湖北部分重点中学2024届高三上学期第一次联考数学试题含答案.pdf
学科网（北京）股份有限公司湖北省部分重点中学湖北省部分重点中学 2024 届高三第一次联考届高三第一次联考 高三数学试卷高三数学试卷考试时间：考试时间：2023 年年 11 月月 8 日下午日下午 14：0016：00 试卷满分：150 分 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的是符合题目要求的1已知集合2R230Axxx=，集合2R log(2)2Bxx=+与双曲线2C：22221(0,0)xyabab=，若在双曲线2C上存在一点P，使得过点P所作的圆1C的两条切线，切点为A，B，且3APB=，则双曲线2C的离心率的取值范围是（）A51,2B5,2+C(1,3 D 3,)+7已知函数32()321xf xxe=+，且()2(34)2f afa+，则实数a的取值范围是（）A()4,1B()(),41,+C()(),14,+D()1,48设0a，bR，已知函数()e(3)xf xxa xb=+，1,3x有且只有一个零点，则22ab+最小值为（）学科网（北京）股份有限公司A2e6B2e3C2e4D2e5二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分在每小题给出的选项中，有多项符合题目在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求要求全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9下列说法正确的是（）A某射击运动员在一次训练中 10 次射击成绩（单位：环）如下：6，5，7，9，6，8，9，9，7，5，这组数据的第 70 百分位数为 8 B对于随机事件A与B，若()0.3P B=，()0.7P B A=，则事件A与B独立 C若随机变量(6,)XBp，()4.8E X=，若()P Xk=最大，则()124D kX+=D设随机变量服从正态分布()0,1N，若(1)Pp=，则1(10)2Pp，0b，直线1l：(4)10 xay+=，2l：220bxy+=，且12ll，则（）A02ab=+在1x=处的切线与()f x的图像有三个公共点，则a的取值范围_ 162022 年第二十四届北京冬奥会开幕式上由 96 片小雪花组成的大雪花惊艳了全世界，数学中也有一朵美丽的雪花“科赫雪花”它的绘制规则是：任意画一个正三角形1P，并把每一条边三等分，以三等分后的每边的中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉，形成雪花曲线2P重复上述两步，画出更小的三角形，一直重复，直到无穷，形成雪花曲线3P，4P，nP，设雪花曲线nP周长为nl，面积为nS若1P的边长为 3，则sl=_；nS=_ 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 17 （本 小 题 共 10 分）已 知ABC中，角A，B，C所 对 的 边 分 别 为a，b，c，满 足cos(3sin)sincosBabCbBC=学科网（北京）股份有限公司 （1）求B的大小；（2）如图，ABAC=，在直线AC的右侧取点D，使得24ADCD=，求D为何值时，四边形ABCD面积的最大，并求出该最大值 18（本小题共 12 分）如图，在三棱台ABCDEF中，平面BCFE 平面ABC，90ACB=，2BC=，3AC=，1BEEFFC=（1）求证：BF 平面ACFD；（2）求二面角BADF的平面角的余弦值 19（本小题共 12 分）已知正项数列 na的前n项和nS，满足：212nnaS+=（1）求数列 na的通项公式；（2）记21nnnnbS S+=，设数列 nb的前n项和为nT，求证516nT 20（本小题共 12 分）2023 年 10 月 5 日晚，杭州亚运会女篮决赛的巅峰对决中，中国女篮以74:72战胜日本女篮，成功卫冕亚运会冠军，大快人心，表现神勇，为国家和人民争了光某校随即开展了“学习女篮精神，塑造健康体魄”的主题活动，在该活动的某次篮球训练课上，进行了一场A、B、C3 名女篮队员的传接球的训练，球从A手中开始，等可能地随机传向另外 2 人中的 1 人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外 2 人中的 1 人，如此不停地传下去，假设传出的球都能被接住记第n次传球之前球在A手中的概率为na，易知11a=，20a=（1）求第 5 次传球前，球恰好在A手中的概率1P；第n次传球前球在B手中的概率为nb，试比较100a与100b的大小（2）训练结束，体育老师为了表扬队员们精彩的表现和取得的进步，组织了一场“摸球抽奖”活动，先在一个口袋中装有n个红球（5n 且nN）和 5 个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖若 学科网（北京）股份有限公司 设三次摸奖（每次摸奖后球放回）恰好有一次中奖的概率P，当n取何值时，P最大?21已知函数2()ln(1)2af xxxax=+（1）讨论函数()f x的单调性；（2）设1x，2x，()120 xx是函数()()g xf xx=+的两个极值点，证明：()()12ln2ag xg xa，12nnaa=na是以 1 为首项，以 2 为公差的等差数列，数列 na的通项公式1(1)221nann=+=（2）由（1）可得2(121)2nnnSn+=，22221111(2)4(2)nnbn nnn+=+121 114 13b=，2221114 24b=，3221114 35b=，1221114(1)(1)nbnn=+221111155144(1)(2)4416nTnn=+=+20【详解】（1）记三个人分别为A、B、C，则 4 次传球的所有可能可用树状图列出，如图 学科网（北京）股份有限公司 每一个分支为一种传球方案，则基本事件的总数为 16，而又回到A手中的事件个数为 6，根据古典概型的概率公式得63168P=第n次传球前在乙丙手中的概率均为12na，故111111222222nnnnaaaa+=+=+，所以1122nnaa+=+；11111122323nnnnaaaa+=+=13na为等比数列，首项为11233a=，公比为12，1121332nna=所以1121332nna=+9910012113323a=+100100ba（2）一次摸奖从5n+个球中任选两个，有25nC+种，它们等可能，其中两球不同色有115nC C种，一次摸奖中奖 学科网（北京）股份有限公司 的概率1152510(5)(4)nnnC CnpCnn+=+三次摸奖（每次摸奖后放回），恰有一次中奖的概率()()21323C 132nnnnnPppppp=+，()01np，得01x，令()0fx，所以()f x在()0,1上单调递增，在(1,)+上单调递减；当01a，得01x，令()0fx，得11xa时，令()0fx，得10 xa，令()0fx，得11xa，所以()f x在10,a，(1,)+上单调递增，在1,1a上单调递减；综上，当0a 时，()f x在()0,1上单调递增，在(1,)+上单调递减；在01a时，()f x在10,a，(1,)+上单调递增，在1,1a上单调递减，学科网（北京）股份有限公司（2）2()()ln2ag xf xxxxax=+=+，则()g x的定义域为(0,)+，211()axaxg xaxaxx+=+=，若()g x有两个极值点，1x，2x()120 xx，且121xx+=，1210 x xa=，所以4a，因为120 xx，所以21121xx xa=，得110 xa，所以()()()2212111222111lnlnlnln222aaag xg xxxaxxxaxxaxax=+=+设()lnln()2ah ttatat=+，其中110,txa=，令2()0h tat=得2ta=，又2120aaaa=，所以()h t在区间20,a内单调递增，在区间21,aa内单调递减，即()h t的最大值为22ln2ln22ahaa=+，而2ln220，22ln2ln2ln22aahaaa=+，从而()()12ln2ag xg xa=由椭圆定义知：动点R的轨迹为以()1,0T、()1,0H为焦点，长轴长为2 3的椭圆，所以曲线C的方程为22132xy+=（2）设(),MMM xy，(),NNN xy，直线OM：0MMy xx y=；学科网（北京）股份有限公司 22MMOMxy=+；N到直线OM的距离22MNMNMMy xx ydxy=+，所以12OMNMNMNSy xx y=另一方面，因为M，N是椭圆22132xy+=上的动点，所以可设(3cos,2sin)M，(3cos,2sin)N，(cos cos0)，122sinsin23coscos3k k=cos()0=11|6sincos6cos sin|22OMNMNMNSy xx y=66|sin()|22=为定值，且为最大值（3）设(,)Q x y，3OQOP=,3 3x yP，代入C：22132xy+=得2212718xy+=即为曲线E的方程 由3OQOP=知2AQPAOPSS=，同理2BQPBOPSS=，2AQBAOBSS=，设()11,A x y，()22,B xy 当直线l有斜率时，设l：ykxm=+，代入椭圆E的方程得：()2222363540kxmkxm+=，122623mkxxk+=+，212235423mx xk=+，学科网（北京）股份有限公司 221222116354|4222323AOBmkmSm xxmkk=+()()()22222222218276108 162|62323mkmmkmkk+=+22222962323AOBmmSkk=+将l：ykxm=+代入椭圆C的方程得：()222236360kxmkxm+=，l与椭圆C有公共点P，由0 得：2223km+，令2223mtk=+，则(0,1t，2694 3AOBStt=当l斜率不存在时，设l：3,3xn=，代入椭圆E的方程得：222183yn=，241212|184 323AOBSnyynn=，综合得AOB面积的最大值为4 3，所以AQB面积的最大值为8 3
