甘肃省兰州第一中学2023-2024学年高三上学期11月期中考试数学试题含答案.pdf

兰州一中高三年级期中考试数学试卷共 4 页第 1 页兰州一中 2023-2024-1 学期期中考试试题高三数学兰州一中 2023-2024-1 学期期中考试试题高三数学说明：本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分 150 分，考试时间 120 分钟.请将答案填在答题卡上，交卷时只交答题卡。一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数 z1i1ai为纯虚数，则实数 a 的值为()A.1B.0C.12D.12.设 D 为ABC 所在平面内一点，AD31AB43AC，若BCDC(R)，则()A.2B.3C.2D.33.已知等差数列 na的前n项和为nS，且082aa，3311S，则公差d的值为()A.1B.2C.3D.44.函数xxxflg1)(2的图象大致为()5.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足2112lg25EEmm，其中星等为km的星的亮度为)2,1(kEk.已知太阳的星等是7.26，天狼星的星等是45.1，则太阳与天狼星的亮度的比值为()#QQABDYIUgggoAAAAAAgCEwEgCgIQkBECAIoOQBAIMAIBQRNABAA=#兰州一中高三年级期中考试数学试卷共 4 页第 2 页A.1.1010B.10.1C.lg 10.1D.1.10106.在ABC中，内角CBA,的对边分别为cba,.若向量)cos,(Aam，)2,(coscbCn，且0nm，则角A的大小为()A.6B.4C.3D.27.若abba33log1)2(log，则ba2的最小值为（）A.6B.83C.3D.1638.已知函数)1ln()(2xxxf，设)4(log3fa，)3(2.0 fb，)3(1.1 fc，则()A.cbaB.cabC.bacD.abc二、二、选择题：本题共选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9.已知函数)62sin()(xxf，则下列结论正确的是()A.3x是函数)(xf图象的一条对称轴；B.)0,127(是函数)(xf图象的一个对称中心；C.将函数)(xf图象向右平移6个单位所得图象的解析式为xxf2cos)(；D.函数)(xf在区间3,6内单调递增.10.对于函数xxxfln)(，下列说法正确的是()A.f(x)在 xe 处取得极大值1e；B.f(x)有两个不同的零点；C.f(4)f()f(3)；D.44.#QQABDYIUgggoAAAAAAgCEwEgCgIQkBECAIoOQBAIMAIBQRNABAA=#兰州一中高三年级期中考试数学试卷共 4 页第 3 页11.已知等差数列 na是递增数列，其公差为d，前n项和为nS，且满足753aa，则下列结论正确的是（）A.0d B.10a C.当5n 时，nS最小D.当0nS时，n的最小值为 812.已知函数 f x及其导函数 g x的定义域均为R.且满足242fxfx，0f xfx，当2,4x时，0gx，11g，则（）A.f x的图象关于1x 对称B.g x为偶函数C.40g xg xD.不等式 1g x 的解集为1 81 8,Zxkxk k 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分13.已知 tan 3，则 cos3(2)2_.14.函数 f(x)Asin(x)(A0，0，|)的部分图象如图所示，则函数 f(x)的解析式为_.15.已知向量，)1,3(a，)1,(tb，45,ba则b在a方向上的投影向量的坐标为_.16.将函数)3cos(2cos2)(2xxxf图象上所有点的横坐标变为原来的21，再向左平移)0(个单位长度，得到函数)(xg的图象，若对任意的Rx，均有)12()(gxg成立，则的最小值为_.#QQABDYIUgggoAAAAAAgCEwEgCgIQkBECAIoOQBAIMAIBQRNABAA=#兰州一中高三年级期中考试数学试卷共 4 页第 4 页三、三、解答题：本题共解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（17 题题 10 分；分；18-22 题每题题每题 12 分分.)17.已知数列 na的前n项和221nnS，数列 nb满足)(NnSbnn.(1)求数列 na的通项公式；(2)求数列 nb的前n项和nT.18.为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层，体育馆要建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元.该建筑物每年的能源消耗费用 C(单位：万元)与隔热层厚度 x(单位：cm)满足关系：C(x)k3x5(100 x，k 为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8 万元，设 f(x)为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和.(1)求 k 的值及 f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小？并求最小值.19.已知ABC中内角CBA,的对边分别为cba,，向量)3,sin2(Bm，)12cos2,2(cos2BBn，B为锐角且nm/.(1)求角B的大小；(2)如果2b，求ABCS的最大值.20.在锐角三角形ABC中，内角CBA,所对的边分别为cba,，且bCC3sincos3,且1a.(1)求ABC的外接圆的半径；(2)求cb2的取值范围.21.设函数)(xf2ln xmx21.(1)讨论函数)(xf的单调性；(2)当)(xf有极值时，若存在 x0，使得)(0 xfm1 成立，求实数 m 的取值范围.22(本小题 12 分）已知函数()axf xx e的极值为1e(1)求a的值并求函数()f x在1x 处的切线方程；#QQABDYIUgggoAAAAAAgCEwEgCgIQkBECAIoOQBAIMAIBQRNABAA=#兰州一中高三年级期中考试数学试卷共 4 页第 5 页(2)已知函数()(0)mxlnxg xemm，存在(0,)x，使得()0g x 成立，求m的最大值#QQABDYIUgggoAAAAAAgCEwEgCgIQkBECAIoOQBAIMAIBQRNABAA=#一、选择题（请用 2B 铅笔填涂）二、填空题（请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔书写）13141516三、解答题（请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔书写）17请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效19请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效_18请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效123456789101112方框为缺考考生标记，由监考员用 2B 铅笔填途。正确填涂示例CABDCABDCABDCABDCABDCABDCABDCABDCABDCABDCABDCABD姓姓 名名 _班班 级级 _贴条形码区（正面朝上，切勿贴出虚线方框）兰州一中兰州一中 2022023-2024-13-2024-1 学期期中考试学期期中考试答题卡答题卡高三高三数学数学#QQABDYIUgggoAAAAAAgCEwEgCgIQkBECAIoOQBAIMAIBQRNABAA=#请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效21请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效20请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效2 22.2.请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效#QQABDYIUgggoAAAAAAgCEwEgCgIQkBECAIoOQBAIMAIBQRNABAA=#兰州一中高三年级期中考试数学试卷共 4 页第 1 页兰州一中兰州一中 2023-2024-12023-2024-1 学期期中考试解析学期期中考试解析高三数学高三数学说明：本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分 150 分，考试时间 120 分钟.请将答案填在答题卡上，交卷时只交答题卡。一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的合题目要求的.1.若复数 z1i1ai为纯虚数，则实数 a 的值为(D)A.1B.0C.12D.1解析设 zbi，bR 且 b0，则1i1aibi，得到 1iabbi，1ab，且 1b，解得 a1，故选 D.2.设 D 为ABC 所在平面内一点，AD13AB43AC，若BCDC(R)，则(D)A.2B.3C.2D.3解析：由AD13AB43AC，可得 3ADAB4AC，即 4AD4ACADAB，则 4CDBD，即BD4DC，可得BDDC3DC，故BC3DC，则3.3.已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 a2a80，S1133，则公差 d 的值为(C)A.1B.2C.3D.4解析a2a82a50，a50，又 S11（a1a11）11211a633，a63，从而公差 da6a53.4.函数 f(x)1x2lg|x|的图象大致为(B)#QQABDYIUgggoAAAAAAgCEwEgCgIQkBECAIoOQBAIMAIBQRNABAA=#兰州一中高三年级期中考试数学试卷共 4 页第 2 页解析：1x20，|x|0 且|x|1，得1x0 或 0 x1，所以 f(x)的定义域为(1，0)(0，1)，关于原点对称.又 f(x)f(x)，所以函数 f(x)是偶函数，图象关于 y 轴对称，排除 A；当 0 x1 时，lg|x|0，f(x)0 且 x0 时，f(x)0，排除 D，只有 B 项符合.5.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足 m2m152lgE1E2，其中星等为 mk的星的亮度为 Ek(k1，2).已知太阳的星等是26.7，天狼星的星等是1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为(A)A.1010.1B.10.1C.lg 10.1D.1010.1解析(1)依题意，m126.7，m21.45，代入所给公式得52lgE1E21.45(26.7)25.25.所以 lgE1E225.252510.1，即E1E21010.1.6.在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若向量 m(a，cos A)，n(cos C，2bc)，且 mn0，则角 A 的大小为(B)A.6B.4C.3D.2解析法一由 mn0，得 acos Ccos A(2bc)0.由正弦定理得 sin Acos Ccos A(2sin Bsin C)0，即 sin Acos Ccos Asin C 2sin Bcos A，所以 sin(AC)2sin Bcos A，所以 sin(B)2sin Bcos A.从而 sin B 2sin Bcos A.因为 0BbcB.bacC.cabD.cba解析易知 f(x)|ln(x21x)|ln1x21x|ln(x21x)|ln(x21x)|f(x)，f(x)在 R 上为偶函数，当 x0 时，f(x)|ln(x21x)|ln(x21x)|单调递增，又 31.13log34130.20，f(31.1)f(31.1)f(log34)f(30.2)，即 cab.二、二、选择题选择题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项符合题目要有多项符合题目要求全部选对的得求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9.已知函数 f(x)sin)62(x，则下列结论正确的是(ABCD)A.x3是函数 f(x)图象的一条对称轴；B.)0,127(是函数 f(x)图象的一个对称中心；C.将函数 f(x)图象向右平移6单位所得图象的解析式为 f(x)cos 2x；D.函数 f(x)在区间3,6内单调递增.解析f3 sin236 1，x3是一条对称轴，A 正确.又 f1712sin766 0，因此 B正确.对于 C，平移后 ysin2x6 6sin2x2 cos 2x，C 正确.对于 D，当6x3时，22x62，故 f(x)在6，3 内单调递增，D 正确.10.对于函数 f(x)ln xx，下列说法正确的是(AC)A.f(x)在 xe 处取得极大值1e；B.f(x)有两个不同的零点；#QQABDYIUgggoAAAAAAgCEwEgCgIQkBECAIoOQBAIMAIBQRNABAA=#兰州一中高三年级期中考试数学试卷共 4 页第 4 页C.f(4)f()f(3)；D.44.解析f(x)的定义域为(0，)，且 f(x)1ln xx2.令 f(x)0，得 xe.f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，)上单调递减，因此 f(x)在 xe 处取得极大值 f(e)1e，A 正确.令 f(x)0，解得 x1，故函数 f(x)有且仅有一个零点，B 错.由 f(x)在(e，)上单调递减，得 f(4)f()f(3)，则 C 正确.因为 f(4)f()，即ln 44ln，所以 ln 4ln 4，则 44，D 错误.综上知，正确的为 AC.11.已知等差数列 na是递增数列，其公差为d，前n项和为nS，且满足753aa，则下列结论正确的是（ABD）A.0d B.10a B.当5n 时，nS最小D.当0nS时，n的最小值为 8解析：因为等差数列 na是递增数列，所以0d.又因753aa可得5da，所以15430aadd，故 A,B 正确.又因450aad，则34SS，且为nS的最小值，故 C 错误；又1884558()4()4402aaSaaad，7470Sa，故 D 正确.12.已知函数 f x及其导函数 g x的定义域均为R.242fxfx，0f xfx，当2,4x时，0gx，11g，则（BCD）A.f x的图象关于1x 对称B.g x为偶函数C.40g xg xD.不等式 1g x 的解集为1 81 8,Zxkxk k 解析：由242fxfx可得 4f xfx，故可知 f x的图象关于2x 对称，故 A错误，由 0f xfx得 0fxfx，由 fxg x得 0g xgx，故 g x为偶函数，故 B 正确，由 4f xfx可得 4fxfx，所以 4g xgx，又 g x为偶函数，所以 4440g xg xg xgxg x ，即 40g xg x，故 C 正确，#QQABDYIUgggoAAAAAAgCEwEgCgIQkBECAIoOQBAIMAIBQRNABAA=#兰州一中高三年级期中考试数学试卷共 4 页第 5 页由 g x为偶函数且 40g xg x可得 488g xg xg xg x ，所以 g x是周期函数，且周期为 8，又当2,4x时，0gx，可知 g x在2,4x单调递减故结合 g x的性质可画出符合条件的 g x的大致图象：由性质结合图可知：当1 81 8kxk ，Zk时，1g x，故 D 正确，故选：BCD三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分13.已知 tan 3，则 cos3(2)2_.答案35解析tan 3，cos3(2)2sin 22sin cos sin2cos22tan tan2169135.14.函数 f(x)Asin(x)(A0，0，|)的部分图象如图所示，则函数 f(x)的解析式为_.解析：由题图可知 A 2，T471234，所以 T，故2，因此 f(x)2sin(2x)，又3，0对应五点法作图中的第三个点，因此 23，所以3，故 f(x)2sin2x3.15.已知向量)1,3(a，)1,(tb，45,ba，则b在a方向上的投影向量为_.答案：)21,23(解析：因为45,ba，所以，2211013,cos2ttbababa，可得02322 tt，#QQABDYIUgggoAAAAAAgCEwEgCgIQkBECAIoOQBAIMAIBQRNABAA=#兰州一中高三年级期中考试数学试卷共 4 页第 6 页因为31t，所以2t，)1,2(b.则b在a方向上的投影向量为)21,23(45cosaab.16.将函数)3cos(2cos2)(2xxxf图象上所有点的横坐标变为原来的21，再向左平移)0(个单位长度，得到函数)(xg的图象，若对任意的Rx，均有)12()(gxg成立，则的最小值为_.答案：12解析：由题1)6sin()(xxf，则1)622sin()(xxg，因为对任意的Rx，均有)12()(gxg成立，所以)(22622Zkkx)(22622Zkkx，即)(12Zkk，又0，所以当0k时，的最小值为12.四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（17 题题 10分；分；18-22 题每题题每题 12 分分.)17.已知数列an的前 n 项和 Sn2n12，数列bn满足 bnSn(nN*).(1)求数列an的通项公式；(2)求数列bn的前 n 项和 Tn.解：(1)Sn2n12，当 n1 时，a1S121122；当 n2 时，anSnSn12n12n2n.又 a1221也符合，an2n.5 分(2)由已知得，bnSn2n12，Tnb1b2b3bn(2223242n1)2n4（12n）122n2n22n4.10 分18.为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层，体育馆要建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元.该建筑物每年的能源消耗费用 C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)k3x5(100 x，k 为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8 万元，设 f(x)为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和.(1)求 k 的值及 f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小？并求最小值.解：(1)当 x0 时，C8，k40，#QQABDYIUgggoAAAAAAgCEwEgCgIQkBECAIoOQBAIMAIBQRNABAA=#兰州一中高三年级期中考试数学试卷共 4 页第 7 页C(x)403x5(0 x10)，f(x)6x20403x56x8003x5(0 x10).5 分(2)由(1)得 f(x)2(3x5)8003x510.令 3x5t，t5，35，则 y2t800t1022t800t1070(当且仅当 2t800t，即 t20 时等号成立)，此时 x5，因此 f(x)的最小值为 70.隔热层修建 5 cm 厚时，总费用 f(x)达到最小，最小值为 70 万元.12 分19.已知ABC 中内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，向量 m(2sin B，3)，n(cos 2B，2cos2B21)，B 为锐角且 mn.(1)求角 B 的大小；(2)如果 b2，求 SABC的最大值.解：(1)mn，2sin B2cos2B21 3cos 2B，sin 2B 3cos 2B，即 tan 2B 3.又B 为锐角，2B(0，)，2B23，B3.5 分(2)B3，b2，由余弦定理 b2a2c22accos B，得 a2c2ac40.又 a2c22ac，代入上式，得 ac4，当且仅当 ac2 时等号成立.故 SABC12acsin B34ac 3，当且仅当 ac2 时等号成立，即 SABC的最大值为 3.12 分20.在锐角三角形ABC中，内角CBA,所对的边分别为cba,，且bCC3sincos3,且1a.(1)求ABC的外接圆的半径；(2)求cb2的取值范围.解：(1)由bCC3sincos3,且1a可得bCCa3sincos3）（，由正弦定理可得BACCAsin3sinsincossin3,又）（CAB sinsin，代入可得CACACACAsinsincossin3sincos3cossin3，#QQABDYIUgggoAAAAAAgCEwEgCgIQkBECAIoOQBAIMAIBQRNABAA=#兰州一中高三年级期中考试数学试卷共 4 页第 8 页所以，CACAsinsinsincos3，因为20 C，所以0sinC，所以3tanA，又20 A,所以.3A设ABC的外接圆半径为R，由正弦定理可得332sin2AaR，解得33R.6 分(2)由(1)可得CcBbsin332,sin332，所以cb2=CBsin332sin334=)32sin(332sin334BB=BBBcossin33sin334=BBcossin3=)6sin(2B，因为ABC为锐角三角形，所以2320,20BB,解得26 B，360 B，3)6sin(20B，即cb2的取值范围是)30(，.12 分21.设函数)(xf2ln xmx21.(1)讨论函数)(xf的单调性；(2)当)(xf有极值时，若存在 x0，使得)(xfm1 成立，求实数 m 的取值范围.解：(1)函数 f(x)的定义域为(0，)，f(x)2x2mx2（mx21）x.当 m0 时，f(x)0，所以 f(x)在(0，)上单调递增.当 m0 时，由 f(x)0，得 0 xmm.令 f(x)0，得 xmm.所以 f(x)在0，mm 上单调递增，在mm，上单调递减.综上，当 m0 时，f(x)在(0，)上单调递增；当 m0 时，f(x)在0，mm 上单调递增，在mm，上单调递减.5 分(2)由(1)知，当 f(x)有极值时，应有 m0，且 f(x)在0，mm 上单调递增，在mm，上单调递减.#QQABDYIUgggoAAAAAAgCEwEgCgIQkBECAIoOQBAIMAIBQRNABAA=#兰州一中高三年级期中考试数学试卷共 4 页第 9 页所以 f(x)maxf(x)极大值fmm 2lnmmm1m1ln m.若存在 x0，使得 f(x0)m1 成立，则 f(x)maxm1 成立，所以ln mm1，即 mln m10，令 g(m)mln m1，则 g(m)11m0 在(0，)上恒成立，所以 g(m)在(0，)上单调递增，且 g(1)0.若使 g(m)0，则 0m1.所以实数 m 的取值范围是(0，1).12 分22(本小题 12 分）已知函数()axf xx e的极值为1e（1）求a的值并求函数()f x在1x 处的切线方程；（2）已知函数()(0)mxlnxg xemm，存在(0,)x，使得()0g x 成立，求m的最大值解：（1）()f x定义域为R.因为()(1)axfxeax，若0a，则()f x在R上单调递增，无极值，不合题意，舍去，若0a，则令()0fx，得1xa，所以11()fae ，解得1a，经检验，1a 符合题意因为切线斜率f（1）1(1 1)2ee，又因为f（1）e，所以切点为(1,)e，所以切线方程为2(1)ye xe，即切线方程为2yexe5 分（2）因为存在(0,)x，使得()0g x 成立，则mxlnxem，即mxmelnx，即mxlnxmxexlnxlnx e，即mxlnxmxelnx e，即()()f mxf lnx，由（1）得()(1)xfxex，所以()f x在区间(,1)上单调递减，在区间(1,)上单调递增，因为0m，0 x，mxmelnx，所以0lnx，所以1x，即0mx 且0lnx，所以存在(1,)x，使得()()f mxf lnx，所以存在(1,)x，使得mx lnx，即lnxmx，(1,)x，令()lnxs xx，所以()maxms x，因为21()0lnxs xx，得xe，所以()s x在区间(1,)e上单调递增，在区间(,)e 单调递减，所以()s x的最大值为1()s ee所以1me又因为0m，所以10me，所以m的最大值为1e12 分#QQABDYIUgggoAAAAAAgCEwEgCgIQkBECAIoOQBAIMAIBQRNABAA=#