2021年四川省乐山市中考数学试卷(解析版1).docx

2021年四川省乐山市中考数学试卷一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.1（3分）如果规定收入为正，那么支出为负，收入2元记作+2，支出5元记作（）A5元B5元C3元D7元2（3分）在一次心理健康教育活动中，张老师随机抽取了40名学生进行了心理健康测试，并将测试结果按“健康、亚健康、不健康”绘制成下列表格，其中测试结果为“健康”的频率是（）类型健康亚健康不健康数据（人）3271A32B7CD3（3分）某种商品m千克的售价为n元，那么这种商品8千克的售价为（）A（元）B（元）C（元）D（元）4（3分）如图，已知直线l1、l2、l3两两相交，且l1l3，若50°，则的度数为（）A120°B130°C140°D150°5（3分）如图，已知直线l1：y2x+4与坐标轴分别交于A、B两点，那么过原点O且将AOB的面积平分的直线l2的解析式为（）AyxByxCyxDy2x6（3分）如图是由4个相同的小正方体堆成的物体，将它在水平面内顺时针旋转90°后，其主视图是（）ABCD7（3分）七巧板起源于我国先秦时期，古算书周髀算经中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板，如图1所示.19世纪传到国外，被称为“唐图”（意为“来自中国的拼图”），图2是由边长为4的正方形分割制作的七巧板拼摆而成的“叶问蹬”图，则图中抬起的“腿”（即阴影部分）的面积为（）A3BC2D8（3分）如图，已知点P是菱形ABCD的对角线AC延长线上一点，过点P分别作AD、DC延长线的垂线，垂足分别为点E、F若ABC120°，AB2，则PEPF的值为（）ABC2D9（3分）如图，已知OA6，OB8，BC2，P与OB、AB均相切，点P是线段AC与抛物线yax2的交点，则a的值为（）A4BCD510（3分）如图，直线l1与反比例函数y（x0）的图象相交于A、B两点，线段AB的中点为点C，过点C作x轴的垂线，垂足为点D直线l2过原点O和点C若直线l2上存在点P（m，n），满足APBADB，则m+n的值为（）A3B3或C3+或3D3二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分.11（3分）（2021）0 12（3分）因式分解：4a29 13（3分）如图是根据甲、乙两人5次射击的成绩（环数）制作的折线统计图你认为谁的成绩较为稳定？ （填“甲”或“乙”）14（3分）如图，为了测量“四川大渡河峡谷”石碑的高度，佳佳在点C处测得石碑顶A点的仰角为30°，她朝石碑前行5米到达点D处，又测得石碑顶A点的仰角为60°，那么石碑的高度AB的长 米（结果保留根号）15（3分）在RtABC中，C90°，有一个锐角为60°，AB4若点P在直线AB上（不与点A，B重合），且PCB30°，则CP的长为 16（3分）如图，已知点A（4，3），点B为直线y2上的一动点，点C（0，n），2n3，ACBC于点C，连接AB若直线AB与x正半轴所夹的锐角为，那么当sin的值最大时，n的值为 三、本大题共3个小题，每小题9分，共27分.17（9分）当x取何正整数值时，代数式与的值的差大于118（9分）如图已知ABDC，AD，AC与DB相交于点O，求证：OBCOCB19（9分）已知，求A、B的值四、本大题共3个小题，每小题10分，共30分.20（10分）已知关于x的一元二次方程x2+xm0（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；（2）二次函数yx2+xm的部分图象如图所示，求一元二次方程x2+xm0的解21（10分）某中学全校师生听取了“禁毒”宣传报告后，对禁毒人员肃然起敬学校德育处随后决定在全校1000名学生中开展“我为禁毒献爱心”的捐款活动张老师在周五随机调查了部分学生随身携带零花钱的情况，并将收集的数据进行整理，绘制了如图所示的条形统计图（1）求这组数据的平均数和众数；（2）经调查，当学生身上的零花钱多于15元时，都愿捐出零花钱的20%，其余学生不参加捐款请你估计周五这一天该校可能收到学生自愿捐款多少元？（3）捐款最多的两人将和另一个学校选出的两人组成一个“禁毒”知识宣讲小组，若从4人中随机指定两人担任正、副组长，求这两人来自不同学校的概率22（10分）如图，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点，交反比例函数y（k0）的图象于P、Q两点若AB2BP，且AOB的面积为4（1）求k的值；（2）当点P的横坐标为1时，求POQ的面积五、本大题共2个小题，每小题10分，共20分.23（10分）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当0x10和10x20时，图象是线段；当20x45时，图象是反比例函数的一部分（1）求点A对应的指标值；（2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由24（10分）如图，已知点C是以AB为直径的半圆上一点，D是AB延长线上一点，过点D作BD的垂线交AC的延长线于点E，连结CD，且CDED（1）求证：CD是O的切线；（2）若tanDCE2，BD1，求O的半径六、本大题共2个小题，第25题12分，第26题13分，共25分.25（12分）在等腰ABC中，ABAC，点D是BC边上一点（不与点B、C重合），连结AD（1）如图1，若C60°，点D关于直线AB的对称点为点E，连结AE，DE，则BDE ；（2）若C60°，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，连结BE在图2中补全图形；探究CD与BE的数量关系，并证明；（3）如图3，若k，且ADEC试探究BE、BD、AC之间满足的数量关系，并证明26（13分）已知二次函数yax2+bx+c的图象开口向上，且经过点A（0，），B（2，）（1）求b的值（用含a的代数式表示）；（2）若二次函数yax2+bx+c在1x3时，y的最大值为1，求a的值；（3）将线段AB向右平移2个单位得到线段AB若线段AB与抛物线yax2+bx+c+4a1仅有一个交点，求a的取值范围2021年四川省乐山市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.1（3分）如果规定收入为正，那么支出为负，收入2元记作+2，支出5元记作（）A5元B5元C3元D7元【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答【解答】解：如果规定收入为正，那么支出为负，收入2元记作+2，支出5元记作5元故选：B【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示2（3分）在一次心理健康教育活动中，张老师随机抽取了40名学生进行了心理健康测试，并将测试结果按“健康、亚健康、不健康”绘制成下列表格，其中测试结果为“健康”的频率是（）类型健康亚健康不健康数据（人）3271A32B7CD【分析】根据频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值（或者百分比），即频率频数÷总数，进而得出答案【解答】解：抽取了40名学生进行了心理健康测试，测试结果为“健康”的有32人，测试结果为“健康”的频率是：故选：D【点评】此题主要考查了频数与频率，正确掌握频率的求法是解题关键3（3分）某种商品m千克的售价为n元，那么这种商品8千克的售价为（）A（元）B（元）C（元）D（元）【分析】先求出1千克商品的价格，再乘以8，即可解答【解答】解：根据题意，得：×8（元），故选：A【点评】本题考查了列代数式，解决本题的关键是先求出1千克商品的价格4（3分）如图，已知直线l1、l2、l3两两相交，且l1l3，若50°，则的度数为（）A120°B130°C140°D150°【分析】先求出的对顶角等于50°，再根据三角形的外角性质求出的度数【解答】解：如图，根据对顶角相等得：150°，l1l3，290°是三角形的外角，1+250°+90°140°，故选：C【点评】本题考查了对顶角和三角形外角的性质，比较简单，属于基础题5（3分）如图，已知直线l1：y2x+4与坐标轴分别交于A、B两点，那么过原点O且将AOB的面积平分的直线l2的解析式为（）AyxByxCyxDy2x【分析】根据坐标轴上点的坐标特征求出A（2，0），B（0，4），则AB的中点为（1，2），所以l2经过AB的中点，直线l2把AOB平分，然后利用待定系数法求l2的解析式；【解答】解：如图，当y0，2x+40，解得x2，则A（2，0）；当x0，y2x+44，则B（0，4），AB的中点坐标为（1，2），直线l2把AOB面积平分以l2经过AB的中点；直线l2过AB的中点，设直线l2的解析式为ykx，把（1，2）代入得2k，解得k2，l2的解析式为y2x，故选：D【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，明确直线l2过AB的中点是解题的关键6（3分）如图是由4个相同的小正方体堆成的物体，将它在水平面内顺时针旋转90°后，其主视图是（）ABCD【分析】顺时针旋转90°后，找到从正面看到的图形即可【解答】解：顺时针旋转90°后，从正面看第一列有一层，第二列有两层，故选：C【点评】本题考查了三视图以及旋转的知识，考查了学生对立体图形的空间想象能力7（3分）七巧板起源于我国先秦时期，古算书周髀算经中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板，如图1所示.19世纪传到国外，被称为“唐图”（意为“来自中国的拼图”），图2是由边长为4的正方形分割制作的七巧板拼摆而成的“叶问蹬”图，则图中抬起的“腿”（即阴影部分）的面积为（）A3BC2D【分析】分别求出阴影部分平行四边形，三角形的面积可得结论【解答】解：由题意，阴影部分的平行四边形的面积2×12，阴影部分的三角形的面积×2×11，阴影部分的面积2+13，故选：A【点评】本题考查七巧板，正方形的性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题8（3分）如图，已知点P是菱形ABCD的对角线AC延长线上一点，过点P分别作AD、DC延长线的垂线，垂足分别为点E、F若ABC120°，AB2，则PEPF的值为（）ABC2D【分析】设AC交BD于O，根据已知可得AC2，而PEPFAPCP（APCP）AC，即可得到答案【解答】解：设AC交BD于O，如图：菱形ABCD，ABC120°，AB2，BADBCD60°，DACDCA30°，ADAB2，BDAC，RtAOD中，ODAD1，OA，AC2OA2，RtAPE中，DAC30°，PEAP，RtCPF中，PCFDCA30°，PFCP，PEPFAPCP（APCP）AC，PEPF，故选：B【点评】本题考查菱形的性质及应用，解题的关键是求出AC，把PEPF转化为AC9（3分）如图，已知OA6，OB8，BC2，P与OB、AB均相切，点P是线段AC与抛物线yax2的交点，则a的值为（）A4BCD5【分析】设点P的坐标为（x，x+6），由点P、A的坐标得，PA（6x），则AN，由AB10BN+AN，得到10+2+x，进而求解【解答】解：设P与OB、AB分别相切于点M、N，连接PM、PN，设圆的半径为x，则PNPMx，由题意知，OCAO6，则直线BA与y轴的夹角为45°，则CMMPx，由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为yx+6，则点P的坐标为（x，x+6），由点P、A的坐标得，PA（6x），则AN，P与OB、AB分别相切于点M、N，故BNBMBC+CM2+x，在RtABO中，OA6，OB8，则AB10BN+AN，即10+2+x，解得x1，故点P的坐标为（1，5），将点P的坐标代入yax2得5a，故选：D【点评】本题为几何和函数综合题，涉及一次函数的性质、圆的切线的性质、勾股定理的运用等，综合性强，难度适中10（3分）如图，直线l1与反比例函数y（x0）的图象相交于A、B两点，线段AB的中点为点C，过点C作x轴的垂线，垂足为点D直线l2过原点O和点C若直线l2上存在点P（m，n），满足APBADB，则m+n的值为（）A3B3或C3+或3D3【分析】如图，作ABD的外接圆J,交直线l2于P,连接AP,PB,则APBADB满足条件。想办法求出点P的坐标，可得结论。【解答】解：如图，作ABD的外接圆J,交直线l2于P,连接AP,PB,则APBADB满足条件。由题意A(1,3),B(3,1),ACBC,C(2,2),CDx轴，D(2,0),AD,AB2,BD,AD2AB2+BD2,ABD是直角三角形，J是AD的中点，J(,),直线OC的解析式为yx,P(m,n),PJJA,OJ,OP,m,mn,m+n3,此时P(,),根据对称性可知，点P关于点C的对称点P(+,+),m+n3+,综上所述，m+n的值为3+或3，故选：C【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点，三角形的外接圆，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是学会利用辅助圆解决问题，属于中考选择题中的压轴题二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分.11（3分）（2021）01【分析】直接利用零指数幂的性质计算得出答案【解答】解：（2021）01故答案为：1【点评】此题主要考查了零指数幂，正确掌握零指数幂的性质是解题关键12（3分）因式分解：4a29（2a+3）（2a3）【分析】直接利用平方差公式分解因式得出即可【解答】解：4a29（2a+3）（2a3）故答案为：（2a+3）（2a3）【点评】此题主要考查了平方差公式分解因式，正确应用平方差公式是解题关键13（3分）如图是根据甲、乙两人5次射击的成绩（环数）制作的折线统计图你认为谁的成绩较为稳定？甲（填“甲”或“乙”）【分析】方差小的较稳定，分别求出甲、乙方差，即可得到答案【解答】解：甲的平均成绩为7，乙的平均成绩为7，甲的方差为s甲21.2，乙的方差为s乙22，s甲2s乙2，甲的成绩较稳定故答案为：甲【点评】本题考查方差的应用，解题的关键是求出甲、乙的方差14（3分）如图，为了测量“四川大渡河峡谷”石碑的高度，佳佳在点C处测得石碑顶A点的仰角为30°，她朝石碑前行5米到达点D处，又测得石碑顶A点的仰角为60°，那么石碑的高度AB的长米（结果保留根号）【分析】设石碑的高度AB的长为x米，RtABC和RtABD中，分别用含x的代数式表示BC和BD，用CD5列方程，即可解得x，得到答案【解答】解：设石碑的高度AB的长为x米，RtABC中，BCx，RtABD中，BD，CD5，BCBD5，即x5，解得x，故答案为：【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是用含x的代数式表示BC和BD15（3分）在RtABC中，C90°，有一个锐角为60°，AB4若点P在直线AB上（不与点A，B重合），且PCB30°，则CP的长为2或【分析】分ABC60、ABC30°两种情况，利用数形结合的方法，分别求解即可【解答】解：（1）当ABC60°时，则BCAB2，当点P在线段AB上时，PCB30°，故CPAB，则PCBCcos30°2×；当点P（P）在AB的延长线上时，PCB30°，ABC60°，则PBC为的等腰三角形则BPBC2，（2）当ABC30°时，同理可得，PC2；故答案为2或【点评】本题是解直角三角形综合题，主要考查了含30度角的直角三角形、解直角三角形等，分类求解是本题解题的关键16（3分）如图，已知点A（4，3），点B为直线y2上的一动点，点C（0，n），2n3，ACBC于点C，连接AB若直线AB与x正半轴所夹的锐角为，那么当sin的值最大时，n的值为【分析】当sin的值最大时，则tan值最大，即当BG最大时，sin的值最大，设BGy，由tanCAMtanBCG，得到y（n3）（n+2），进而求解【解答】解：过点A作AMy轴于点M，作ANBN交于点N，直线y2x轴，故ABN，当sin的值最大时，则tan值最大，故BN最小，即BG最大时，tan最大，即当BG最大时，sin的值最大，设BGy，则AM4，GCn+2，CM4n，ACM+MAC90°，ACM+BCG90°，CAMBCG，tanCAMtanBCG，即，y（n3）（n+2），0，故当n（32）时，y取得最大值，故n，故答案为：【点评】本题考查了一次函数和二次函数的性质，解直角三角形等，解题的关键是确定sin的值最大时，即BG最大，题目综合性强，难度适中三、本大题共3个小题，每小题9分，共27分.17（9分）当x取何正整数值时，代数式与的值的差大于1【分析】根据题意列出关于x的一元一次不等式1，先去分母，然后通过移项、合并同类项、化系数为1进行解答即可【解答】解：依题意得：1，去分母，得：3（x+3）2（2x1）6，去括号，得：3x+94x+26，移项，得：3x4x629，合并同类项，得：x5，系数化为1，得：x5【点评】本题考查了解一元一次不等式根据不等式的性质解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；化系数为118（9分）如图已知ABDC，AD，AC与DB相交于点O，求证：OBCOCB【分析】先证明出AOBCOD，进而得出OBOC，根据等腰三角形的性质得出结论【解答】证明：在AOB与COD中，AD，AOBDOC，ABDC，AOBCOD（AAS），OBOC，OBCOCB【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，理解判定三角形全等的条件是得出结论的关键19（9分）已知，求A、B的值【分析】根据异分母分式的加减法法则把等式的左边进行计算，根据题意列出方程组，解方程组即可【解答】解：，解得【点评】本题考查的是分式的加减法，掌握异分母分式的加减法法则是解题的关键四、本大题共3个小题，每小题10分，共30分.20（10分）已知关于x的一元二次方程x2+xm0（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；（2）二次函数yx2+xm的部分图象如图所示，求一元二次方程x2+xm0的解【分析】（1）由0即可列不等式得到答案；（2）根据抛物线的对称性可得抛物线与x轴的另一个交点，即可得到答案【解答】解：（1）一元二次方程x2+xm0有两个不相等的实数根，0，即1+4m0，m；（2）二次函数yx2+xm图象的对称轴为直线x，抛物线与x轴两个交点关于直线x对称，由图可知抛物线与x轴一个交点为（1，0），另一个交点为（2，0），一元二次方程x2+xm0的解为x11，x22【点评】本题考查一元二次方程及二次函数与二次方程的关系，解题的关键是掌握抛物线的对称性21（10分）某中学全校师生听取了“禁毒”宣传报告后，对禁毒人员肃然起敬学校德育处随后决定在全校1000名学生中开展“我为禁毒献爱心”的捐款活动张老师在周五随机调查了部分学生随身携带零花钱的情况，并将收集的数据进行整理，绘制了如图所示的条形统计图（1）求这组数据的平均数和众数；（2）经调查，当学生身上的零花钱多于15元时，都愿捐出零花钱的20%，其余学生不参加捐款请你估计周五这一天该校可能收到学生自愿捐款多少元？（3）捐款最多的两人将和另一个学校选出的两人组成一个“禁毒”知识宣讲小组，若从4人中随机指定两人担任正、副组长，求这两人来自不同学校的概率【分析】（1）由加权平均数和众数的定义求解即可；（2）把零花钱多于15元的列式计算即可；（3）画树状图，共有12种等可能的结果，两人来自不同学校的结果有8种，再由概率公式求解即可【解答】解：（1）这组数据的平均数20.5（元），其中20元出现的次数最多，这组数据的众数为20元；（2）调查的20人中，身上的零花钱多于15元的有12人，估计周五这一天该校可能收到学生自愿捐款为：1000××20×20%+1000××25×20%+1000××30×20%+1000××40×20%3150（元）；（3）把捐款最多的两人记为A、B，另一个学校选出的两人记为C、D，画树状图如图：共有12种等可能的结果，两人来自不同学校的结果有8种，两人来自不同学校的概率为【点评】本题考查了利用列表或树状图求概率、条形统计图、加权平均数以及众数等知识；用的的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比22（10分）如图，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点，交反比例函数y（k0）的图象于P、Q两点若AB2BP，且AOB的面积为4（1）求k的值；（2）当点P的横坐标为1时，求POQ的面积【分析】（1）由题意求得POB的面积为2，作PMy轴于M,证得PBMABO,即可求得PBM的面积为1，从而求得SPOM3,根据反比例函数系数k的几何意义即可求得k的值；（2）由PBMABO,求得OA2,得到A为（2,0）,把x1代入反比例函数解析式求得P的坐标，根据待定系数法求得直线AB解析式，然后解析式联立，解方程组求得Q的坐标，最后根据SPOQSPOA+SQOA即可求得。【解答】解：（1）AB2BP，且AOB的面积为4，POB的面积为2，作PMy轴于M,PMOA,PBMABO,()2,即,PBM的面积为1，SPOM1+23,SPOM|k|,|k|6，k0,k6;(2)点P的横坐标为1,PM1,PBMABO,即,OA2,A(2,0),把x1代入y得，y6,P(1,6),设直线AB为ymx+n,把P、A的坐标代入得,解得,直线AB为y2x+4,解得或,Q(3,2),SPOQSPOA+SQOA×2×6+×28【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数系数k的几何意义、三角形的面积公式以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是：（1）求出POM的面积；（2）求得Q点的坐标五、本大题共2个小题，每小题10分，共20分.23（10分）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当0x10和10x20时，图象是线段；当20x45时，图象是反比例函数的一部分（1）求点A对应的指标值；（2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由【分析】（1）设反比例函数的解析式为y，由C（20，45）求出k，可得D坐标，从而求出A的指标值；（2）求出AB解析式，得到y36时，x，由反比例函数y可得y36时，x25，根据2517，即可得到答案【解答】解：（1）设当20x45时，反比例函数的解析式为y，将C（20，45）代入得：45，解得k900，反比例函数的解析式为y，当x45时，y20，D（45，20），A（0，20），即A对应的指标值为20；（2）设当0x10时，AB的解析式为ymx+n，将A（0，20）、B（10，45）代入得：，解得，AB的解析式为yx+20，当y36时，x+2036，解得x，由（1）得反比例函数的解析式为y，当y36时，36，解得x25，x25时，注意力指标都不低于36，而2517，张老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36【点评】本题考查函数图象的应用，涉及一次函数、反比例函数及不等式等知识，解题的关键是求出0x10和20x45时的解析式24（10分）如图，已知点C是以AB为直径的半圆上一点，D是AB延长线上一点，过点D作BD的垂线交AC的延长线于点E，连结CD，且CDED（1）求证：CD是O的切线；（2）若tanDCE2，BD1，求O的半径【分析】（1）连接OC，由CDDE，OCOA，可得DCEE，OCAOAC，而EDAD，可得OAC+E90°，故可证DCO90°，CD是O的切线；（2）连接BC，设O的半径为x，由tanDCE2，可得2，从而可用x的代数式表示DE和CD，再根据CD是O的切线用切割线定理列方程，即可解得O的半径【解答】解：（1）连接OC，如图：CDDE，OCOA，DCEE，OCAOAC，EDAD，ADE90°，OAC+E90°，OCA+DCE90°，DCO90°，OCCD，CD是O的切线；（2）连接BC，如图：CDDE，DCEE，tanDCE2，tanE2，EDAD，RtEDA中，2，设O的半径为x，则OAOBx，BD1，AD2x+1，2，EDx+CD，CD是O的切线，CD2BDAD，（x+）21×（2x+1），解得x或x（舍去），O的半径为【点评】本题考查圆综合知识，涉及切线判定、锐角三角函数、切割线定理的应用等，解题的关键是用切割线定理列方程六、本大题共2个小题，第25题12分，第26题13分，共25分.25（12分）在等腰ABC中，ABAC，点D是BC边上一点（不与点B、C重合），连结AD（1）如图1，若C60°，点D关于直线AB的对称点为点E，连结AE，DE，则BDE30°；（2）若C60°，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，连结BE在图2中补全图形；探究CD与BE的数量关系，并证明；（3）如图3，若k，且ADEC试探究BE、BD、AC之间满足的数量关系，并证明【分析】（1）由ABAC，C60°，可得B60°，点D关于直线AB的对称点为点E，可得DEAB，即可得到答案；（2）根据题意补全图形即可；由已知得ABAC，ADAE，BACEAD60°，从而可得EABDAC，EABDAC（SAS），即可得CDBE；（3）连接AE，根据已知可证ABCADE，EABDAC，AEAD，从而可得EABDAC，CDBE，又k，即可得到ACk（BD+BE）【解答】解：（1）ABAC，C60°，ABC是等边三角形，B60°，点D关于直线AB的对称点为点E，DEAB，BDE180°60°90°30°；故答案为：30°；（2）补全图形如下：CDBE，证明如下：ABAC，C60°，ABC是等边三角形，ABAC，BAC60°，线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，ADAE，EAD60°，BACEAD60°，BACBADEADBAD，即EABDAC，在EAB和DAC中，EABDAC（SAS），CDBE；（3）ACk（BD+BE），证明如下：连接AE，如图：ABAC，CABC，ADEC，ABCADE，ABCADE，DAEBAC，DAEBADBACBAD，即EABDAC，ABAC，AEAD，在EAB和DAC中，EABDAC（SAS），CDBE，BCBD+CDBD+BE，而k，k，即ACk（BD+BE）【点评】本题考查等边三角形性质及应用，解题的关键是掌握有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形26（13分）已知二次函数yax2+bx+c的图象开口向上，且经过点A（0，），B（2，）（1）求b的值（用含a的代数式表示）；（2）若二次函数yax2+bx+c在1x3时，y的最大值为1，求a的值；（3）将线段AB向右平移2个单位得到线段AB若线段AB与抛物线yax2+bx+c+4a1仅有一个交点，求a的取值范围【分析】（1）把A,B代入抛物线的解析式，构建方程组，可得结论（2）由题意，x1或x3时，y取得最大值1,由此构建方程求解即可（3）把问题转化为不等式组，可得结论【解答】解：（1）二次函数yax2+bx+c的图象开口向上，经过点A（0，），B（2，），,b2a1(a0)(2)二次函数yax2(2a+1)x+,a0,在1x3时，y的最大值为1,x1时，y1x3时，y1,1a(2a+1)+或19a3(2a+1)+,解得a(舍弃）或aa(3)线段AB向右平移2个单位得到线段AB,A(2,),B(4,)线段AB与抛物线yax2(2a+1)x+4a仅有一个交点,解得，a或不等式组无解，a【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，二次函数的最值问题等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，把问题转化为方程或不等式组解决，属于中考压轴题