2022年中考数学总复习考点知识梳理4.4相似三角形.docx
4.4相似三角形了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段;通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割.通过具体实例认识图形的相似,了解相似多边形和相似比.掌握基本事实:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.探索并了解相似三角形的判定定理;了解相似三角形判定定理的证明(选学).了解相似三角形的性质定理.会利用图形的相似解决一些简单的实际问题.相似三角形的判定和性质经常是一年多考,安徽有关相似的考题有入手难、综合性强、方法多样等特点,预计2022年还会延续这种特点.考生在解决相似问题时,熟练地掌握基础知识,积累解题经验很重要,特别是要掌握相似问题的一些常见模型.命题点与相似三角形有关的证明与计算必考1.(2020·安徽第8题)如图,RtABC中,C=90°,点D在AC上,DBC=A.若AC=4,cos A=45,则BD的长度为( C )A.94B.125C.154D.4【解析】在RtABC中,AC=4,cos A=45,AB=5,根据勾股定理,得BC=52-42=3.DBC=A,C=C,CBDCAB,CBCA=BDAB,即34=BD5,BD=154.2.一题多解(2021·安徽第23题)如图1,在四边形ABCD中,ABC=BCD,点E在边BC上,且AECD,DEAB,作CFAD交线段AE于点F,连接BF.(1)求证:ABFEAD;(2)如图2,若AB=9,CD=5,ECF=AED,求BE的长;(3)如图3,若BF的延长线经过AD的中点M,求BEEC的值.解:(1)因为AECD,ADCF,所以四边形AFCD是平行四边形,从而AF=CD,因为AECD,DEAB,ABC=BCD,所以ABC=DEC=AEB=BCD,所以AB=AE,DE=AF,BAF=AED,所以ABFEAD(SAS).(2)由(1)知BF=AD,FC=AD,所以FC=FB,所以FBE=ECF=AED=BAE,又AEB=BEF,所以ABEBFE,所以BE2=AE·EF,因为AE=AB=9,EF=AEAF=AECD=4,所以BE=6.(3)易证ABEDEC,所以BEEC=ABCD.解法1:如图1,作MNDE,交AE于点N,则AN=12AE,MN=12DE=12DC,MNAB,AFFN=ABMN=2ABCD,即AFAN-AF=2ABCD.设AF=a,EF=b,则AE=AB=a+b,AN=12AE=a+b2.式可化为aa+b2-a=2(a+b)a,整理得b2=2a2,即b=2a,于是BEEC=ABCD=a+ba=2+1.解法2:如图2,延长BM,交ED的延长线于点N.M是AD的中点,ABED,易得AB=DN,且ABNE=AFFE,即ABAB+CD=CDAB-CD.设AB=a,CD=1,式可化为aa+1=1a-1,整理得a22a1=0,解得a=2+1(负值舍去),即BEEC=2+1.3.一题多解(2019·安徽第23题)如图,在RtABC中,ACB=90°,AC=BC.P为ABC内部一点,且APB=BPC=135°.(1)求证:PABPBC;(2)求证:PA=2PC;(3)若点P到三角形的边AB,BC,CA的距离分别为h1,h2,h3,求证:h12=h2·h3.解:(1)在ABP中,APB=135°,ABP+BAP=45°.又ABC为等腰直角三角形,ABC=45°,即ABP+CBP=45°,BAP=CBP.又APB=BPC=135°,PABPBC.(2)解法1:由(1)知PABPBC,PAPB=PBPC=ABBC=2.PAPC=PAPB·PBPC=2,即PA=2PC.解法2:APB=BPC=135°,APC=90°.CAP<45°,ACP>45°,故AP>CP.如图1,在线段AP上取点D,使AD=PC.又CAD+PAB=45°,且PBA+PAB=45°,CAD=PBA.又PBA=BCP,CAD=BCP.AC=CB,ADCCPB(SAS),ADC=CPB=135°,CDP=45°,PDC为等腰直角三角形,PC=PD.又AD=PC,PA=2PC.(3)如图2,过点P作边AB,BC,CA的垂线,垂足分别为Q,R,S,则PQ=h1,PR=h2,PS=h3.在RtCPR中,PRCR=tan PCR=tan CAP=CPAP=12,h2h3=12,即h3=2h2.又PABPBC,且ABBC=2,h1h2=2,即h1=2h2.于是h12=h2·h3.考点1比例性质及平行线分线段成比例典例1如图,在ABC中,EFBC,EGAB,AFFD=32.若G是DC的中点,求BDBC的值.【答案】EFBC,AEEC=AFFD=32.EGAB,BGGC=AEEC=32.DG=GC,BGDG=32,BDDG=12,BDDC=14,BDBC=15.利用平行线找比例式,“对应线段”要正确.在求线段比的问题中,设“k”法很重要,也很实用,如本题在得到BGGC=32时,可设BG=3k,DG=GC=2k,易得BD=k,BC=5k,所以BDBC=15.提分1如图,ABCD,AC,BD相交于点O,过点O的直线分别交AB,CD于点E,F,则下列结论不一定成立的是( B )A.OAOC=ABCDB.OAOD=OBOCC.CDDF=ABBED.OEOF=ABCD【解析】ABCD,AOBCOD,AOECOF,BOEDOF,OAOC=ABCD=OBOD,A项正确,B项错误;OAOC=OEOF,OAOC=ABCD,OEOF=ABCD,D项正确;BEDF=OBOD=ABCD,CDDF=ABBE,C项正确.考点2相似三角形的判定和性质典例2(2021·湖南益阳改编)如图,在RtABC中,BAC=90°,tan ABC=32,将ABC绕A点顺时针方向旋转角(0°<<90°)得到AB'C',连接BB',CC',(1)求证:ACC'ABB'(2)求ACC'与ABB'的面积之比.【答案】(1)由旋转的性质可知BAB'=CAC'.AB=AB',AC=AC',ABAC=AB'AC',ACC'ABB'.(2)由(1)知ACC'ABB',SACC'SABB'=ACAB2.tan ABC=ACAB=32,SACC'SABB'=ACAB2=94.【思维教练】(1)(2)利用条件证明三角形相似时,先把已知相等的角、成比例的线段化归到两个三角形中,再找出这两个三角形相似的其他条件.提分2(2020·山东潍坊)如图,E是ABCD的边AD上的一点,且DEAE=12,连接BE并延长交CD的延长线于点F.若DE=3,DF=4,则ABCD的周长为( C )A.21B.28C.34D.42【解析】四边形ABCD是平行四边形,ABCF,ABEDFE,DEAE=DFAB=12.DE=3,DF=4,AE=6,AB=8,AD=AE+DE=6+3=9,ABCD的周长为(8+9)×2=34.提分3如图,在ABC中,BC=120,高AD=60,正方形EFGH一边在BC上,点E,F分别在AB,AC上,AD交EF于点N,则AN的长为( B )A.15B.20C.25D.30【解析】设正方形EFGH的边长EF=EH=x.四边形EFGH是正方形,HEF=EHG=90°,EFBC,AEFABC,ANAD=EFBC,60-x60=x120,解得x=40,AN=6040=20.考点3全等三角形和相似三角形的综合应用典例3(2021·四川凉山州改编)如图,在四边形ABCD中,ADC=B=90°,过点D作DEAB于点E,DE=BE.(1)求证:DA=DC;(2)连接AC交DE于点F,若AE=6,AD=10,求DF的长.【答案】(1)过点D作DGBC,交BC的延长线于点G.DEAB,B=90°,DGBC,DEB=B=BGD=90°,四边形DEBG是矩形,EDC+CDG=90°,DG=BE=DE.ADC=90°,即EDC+ADE=90°,ADE=CDG.在ADE和CDG中,ADE=CDG,DE=DG,AED=CGD,ADECDG(ASA),DA=DC.(2)在RtADE中,DE=AD2-AE2=102-62=8.由(1)知ADECDG,四边形DEBG是正方形,BE=BG=DG=DE=8,AE=CG=6,BC=BGCG=2,AB=AE+BE=14.EFAB,BCAB,EFBC,AEFABC,AEAB=EFBC,即614=EF2,解得EF=67,DF=DEEF=867=507.【思维教练】(1)(2)
