2021-2022学年安徽省合肥市瑶海区九年级(上)期中数学试卷.docx

2021-2022学年安徽省合肥市瑶海区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1（4分）抛物线y2（x3）21的顶点坐标是（）A（3，1）B（3，1）C（3，1）D（3，1）2（4分）下列给出的各个点中，在双曲线y上的点为（）A（1，6）B（2，3）C（1，6）D（2，3）3（4分）已知，那么的值为（）ABCD4（4分）一个羽毛球发出去x秒时的高度为y米，且y与x之间的函数关系式为yax2+bx+c（a0）如果这个羽毛球在第2秒与第4秒时的高度相等，那么在下列时间中，羽毛球所在高度最高的是（）A第2.5秒B第2.9秒C第3.3秒D第3.5秒5（4分）把抛物线yx24x+3先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（）Ay（x1）23By（x1）2+3Cy（x+1）23Dy（x+1）2+36（4分）已知线段AB2，点P是线段AB的黄金分割点，那么AP的长为（）A1B2C3D1或37（4分）二次函数y3x2+kx+12的图象如图所示，则k的值是（）A12B12C±12D158（4分）已知关于x的一元二次方程6（xa）（xb）0（其中ab）的两个实数解分别为c，d（其中cd），则a，b，c，d之间的大小关系为（）AabcdBacdbCcabdDcdab9（4分）平面直角坐标系中，二次函数yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，现给出下列结论：abc0；c+2a0；9a3b+c0；abam2+bm（m为实数）；4acb20其中正确结论的个数是（）A2B3C4D510（4分）如图是同一平面直角坐标系中二次函数yax2与反比例函数y的图象，它们相交于点A（1，1），则关于x的方程ax2的解的个数为（）A4B3C2D1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11（5分）若抛物线yx22x+k与x轴的一个交点为（3，0），则与x轴的另一个交点的坐标为 12（5分）如图所示，点D，E分别在ABC的两边BC，CA上，BD：DC1：3，AE：EC1：2，AD与BE相交于点G，如果AD9，那么AG的长为 13（5分）已知两个正方形、在同一坐标系中如图摆放，它们分别有一个顶点A、B在反比例函数y（x0）的图象上，其中正方形的面积是4，则正方形的边长是 14（5分）已知，如图是在同一坐标系中二次函数y1ax2+bx+c与一次函数y2mx+n的图象，它们相交于点B（0，1），C（3，4），抛物线的顶点D（1，0），直线BC交x轴于点A（1）当y1y2时，x的取值范围是 ；（2）当y1y20时，x的取值范围是 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15（8分）用配方法求二次函数y2x2+4x1的最大值16（8分）已知，并且3x2y+z8，求2x3y+4z的值四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17（8分）已知一条抛物线分别经过三个点（3，0），（1，0），（0，3），求它的函数关系式18（8分）同学们，我们已经学完了初中学段的所有函数知识了现在回顾一下，我们学习函数的基本过程，都是由现实生活中的一些问题来引入各类函数的一般形式，然后画出各类函数的图象，再利用图象总结出它们的性质，最后利用其性质解决各类相关的问题在实际应用中，能否画好函数的简图（亦称为草图）是检验我们函数知识掌握程度的“试金石”比如，一次函数ykx+b中，当k0，b0时，它的简图可以画成图1的形式请根据所学知识在图2中画出二次函数yax²+bx+c中，当a0，b0，c0时的简图（不要求说明理由）五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19（10分）常青钢窗厂要利用12米长的钢材制成如图所示的窗子，求长与宽分别为多少时，此窗子的面积最大？最大面积是多少？20（10分）在一个长20米，宽12米的矩形场地内的四周都铺上一条相同宽度的地砖道路，外面的矩形与原来的矩形相似吗？请你通过计算来说明六、（本题满分12分）21（12分）秦杨超市销售某种农产品，每件成本为10元，试销阶段发现，每件农产品的日销售量y（件）与售价x（元）之间符合一次函数的关系，并且当x20时，y20；当x30时，y10（1）求出该产品日销售量y（件）与售价x（元）之间的函数关系式；（2）该产品的售价为多少时，每日的销售利润最大？最大利润是多少？（3）小明说：“该产品每日销售利润最大时，其销售总额也最大”你认为小明的说法对吗？并说明理由七、（本题满分12分）22（12分）【问题呈现】现在有一段40cm长的铁丝，要把它围成一个长方形怎样围才能使得它的面积最大？【分组研究】同学们经过审题，分析解题思路，并且进行演算，最后小军和小英先后发表了自己的观点如图所示【请您仲裁】请你利用所学的函数知识来裁决，小军和小英两人的说法谁正确？八、（本题满分14分）23（14分）已知二次函数yx²+2x+k（1）如果此二次函数的图象与x轴有两个交点，求k的取值范围；（2）如图，此二次函数的图象过点A（3，0），且与y轴交于点B，直线AB与此二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标；（3）在（2）中，点C为直线AB上方的抛物线上的一个动点，作CDAB于点D，试求CD最长时，点C的坐标，并求出此时CD的长度2021-2022学年安徽省合肥市瑶海区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1（4分）抛物线y2（x3）21的顶点坐标是（）A（3，1）B（3，1）C（3，1）D（3，1）【分析】根据抛物线ya（xh）2+k的顶点坐标为（h，k）即可求解【解答】解：抛物线y2（x3）21，顶点坐标是（3，1）故选：A【点评】此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是根据抛物线的顶点式确定其顶点坐标2（4分）下列给出的各个点中，在双曲线y上的点为（）A（1，6）B（2，3）C（1，6）D（2，3）【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征对照四个选项，即可得出结论【解答】解：四个选项中，只有（1）×66，点（1，6）在双曲线y上故选：C【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，牢记“图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xyk”是解题的关键3（4分）已知，那么的值为（）ABCD【分析】先把要求的式子化成+1，再代值计算即可得出答案【解答】解：，+1+1故选：C【点评】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键，较简单4（4分）一个羽毛球发出去x秒时的高度为y米，且y与x之间的函数关系式为yax2+bx+c（a0）如果这个羽毛球在第2秒与第4秒时的高度相等，那么在下列时间中，羽毛球所在高度最高的是（）A第2.5秒B第2.9秒C第3.3秒D第3.5秒【分析】由炮羽毛球在第2秒与第4秒时的高度相等可知这两点关于对称轴对称，故此可求得求得抛物线的对称轴【解答】解：羽毛球在第2秒与第4秒时的高度相等，抛物线的对称轴方程为x32.9s最接近3s，第2.9秒时，羽毛球所在高度最高，故选：B【点评】本题主要考查的是二次函数的应用，利用抛物线的对称性求得对称轴方程是解题的关键5（4分）把抛物线yx24x+3先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（）Ay（x1）23By（x1）2+3Cy（x+1）23Dy（x+1）2+3【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律即可求得【解答】解：yx24x+3（x2）21，将抛物线yx24x+3先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是y（x2+1）212，即y（x1）23故选：A【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键6（4分）已知线段AB2，点P是线段AB的黄金分割点，那么AP的长为（）A1B2C3D1或3【分析】根据黄金分割点的定义，知AP可能是较长线段，也可能是较短线段，求解即可【解答】解：线段AB长是2，P是线段AB的黄金分割点，APAB，或或AP2（1）3故选：D【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（ACBC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：ACAC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点7（4分）二次函数y3x2+kx+12的图象如图所示，则k的值是（）A12B12C±12D15【分析】根据图象与x轴有一个交点即可得k的取值范围【解答】解：观察二次函数y3x2+kx+12的图象可知：抛物线与x轴有一个交点，k24×3×120，解得k±12，对称轴在y轴的左侧，k12，故选：A【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解决本题的关键是利用判别式进行计算8（4分）已知关于x的一元二次方程6（xa）（xb）0（其中ab）的两个实数解分别为c，d（其中cd），则a，b，c，d之间的大小关系为（）AabcdBacdbCcabdDcdab【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案【解答】解：设函数y（xa）（xb），当y0时，xa或xb，当y6时，由题意可知：6（xa）（xb）0（ab）的两个根为c，d，由于抛物线开口向下，由抛物线的图象可知：cabd故选：C【点评】本题考查一元二次方程根的分布，解题的关键是正确理解一元二次方程与二次函数之间的关系，本题属于中等题型9（4分）平面直角坐标系中，二次函数yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，现给出下列结论：abc0；c+2a0；9a3b+c0；abam2+bm（m为实数）；4acb20其中正确结论的个数是（）A2B3C4D5【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案【解答】解：由抛物线可知：a0，c0，对称轴x0，b0，abc0，故正确；由对称轴可知：1，b2a，x1时，ya+b+c0，c+3a0，c+2a3a+2aa0，故错误；（1，0）关于x1的对称点为（3，0），x3时，y9a3b+c0，故正确；当x1时，y的最小值为ab+c，xm时，yam2+bm+c，am2+bm+cab+c，即am2+bmab，故正确；抛物线与x轴有两个交点，0，即b24ac0，4acb20，故正确；故选：C【点评】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型10（4分）如图是同一平面直角坐标系中二次函数yax2与反比例函数y的图象，它们相交于点A（1，1），则关于x的方程ax2的解的个数为（）A4B3C2D1【分析】由二次函数yax2与反比例函数y的图象相交于点A（1，1），即可求得二次函数为yx2，反比例函数y，由于点（1，1）也在反比例函数y的图象上，当x1时，yx21，即可判断二次函数yx2y与反比例函数y在第三象限有两个交点，然后结合图象即可判断二次函数yx2y与反比例函数y有三个交点，从而得出关于x的方程ax2的解有三个【解答】解：二次函数yax2与反比例函数y的图象，它们相交于点A（1，1），a1k1，二次函数为yx2，反比例函数y，点A（1，1）在反比例函数y的图象上，点（1，1）也在反比例函数y的图象上，当x1时，yx21，二次函数yx2y与反比例函数y在第三象限有两个交点，二次函数yx2y与反比例函数y有三个交点，如图，关于x的方程ax2的解有三个，故选：B【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，数形结合是解题的关键二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11（5分）若抛物线yx22x+k与x轴的一个交点为（3，0），则与x轴的另一个交点的坐标为 （1，0）【分析】由抛物线的对称轴及抛物线与x轴的一个交点坐标，利用抛物线的对称性可求出另一交点坐标，此题得解【解答】解：抛物线yx22x+k的对称轴为直线x1，与x轴的一个交点的坐标为（3，0），抛物线与x轴的另一交点坐标为（1，0）故答案为：（1，0）【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，利用抛物线的对称性找出另一交点坐标是解题的关键12（5分）如图所示，点D，E分别在ABC的两边BC，CA上，BD：DC1：3，AE：EC1：2，AD与BE相交于点G，如果AD9，那么AG的长为 6【分析】过D作DHAC交BE于H，根据相似三角形的性质即可得到结论【解答】解：过D作DHAC交BE于H，BDHBCE，DHCE，AE：EC1：2，CE2AE，DHAE，DHAC，DHGAEG，AD9，AG2DG6故答案为：6【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，准确作出辅助线是解题的关键13（5分）已知两个正方形、在同一坐标系中如图摆放，它们分别有一个顶点A、B在反比例函数y（x0）的图象上，其中正方形的面积是4，则正方形的边长是 1+【分析】根据反比例函数系数k的几何意义求得反比例函数的解析式，以及A的坐标，设正方形的边长为m，则B（m+2，m），代入解析式即可得到关于m的方程，解方程即可【解答】解：顶点A、B在反比例函数y（x0）的图象上，其中正方形的面积是4，k4，y（x0），正方形的面积是4，正方形的边长为2，A（2，2），设正方形的边长为m，B（m+2，m），（m+2）m4，解得m11+，m21（舍去），正方形的边长是1+，故答案为：1+【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上顶点坐标特征，表示出B的坐标是解题的关键14（5分）已知，如图是在同一坐标系中二次函数y1ax2+bx+c与一次函数y2mx+n的图象，它们相交于点B（0，1），C（3，4），抛物线的顶点D（1，0），直线BC交x轴于点A（1）当y1y2时，x的取值范围是 x0或x3；（2）当y1y20时，x的取值范围是 x1且x1【分析】（1）根据两函数的交点B、C的横坐标求出x的范围即可；（2）先用待定系数法求出一次函数的解析式，再根据函数的解析式求出与x轴的交点A的坐标，再根据y1y20得出x的取值范围即可【解答】解：（1）在同一坐标系中二次函数y1ax2+bx+c与一次函数y2mx+n的图象，它们相交于点B（0，1），C（3，4），当y1y2时，x的取值范围是x0或x3，故答案为：x0或x3；（2）一次函数y2mx+n的图象过点B（0，1），C（3，4），解得：m1，n1，即y2x+1，当y0时，x+10，解得：x1，即点A的坐标是（1，0），y1y20，y1，y2同号，在同一坐标系中二次函数y1ax2+bx+c与一次函数y2mx+n的图象，它们相交于点B（0，1），C（3，4），抛物线的顶点D（1，0），直线BC交x轴于点A（1，0），当y1y20时，x的取值范围是x1且x1，故答案为：x1且x1【点评】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，二次函数与一次函数的图象，用待定系数法求一次函数的解析式，二次函数与x轴的交点，二次函数与不等式（组）等知识点，能根据图象得出正确的信息是解此题的关键三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15（8分）用配方法求二次函数y2x2+4x1的最大值【分析】直接利用配方法化成顶点式，即可求出函数的最大值【解答】解：y2x2+4x12（x22x）12（x1）2+1，则二次函数的最大值为1【点评】此题主要考查了配方法求二次函数的顶点坐标，正确进行配方是解题关键16（8分）已知，并且3x2y+z8，求2x3y+4z的值【分析】根据题意，设x2k，y3k，z4k又因为3x2y+z8，则可得k的值，故2x3y+4z可求【解答】解：设 k，则x2k，y3k，z4k，3x2y+z8，6k6k+4k8，k2，2x3y+4z4k9k+16k11k22【点评】本题考查了比例的性质和代数式求值已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17（8分）已知一条抛物线分别经过三个点（3，0），（1，0），（0，3），求它的函数关系式【分析】由于已知抛物线与x轴的交点坐标，则设交点式ya（x+3）（x1），然后把（0，3）代入求出a的值即可【解答】解：设抛物线解析式为ya（x+3）（x1），把（0，3）代入得3a3，解得a1，所以抛物线解析式为y（x+3）（x1），即抛物线的解析式为yx22x+3【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解18（8分）同学们，我们已经学完了初中学段的所有函数知识了现在回顾一下，我们学习函数的基本过程，都是由现实生活中的一些问题来引入各类函数的一般形式，然后画出各类函数的图象，再利用图象总结出它们的性质，最后利用其性质解决各类相关的问题在实际应用中，能否画好函数的简图（亦称为草图）是检验我们函数知识掌握程度的“试金石”比如，一次函数ykx+b中，当k0，b0时，它的简图可以画成图1的形式请根据所学知识在图2中画出二次函数yax²+bx+c中，当a0，b0，c0时的简图（不要求说明理由）【分析】根据题意画出二次函数yax²+bx+c的图象即可【解答】解：当a0，b0，c0时，二次函数yax²+bx+c的图象如图所示【点评】本题考查了二次函数的应用，二次函数的图象，正确的画出函数的图象是解题的关键五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19（10分）常青钢窗厂要利用12米长的钢材制成如图所示的窗子，求长与宽分别为多少时，此窗子的面积最大？最大面积是多少？【分析】设窗子的宽AD为x米，窗子的长AB为米，窗子的面积为y平方米，根据题意得到函数解析式，然后根据二次函数的性质即可得到结论【解答】解：设窗子的宽AD为x米，窗子的长AB为米，窗子的面积为y平方米，根据题意得，yx，即y（x2）2+6，答：窗子的长AB为3米，窗子的宽为2米时，窗子的面积最大，最大面积是6平方米【点评】本题考查了二次函数的应用，长方形的性质，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键20（10分）在一个长20米，宽12米的矩形场地内的四周都铺上一条相同宽度的地砖道路，外面的矩形与原来的矩形相似吗？请你通过计算来说明【分析】设四周的相同宽度为x米利用相似形的性质构建方程，解决问题即可【解答】解：设四周的相同宽度为x米当两个矩形相似时，解得x0（不符合题意，舍弃），满足条件的x的值不存在，外面的矩形与原来的矩形不相似【点评】本题考查相似多边形的判定和性质矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型六、（本题满分12分）21（12分）秦杨超市销售某种农产品，每件成本为10元，试销阶段发现，每件农产品的日销售量y（件）与售价x（元）之间符合一次函数的关系，并且当x20时，y20；当x30时，y10（1）求出该产品日销售量y（件）与售价x（元）之间的函数关系式；（2）该产品的售价为多少时，每日的销售利润最大？最大利润是多少？（3）小明说：“该产品每日销售利润最大时，其销售总额也最大”你认为小明的说法对吗？并说明理由【分析】（1）直接利用待定系数法得出y与x之间的关系式即可；（2）利用每件的利润×销量总利润，再结合配方法得出函数最值【解答】解：（1）设y（件）与售价x（元）之间的函数关系式为ykx+b，根据题意可得：，解得：，故日销售量y（件）与每件产品的销售价x（元）之间的函数表达式为：yx+40；（2）设总利润为w，根据题意可得：w（x10）（x+40）x2+50x400（x25）2+225，a10，销售价定为25元时，每日的销售利润最大，最大利润是225元；（3）小明的说法不对，对于w（x10）（x+40）x2+50x400（x25）2+225，当x25时，y有最大值为225，即当售价为25元时，每日的销售利润达到最大为225元；另一方面，不妨令月销售额为M，得Mx2+40x，当x20时，M有最大值为400，即当售价为20元时，月销售额达到最大为400元故小明的说法不对【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式，正确得出w与x之间的关系式是解题关键七、（本题满分12分）22（12分）【问题呈现】现在有一段40cm长的铁丝，要把它围成一个长方形怎样围才能使得它的面积最大？【分组研究】同学们经过审题，分析解题思路，并且进行演算，最后小军和小英先后发表了自己的观点如图所示【请您仲裁】请你利用所学的函数知识来裁决，小军和小英两人的说法谁正确？【分析】围成的长方形的长为xcm，宽为（20x）cm，面积为ycm2，根据题意得到yx（20x）x2+20x，然后根据二次函数的性质即可得到结论【解答】解：设围成的长方形的长为xcm，宽为（20x）cm，面积为ycm2，根据题意得，yx（20x）x2+20x，则y（x10）2+100，当x10时，长方形的面积有最大值，最大值为100cm2，围成一个长方形的长为10cm，宽为10cm，把它围成一个正方形面积最大，故小军说的正确【点评】本题考查了二次函数的应用，长方形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键八、（本题满分14分）23（14分）已知二次函数yx²+2x+k（1）如果此二次函数的图象与x轴有两个交点，求k的取值范围；（2）如图，此二次函数的图象过点A（3，0），且与y轴交于点B，直线AB与此二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标；（3）在（2）中，点C为直线AB上方的抛物线上的一个动点，作CDAB于点D，试求CD最长时，点C的坐标，并求出此时CD的长度【分析】（1）由抛物线与x轴有两个交点可知0，从而得到关于k的不等式，然后求得不等式的解集即可；（2）将点A的坐标代入抛物线的解析式可求得k的值，从而得到抛物线的解析式，然后将x0代入抛物线的解析式可求得点B的坐标，然后依据待定系数法可求得直线AB的解析式，然后再求得抛物线的对称轴为直线x1，最后将x1代入直线AB的解析式即可求得点P的纵坐标，从而得到点P的坐标；（3）连接CB、CA、OC，设动点C的坐标为（a，a2+2a+3），由SABCSOAC+SOBCSOAB列出ABC的面积与a的函数关系式，再依据配方法可求得ABC的最大值，最后依据三角形的面积公式可求得DC的长，从而得到CD的最大值以及此时点C的坐标【解答】解：（1）二次函数yx2+2x+k的图象与x轴有两个交点，22+4k0解得：k1；（2）二次函数的图象过点A（3，0），09+6+k解得：k3，二次函数的解析式为：yx2+2x+3抛物线的对称轴为直线x1令x0，得y3，B（0，3）设直线AB的解析式为：ymx+b将点A（3，0），（0，3）代入，得：，解得：m1，b3，直线AB的解析式为：yx+3，把x1代入yx+3得y2，P（1，2）；（3）如图，连接CB、CA、OC，设动点C的坐标为（a，a2+2a+3）SABCSOAC+SOBCSOAB×3a+×3×（a2+2a+3）×3×3a2+a（a）2+，当a时，ABC的面积最大，最大值为，a时，a2+2a+3，此时C的坐标为（，）OBOA3，AB3SABCABDC，×3DC解得：DCCD的最大值为，此时C的坐标为（，）【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题应用了一元二次方程根的判别式、待定系数法求一次函数的解析式、三角形的面积公式、配方法求二次函数的最值，列出ABC的面积与点C的横坐标a之间的函数关系式是解题的关键