，B+D180°，E、F分别是BC，CD上的点，且EAFBAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由【学以致用】如图3，四边形ABCD是边长为5的正方形，EBF45°，直接写出DEF的周长【解答】（1）解：如图1，在ABE和ADG中，ABEADG（SAS），AEAG，BAEDAG，EAFBAD，GAFDAG+DAFBAE+DAFBADEAFEAF，EAFGAF，在AEF和GAF中，AEFAGF（SAS），EFFG，FGDG+DFBE+DF，EFBE+DF；故答案为：EFBE+DF（2）解：结论EFBE+DF仍然成立；理由：如图2，延长FD到点G使DGBE连接AG，在ABE和ADG中，ABEADG（SAS），AEAG，BAEDAG，EAFBAD，GAFDAG+DAFBAE+DAFBADEAFEAF，EAFGAF，在AEF和GAF中，AEFAGF（SAS），EFFG，FGDG+DFBE+DF，EFBE+DF；（3）解：如图3，延长DC到点G，截取CGAE，连接BG，在AEB与CGB中，AEBCGB（SAS），BEBG，ABECBGEBF45°，ABC90°，ABE+CBF45°，CBF+CBG45°在EBF与GBF中，EBFGBF（SAS），EFGF，DEF的周长EF+ED+DFAE+CF+DE+DFAD+CD5+510