自考04184线性代数（经管类）密训高频考点重点汇总.docx

第一章 行列式知识点名称内容式 二阶行列式 与三阶行列1. 二阶行列式：D2 = |c(a) d(b)| = ad bc2. 三阶行列式：D3 = | | = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 a13 a22 a31 a12 a21 a33 a11 a23 a32 。引入三个二阶行列式：M11 = |a32(a22) a33(a23)|，M21 = |a32(a12) a33(a13)|，M31 = |a22(a12) a23(a13)|Ai1 = (1)i+1Mi1 (i = 1,2,3) ，即A11 = M11 ， A21 = M21 ，A31 = M31 ，称Mi1为元ai1在D3 中的余子式， 称Ai1为元ai1在D3 中的代数余子式。n 阶行列式3. N 阶行列式由 n行、 n 列元素组成， 记为：行列式展开 定理4. 行列式展开定理： n 阶行列式D = |aij |n等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积的和，即 :D = ai1Ai1 + ai2Ai2 + ainAin (i = 1,2 ， , n)或D = a1jA1j + a2jA2j + anjAnj (i = 1,2， , n)5. 上三角和下三角行列式计算， 只需对角线数字相乘即可。行列式的性 质6. 行列式和它的转置行列式相等，即 D=DT。7. 用数 k 乘行列式 D 中某一行（列）的所有元素所得到的行列式等于 kD。这也就是说， 行列式可 以按行和按列提出公因数。8. 互换行列式的任一两行（列），行列式的值改变符号。推论： 如果行列式中有两行（列）相同， 则此行列式的值等于零。9. 如果行列式中有两行（列）相同，则此行列式的值等于零。10. 行列式可以按行（列）拆开 。11. 把行列式 D 的某一行（列） 的所有元素都乘以同一个数以后加到另一行（列）的对应元素上 去，所得的行列式仍为 D。行列式的计 算12. 利用行列式性质，把原行列式化为上三角（或下三角）行列式再求值，此时要注意的是，在互换 两行或两列时，必须在新的行列式的前面乘上（1），在按行或按列提取公因子 k 时，必须在新 的行列式前面乘上 k。1 / 1213. 把原行列式按选定的某一行或某一列展开，把行列式的阶数降低，再求出它的值， 通常是利用性 质 6 在某一行或某一列中产生很多个“0”元素，再按包含 0 最多的行或列展开克拉默法则14. 设含有 n 个方程的 n 元线性方程组为：如果其系数行列式则方程组必有唯一解：其中， D j 是 D 中第j列换成常数项后得到的行列式15. 设含有n个方程的n元齐次线性方程组：如果其行列式值不等于零，则该方程组只有零解：第二章 矩阵知识点名称内容矩阵的相等16. 设A = (aij )m×n ，B = (bij )k×l ，若 m=k ，n=l 且aij = bij ，i=1,2, ,m;j=1,2, ,n,则称矩阵 A 与矩阵 B 相等，记为 A=B。矩阵的加、 减法17. 只有当两个矩阵是同型矩阵时，它们才可以相加。设 A,B,C 都是 m×n 矩阵，O 是 m×n 零矩 阵，则交换律： A+B=B+A;结合律：（A+B）+C=A+（B+C）;A+O=O+A=A;消去率A+C=B+C,则 A=B.数乘运算18. 对于任意一个矩阵A = (aij )m×n和任意一个数 k，规定 k 与 A 的乘积为kA = (kaij )m×n19. 结合律： （kl）A = k(lA) = klA ，k和l为任意实数。分配率k(A + B) = kA + kB, (k + l)A = kA + lA ，k和l为任意实数。乘法运算20. 矩阵乘法结合律（AB）C=A(BC).2 / 1221. (A+B)C=AC+BC,A(B+C)=AB+AC.22. 两种乘法的结合律 k(AB)=(kA)B=A(kB),k 为任意数。23. EmAm×n = Am×n, Am×nEn = Am×n（其中Em ，En 分别为 m 阶和 n 阶单位矩阵）矩阵的转置24. 设 A 为一个 m 根 n矩阵，把 A 中行与列互换，得到一个 n 根 m矩阵，称其为 A 的转置矩阵，记为 AT ，即：( a11 a 21( a11 a 12a21 am1 )| a22 am2 （am1a2n amn )n根ma12 a1n )|AT =A =am2 amn )m根n（a1na22 a2n ，n 维行（列）向量的转置矩阵为 n 维列（行） 向量.方阵的行列 式25. 设 为一个n阶方阵， 则由 A 中元素按原来的顺序构成的一个n阶行列式，成为方阵 A 的行列式， 记为A。26. 矩阵的行数和列数未必相等，但行列式的行数和列数必须相等。27. 方阵的行列式的性质：设 A ，B 为n阶方阵，k为数，则：(1) (2) (3) 。方阵多项式28. 任意给定一个多项式 f (x) = am xm + am-1xm-1 + + a 1x + a0 和任意给定一个 n 阶方阵 A，都可以 定义一个 n 阶方阵 f（A）= amAm + am-1Am-1 + + a1A+ a0 En 。称f (A) 为A 的方阵多项式， 它也是一个 n 阶方阵.注意： 在方阵多项式中，末项必须是数量矩阵 a0 En 而不是常数 a0 ，方阵多 项式是以多项式形式表示的方阵.可逆矩阵129. 设 A,B 为同阶的可逆矩阵，常数 k0，则：（1）A1为可逆矩阵， 且（ A1 ） = A 。（2） AB1为可逆矩阵，且（ AB ） = B 1A1 。设A1, A2, Am是 m 个同阶的可逆矩阵，则A1A2 Am 也可 逆，且(A1A2 Am )1 = Am 1Am11 A1 1（3）kA 为可逆矩阵，且(kA)(-1)=1/kA(- 1)。（4）AT 为可逆矩阵，且(kA)1 = A1 。（5）可逆矩阵可以从矩阵等式的同侧消去。即当 P 为可逆矩阵时，有 PA=PBA=B；AP=BPA=B。（6）设 A 是 n 阶可逆矩阵。我们记A0 = En ，并定义Ak = (A1)k ，其中 k 是任意正整数。则有AkAl = Ak+l ，(Ak)l = Akl 。这里， k 和 l 为任意整数（包括负整数、零和正整数）。伴随矩阵30. 设A = (aij )n×n，Aij 为|A|的元aij 的代数余子式（i，j=1,2, ，n，）,则矩阵( )称为 A 的伴随矩阵，记为A 。n 阶方阵 A 为可逆矩阵， 则|A|0，反之亦成立。求逆矩阵公式A1 = A 。推论： 设 A,B 均为 n 阶矩阵，并且满足 AB=En ，则 A ，B 都3 / 12可逆，且A1 = B ，B 1 = A 。方阵可逆条件和求逆运算率31. 可逆矩阵 A 的逆矩阵是唯一的。32. n 阶方阵 A 可逆 常 A 产 0，且 A 1 = A* .33. 设 A ，B 均为 n 阶方阵， 且满足AB = E ，则 A ，B 都可逆， 且A1 = B ， B 1 = A .分块矩阵的 转置34. 分块矩阵转置时，不但看做元素的子块要转置，而且每个子块是一个子矩阵，它内部也要转置， 这一现象不妨称为“内外一起转 ”分块矩阵的 乘法和分块 矩阵求逆35. 设矩阵 A = (aij )m根p ， B = (bij )p根n ，利用分块矩阵计算乘积 AB 时，应使左边矩阵 A 的列分块方 式与右边矩阵 B 的行分块方式一致，然后把矩阵的子块当做元素来看待，并且相乘时， A 的各子块分别左乘 B 的对应的子块.AB = C = C(C)21(11) C(C)22(12) () C(C)2(1)t(t) （Cr1 Cr2 Crt )| |其中Cij = Ai1B1j + Ai2B2 j + + Ais Bsj （i = 1,2, , r ，j = 1,2, , t ）初等变换36. 互换矩阵中两行（列）的位置；37. 用一个非零常数 k 乘 A 某一行（列）；38. 用一个数乘 A 某一行（列）以后加到另一行（列） 上.注意：矩阵的初等变换与行列式计算有本质区别，行列式计算是求值过程，用等号连接，而对矩 阵作初等变换是变换过程用“ ”连接前后矩阵.初等方阵39. Di (k) 左（右）乘 A 就是用非零数 k 乘 A 的第i 行（列） .40. Tij (k) 左乘 A 就是把 A 中第 j 行的 k 倍加到第i 行上.41. Tij (k) 右乘 A 就是把 A 中第 i行的 k 倍加到第 j 行上.矩阵的等价 标准形42. 任意一个 m 根 n矩阵 A ，一定可以经过有限次初等行变换和初等列变换化成如下形式的 m 根 n矩(E O )（O O)阵： | r |这是一个分块矩阵，其中 Er 为r 阶单位矩阵，而其余子块都是零块矩阵.称(E O )（O O)| r |为 A 的等价标准形 。注意：等价标准形中的 r 总是不变的，它由 A 完全确定.43. 对于任意一个 m 根 n矩阵 ，一定存在 m 阶可逆矩阵 P 和 n阶可逆矩阵Q ，使得PAQ = (|（O(E)r O(O)4 / 12用矩阵的初 等变换求解 矩阵方阵44. 设 A 是 n阶可逆矩阵， B 是 n 根 m矩阵，求出矩阵 X 满足 AX = B .原理 若找到 n阶可逆矩阵 P 使 PA = En ，则 P = A1 ，而且有 P(A, B) = (PA, PB ) = (En , A1B)上式右边矩阵的最后 m 列组成的矩阵就是 X ，即 X = A1B .45. 方法：用初等行变换把分块矩阵 (A, B )化成 (E, A1B) ，即 (A, B) (E, A1B).设 A 是 n阶可逆矩阵， B 是 m 根 n矩阵，求出矩阵 X 满足 XA = B .注意：矩阵方程 XA = B 的解为 X = BA1 ，而不可以写成 X = A1B .方法:用初等行变换把 (AT , BT )化成 (En , (BA 1)T )，可求出 XT = (BA 1)T .具体过程为(AT , BT ) (En , XT )矩阵的秩46. 设 A = (aij )m根n ，则 r(A) < minm, n47. r(AT )= r(A) ，实际上， A 与 AT 中的最高阶非零子式的阶数必相同.48. n阶方阵 A 为可逆矩阵 常 A 产 0 常 r(A) = n .所以，可逆矩阵常称为满秩矩阵.秩为 m 的 m 根 n矩阵称为行满秩矩阵.秩为 n的 m 根 n矩阵称为列满秩矩阵.阶梯形矩阵49. 满足以下两个条件的矩阵称为阶梯形矩阵(1) 若存在全零行（元素全为零的行），则全零行都 位于矩阵中非零行的下方(2)各非零行中从左边数起的第一个非零元素的列指标j随着行指标 的递增而严格增大。矩阵与线性 方程组50. 设n元线性方程组为ij可 以 表 示 成 矩 阵 形 式 A x = b , 其 中 A = (a ) 为 线 性 方 程 组 的 系 数 矩 阵 ， 称m×n为未知列向量， 为常数列矩阵。当b=0时， 方程组 为齐次线性方程组。线性方程组的增广矩阵是一个m×(n+1) 矩阵 。对于给定的线性方程组，可利用矩阵的初等行变换， 把它的增广矩阵化成简化阶梯形矩阵，从而得到 易于求解的同解线性方程组， 然后求出方程组的解。第三章 向量空间知识点名称内容5 / 12n 维向量及 其线性运算51. 如果 n 维向量a = (a1 , a2 , , an )与 n 维向量 = (b1 , b2 , , bn ) 的对应分量都相等， 即ai = bi (i = 1,2, , n) ，则称向量a与 相等，记作a = .52. （向量的加法） 设n 维向量a = (a1 , a2 , , an )， = (b1 , b2 , , bn ) ，则a与 的和是向量a+ = (a1 + b1 , a2 + b2 , , an + bn ) 。53. （数与向量的乘法） 设a = (a1 , a2 , , an )是一个n 维向量， k 为一个数，则数 k 与a 的乘积称为数乘向量，简称为数乘，记作 ka ，并且 ka = (ka1 , ka2 , , kan ) 。54. 向量的运算律：设a, ,y都是n 维向量， k , l 是数， 则：a+ = +a（加法交换律）；(a+ )+y = a+ ( +y)（加法结合律）；a+9= a；a+ (a) = 9；根a = a1 ；k(a+ ) = ka+ k（数乘分配律）；(k + l)a = ka+ la（数乘分配律）；(kl)a = k(la)（数乘向量结合律）.线性相关性 概念55. 任意一个含零向量的向量组必为线性相关组。56. 单个向量a线性相关 常 a = 0；单个向量a线性无关 常 a 牛 0 。57. 两个非零的n 维向量a, 线性相关 常 存在不全为零的数k , l ，使得ka+ l = 9 ，即a = 或 = a 。58. n 个n 维列向量a1 ,a2 , ,an ,线性无关 常 矩阵 A = (a1 ,a2 , ,an )的行列式不等于 0。59. 当m > n 时， m 个n 维列向量a1 ,a2 , ,am 一定线性相关.这是由于当m > n 时，齐次线性方程 组 Ax = 0 中的变量个数m 大于方程个数n ,它必有可以任意取值的自由变量， 因此，它必有非零 解。求相关系数 的方法60. 求线性相关系数的方法如下：设a1 ,a2 , , am 为m 个n 维列向量，则a1 ,a2 , , am 线性相关常 存在m 个不全为零的数k1a1 + k2a2 + + kmam = 0 .常 m 元齐次线性方程组 x1a1 + x2a2 + + x mam = 0 有非零解， 即 Ax = 0有非零解.非零6 / 12解就是一个相关系数.常 矩阵 A = (a1 ,a2 , , am ) 的秩小于m 。组 向量组的极 大线性无关61. 向量组 T 与它的任意一个极大无关组等价， 因而 T 的任意两个极大无关组等价。62. 设有两个n 维向量组R = a1 ,a2 , ,ar 和 S = 1 , 2 , , s ，且已知向量组 R 可由向量组 S 线性表出。若r > s ，则 R必为线性相关组.若 R为线性无关组，则必有 r < s63. 任意两个线性无关的等价向量组所含向量的个数相等。64. 一个向量组的任意两个极大线性无关组所含向量的个数相同 。向量组的秩 及极大无关 组的求法65. 对矩阵施行初等变换，不改变它的行秩和列秩。66. 设 A为m 根 n 阵，则 r(A) = A 的行秩 = A的列秩。第四章线性方程组知识点名称内容齐次线性方程组的解67. 齐次线性方程组关于解的结论：Ax = 0的解的全体所组成的向量集合V = | A = 0， V 有以下性质：性质 1 若1 ,2 是齐次线性方程组 Ax = 0 的解，则1 + 2 也是 Ax = 0 的解.性质 2 若 是齐次线性方程组 Ax = 0的解， k 是任意实数，则k 也是 Ax = 0的解68. 齐次线性方程组的基础解系与通解。设 1 ,2 , ,s 为齐次线性方程组 Ax = 0的一个解向量集， 如果它满足以下两个条件：1 ,2 , ,s 是线性无关的向量组；Ax = 0的任意一个解 都可表示为1 ,2 , ,s 的线性组合， 即 = k11 + k22 + + kss ， k1 , k2 , , ks 是常数.则称 1 ,2 , ,s 是 Ax = 0的一个基础解系.定理 1 设 A是m 根 n 矩阵， r(A) = r ，则Ax = 0的基础解系中的解向量个数为n r ；Ax = 0 的任意n r 个线性无关的解向量都是它的基础解系.推论（1）：设 A是m 根 n 矩阵，则a. Ax = 0 只有零解 常 r(A) = n ；此时， Ax = 0 没有基础解系；b. Ax = 0有非零解 常 r(A) < n ；此时， Ax = 0有无穷多个基础解系（基础解系的解向量有7 / 12n r 个） .当m < n 时， Ax = 0 必有非零解， 因此必有无穷多个基础解系.（2）当 A是n 阶方阵时， Ax = 0只有零解常 A 子 0 ； Ax = 0有非零解常 A = 0 .注意：基础解系必须满足三个条件： 基础解系中每一个向量都是Ax = 0 的解； 基础解系的向量个数必须为n r ； 基础解系的向量组线性无关.设向量组1 ,2 , ,nr 是 Ax = 0的任意一个基础解系，则其通解为: = k11 + k22 + + knrnr ，这里k1 , k2 , , knr 为任意实数.齐次线性方程组的通解的求法69. 对方程组Ax = 0 先由消元法，求出一般解，再把一般解写成向量形式，即为方程组的通解， 从中 也能求出一个基础解系。非齐次线性方程组有解条件70. 设Ax = b为n 元非齐次线性方程组，则它有解的充要条件是 r(A, b) = r(A) 。71. 当n 元非齐次线性方程组Ax = b有解时，即 r(A, b) = r(A) = r 时，那么， Ax = b有唯一解 常 r = n ；（2） Ax = b有无穷多解 常 r < n 。72. n 元齐次线性方程组Ax = b有非零解的充要条件是r(A) = r < n 。设 A为n 阶方阵，则n 元齐次线性方程组Ax = b有非零解常 A = 0 。设 A为m 根 n 矩阵，且m < n ，则n 元齐次线性方程组必有非零解非齐次线性方程组的解的结构73. 如果1,2 是 Ax = b的解，则 = 1 2 是 Ax = 0 的解。74. 如果是Ax = b的解， 是Ax = 0 的解，则 + 是Ax = b的解。非齐次线性 方程组的求 通解方法75. 对非齐次线性方程组 Ax = b， 由消元法求出其一般解， 再把一般解改写为向量形式， 就得到方程 组的通解。五第 章 特征值与特征向量知识点名称内容特征值与特 征向量的定 义和性质76. 设1 , 2 , , n 是n 阶方阵 A = (aij ) 的全体特征值，则必有：i = aiin= tr(A)， i = A i=1这里， tr(A)为矩阵 A的n 个对角元之和，称为 A的迹， A 为 A的行列式77. 设已知0 为 A的特征值， a 为相应特征向量， 即 A“ = 0 “ ，那么对任意多项式 f (x) 必有 f (A)“ = f (0 )“ ，特别 Am “ = 0m “ 。8 / 1278. n 阶方阵 A的属于不同特征值的特征向量必线性无关。关于特征值 和特征向量的若干结论79. 实方阵的特征值未必是实数，特征向量也未必是实向量。80. 三角矩阵的特征值就是它的全体对角元素。81. 一个向量 不可能是属于同一个方阵 A的不同特征值的特征向量。82. A的同一特征值 的不同特征向量1 ,2 的线性组合仍是 A属于 的特征向量。83. n 阶方阵 A和它的转置矩阵 AT 必有相同的特征值 。注意： A和 AT 未必有相同的特征向量,即当A = 时未必有 AT = 。84. 若 是 A的特征值，则 m 是 Am 的特征值，而且 Am 与 A有同一特征向量。85. 若 是 A的特征值且 0，则 1 是 A1 的特征值而且 A1与 A有相同的特征向量。86. 设 A为n 阶方阵， f (x) = am xm + am1xm1 + + a1x + a0 ，为m 次多项式，f (A) = amAm + am1Am1 + + a1A+ a0 En关于求特征值与特征向量的一般求法87. 求特征值与特征向量的一般步骤：(1) 求出矩阵的特征多项式(2)求出特征值(3)求出特征向量矩阵相似的定义与相似矩阵的基本性质88. 反身性： A A ，这说明任意一个方阵都与自己相似.事实上，有矩阵等式。A = E AE = E 1AEn n n n89. 对称性 ：若 A B则 B A，这说明 A和 B 相似与 B 和 A相似是一致的.事实上，有B = P 1AP A = PBP 1 = (P 1)1BP 190. 传递性： 若 A B ， B C 则A C ，这说明当 A和 B 相似， B 和 C 相似时， A和 C一定相似。方阵可相似对角化条件91. 若n阶方阵 A 能相似于一个n阶对角矩阵，则说方阵 A 是可以相似对角化的，有以下基本定理：定理1: n阶方阵 A 可相似对角化A 有n个线性无关的特征向量。推论1：当n阶方阵 A 有n个互不相同的特征值时，A 必能相似对角化。方阵相似对 角化92. 相似对角化步骤：第一步，解特征方程 E A = 0 ，求特征值1 , 2 , , n ；9 / 12第二步，对应于每个特征值i (i = 1,2, , n)，解齐次线性方程组 (iE A)x = 0 的基础解ai 就是特征向量（i = 1,2, , n ）；第三步，若对每一特征值 来说，相应齐次线性方程组的基础解系所含向量的个数等于 的重数，则A可对角化；第四步， 以上述解向量为列作成一个 n 阶矩阵 P ， 即令相似变换矩阵 P = (a1 ,a2 , ,an ) ，有(1 )| |P-1 AP = 2 = .| |( n()向量内积93. 设为两个n维列向量，把实数 称为向量与的内积。94. 无论两个行向量还是两个列向量只要是同维就有内积，他们的内积是数， 内积的大小等于各对应分量乘积的和。95. 向量的内积具有对称性、线性性和正定性。正交矩阵96. 如果n 阶实方阵A 满足AAT = E ，则称A 为正交矩阵。于是A 为正交矩阵 常 AT = A1 常 AT A = E 常 A* 为正交矩阵 常 A 的列（行）向量组为标准正交向量组。当A 为正交矩阵牵 A = 土1 ，当A ，B 为正交矩阵牵 AB 为正交矩阵实对称矩阵的相似标准形97. 对于任意一个n 阶实对称矩阵A ，一定存在n 阶正交矩阵P ，使得P 1AP = P TAP =(1|(2)|n )= 六第 章 实二次型知识点名称内容实二次型的 定义98. n元实二次型指的是含有n个未知量 的实系数二次齐次多项式：,这里，则可把二次型 写成矩阵形式： ，其中10 / 12A 为n阶实对称矩阵，它与二次型f一一对应， 把 A 称为二次型f的矩阵，称f是以 A 为矩阵的二次型。二次型的标准形99. 矩阵的合同：设 A,B 为两个n阶方阵，若存在一个可逆矩阵 P，使，则称 A 与 B合同。100.二次型的标准形： 只有平方项而没有交叉项的二次型)=dd 。用配方法求二次型的标准形101. 求二次型 的标准形的方法是，先求出对称矩阵 A 的所有特征值 ，再求出 个两两正交的单位特征向量组。二次型的规范形102.所有平方项的系数均为1,-1或0的标准二次型称为规范二次型。103.规范定理： 对任意一个n元二次型 ，一定可以经过可逆线性变换化为规范形：= ，而且，其中的k和r由矩阵 A 唯一确定，k为规范形中系数为1的项数，r就是 A 的秩， 称k为f的正惯性指数， r-k为负惯性指数。实二次型的分类104. n元二次型和对应的n阶实对称矩阵 A，可分成以下五类：(1)如果对于任何非零列向量x,都有，则称f为正定二次型，称 A 为正定矩阵；(2) 如果对于任何实列向量x,都有，则称f为半正定二次型，称 A 为半正定矩阵；(3) 如果对于任何非零实列向量x, 都有，则称f为负定二次型，称 A 为负定矩阵；(4) 如果对于任何实列向量x,都有，则称f为半负定二次型，称 A 为半负定矩阵；(5) 其他的实二次型称为不定二次型，其他的实对称矩阵称为不定矩阵。正定矩阵105.实对角矩阵 为正定矩阵当且仅当 中的所有对角元全大于零.因此，单位矩阵一定是正定矩11 / 12阵。106. 设n 阶矩阵 A = (aij )是正定矩阵，则 A中所有对角元aii > 0 , i = 1,2, , n 。107.设 A与 B是两个合同的实对称矩阵，则 A为正定矩阵当且仅当 B为正定矩阵108. 同阶正定矩阵之和必为正定矩阵。109. n 阶对称矩阵 A = (aij )是正定矩阵 A的n 个特征值全大于零 。具有以下推论：（1） n 阶对称矩阵 A = (aij )是正定矩阵 A的正惯性指数为n ；（2） n 阶对称矩阵 A = (aij )是正定矩阵 A合同于单位矩阵；（3）任意两个同阶的正定矩阵必是合同矩阵.（4） n 阶对称矩阵A = (aij )是正定矩阵 A的n 个顺序主子式 Dk > 0 , k = 1,2, , n .12 / 12