2024届新高考数学小题微点特训7 二次函数、幂函数含答案.pdf

二次函数、幂函数 考点对点练 保分必拿 考点一二次函数已知a,b,cR,函数f(x)a xb xc,若f()f()f(),则()Aa,abBa,abCa,abDa,ab已知二次函数f(x)a xb x在,)上单调递减,则a,b应满足的约束条件为()AaabBaabCaabDaab已知函数f(x)l g(a xxa)定义域为R,则实数a的取值范围是()A,()B,(),()C,()D,(),)若函数f(x)xa|x|在区间,和,上均为增函数,则实数a的取值范围是()A,B,C,D,函数f(x)a xb xc(a)的图象关于直线xba对称据此可推测,对任意的非零实数a,b,c,m,n,p,关于x的方程mf(x)n f(x)p的解集都不可能是()A,B,C,D,函数f(x)x(|x|)在m,n 上的最小值为,最大值为,则nm的最大值为()ABCD f(x)xb xc,若方程f(x)x无实根,则方程f(f(x)x()A有四个相异实根B有两个相异实根C有一个实根D无实数根已知函数f(x)xxa,x,若f(x)有最小值,则f(x)的最大值为已知yf(x)是偶函数,当x时,f(x)(x),若当x,时,nf(x)m恒成立,则mn的最小值为 考点二幂函数 已知幂函数yf(x)的图象经过点(,),则满足f(x)的x的值为()A B C D 已知幂函数yxpq(p,qN,q且p,q互质)的图象如图所示,则()Ap,q均为奇数,且pqBq为偶数,p为奇数,且pqCq为奇数,p为偶数,且pqDq为奇数,p为偶数,且 pq 下列关系中正确的是()A()()()B()()()C()()()D()()()幂函数yxa,当a取不同的正数时,在区间,上它们的图象是一组美丽的曲线(如图),设点A(,),B(,),连结A B,线段A B恰好被其中的两个幂函数yxa、yxb的图象三等分,即有BMMNNA,那么ab()A B CD 若对任意的xa,a,均有(xa)x,则a的取值范围是 已知函数f(x)x,xc,xx,x,其中c那么f(x)的 零 点 是;若f(x)的 值 域 是,则c的取值范围是微点特训数学(新)2024高考数学微点特训7 二次函数、幂函数 素养提升练 高分必抢一、单项选择题如图,函数yx、yx、y的图象和直线x将平面直角坐标系的第一象限分成八个部分:若幂函数f(x)的图象经过的部分是,则f(x)可能是()AyxByxCyxDyx已知定义在R上的奇函数f(x)满足:当x时,f(x)x,若不等式f(t)f(mm t)对任意实数t恒成立,则实数m的取值范围是()A,()B(,)C(,)(,)D(,)(,)已知a,bR,设函数f(x)xa xb,函数g(x)xc xd,若函数yf(g(x)g(f(x)没有零点,则()Aac,且bdBac,且bdCac,且bdDac,且bd已知二次函数f(x)xb xc,若对任意的x,x,有|f(x)f(x)|,则b的取值范围是()A,B,C,D,已知函数f(x)xm x,若对于x,f(x)m恒成立则实数m的取值范围为()A,()B,)C,()D,已知f(x)a xb xc(a),其中bac,若对任意的实数b,c都有不等式f(bc)f(b c)成立,则方程f(x)的根的可能性为()A有一个实数根B两个不相等的实数根C至少一个负实数根D没有正实数根已知函数f(x)l g(x|x|),若函数f(x)在开区间(t,t)(tR)上恒有最小值,则实数t的取值范围为()A,(),()B,()C,()D,已知函数f(x)a x x ,对任意tR在区间t,t 存在两个实数x,x,使|f(x)f(x)|成立,则a的取值范围是()A,B,C(,)D,(,)二、多项选择题下列说法正确的是()A若幂函 数 的 图 象 经 过 点,(),则 解 析 式 为yxB若函数f(x)x,则f(x)在区间(,)上单调递减C幂函数yx()始终经过点(,)和(,)D若函数f(x)x,则 对 于 任意 的x,x,)有f(x)f(x)fxx 已知函数f(x)x图象经过点(,),则下列命题正确的有()A函数为增函数B函数为偶函数C若x,则f(x)D若xx,则f(x)f(x)fxx三、填空题 下面命题:幂函数图象不过第四象限;yx图象是一条直线;若函数yx的定义域是x|x,则它的值域是y|y;若函数yx的定义域是x|x,则它的值域是y|y;若函数yx的值域是y|y,则它的定义域一定是x|x其中不正确命题的序号是 已知函数f(x)|xx|,xR若方程f(x)a|x|恰有个互异的实数根,则实数a的取值范围为 真题体验练 实战抢分(全国甲卷,文科)下列函数中是增函数的为()Af(x)xBf(x)()xCf(x)xDf(x)x(新高考卷,)写出一个同时具有下列性质的函数f(x):f(xx)f(x)f(x);当x(,)时,f(x);f(x)是奇函数微点特训数学(新)f(x)的图象关于y轴对称得yf(x),再向右平移个单位得到,即yf(x)f(x),于是函数yf(x)与函数yf(x)的图象关于直线x对称,所以错误;设P(x,y)是函数f(x)图象上的任意一点,点P关于原点对称点P(x,y)必在yx的图象上,有yx,即yx,于是f(x)x,所以正确 A C 选项A:因为f(x)(x)xf(x),所以函数yx是奇函数,它的图象关于原点对称,如下图所示:所以函数yx是圆O的一个太极函数,故本说法正确;选项B:如下图所示:函数yg(x)是偶函数,yg(x)也是圆O的一个太极函数,故本说法不正确;选项C:因为ys i nx是奇函数,所以它的图象关于原点对称,而圆xy也关于原点对称,如下图所示:因此函数ys i nx是圆O的一个太极函数,故本说法是正确的;选项D:根据选项B的分析,圆O的太极函数可以是偶函数,不一定关于原点对称,故本说法不正确 A C 因为f(x)为定义在R上的奇函数,所以f(),因为g(x)f(x),所以g()f(),故A正确;因为f(x)为定义在R上的减函数,且f(),f()f()f(),即f()所以g(),故B不一定成立;因为g(x)f(x),所以g(x)f(x)f(x),所 以g(x)g(x)f(x)f(x),因为f(x)是定义在R上的减函数,所以f(x)f(x),所以f(x)f(x),即g(x)g(x),故C正确;因为g(x)f(x),所以g(x)f(x)f(x),g(x)f(x),所以g(x)g(x)f(x)f(x),选项D错误,因为f(x)为偶函数,f(),所以f()f(),又f(x)在,)单调递减,f(x),所以x,解得x所以x的取值范围为x 令x,得f()f()f(),故f()又函数f(x)是偶函数,故f();根据可得f(x)f(x),则函数f(x)的周期是,由于偶函数的图象关于y轴对称,故x 也是函数yf(x)图象的一条对称轴;根据函数的周期性可知,函数f(x)在,上单调递减,不正确;由于函数f(x)的图象关于直线x对称,故如果方程f(x)m在区间,上的两根为x,x,则xx,即xx故正确命题的序号为 真题体验练 实战抢分 B B 考查函数的对称性,属于偏难的题目f(x)是偶函数,即f(x)f(x),可得f(x)的对称轴为x,f(x)为奇函数,即f(x)f(x),可得f(x)的对称中心为(,)此时,x和x关于(,)对称,f(x)是偶函数,此时有f()f()其他选项不一定成立 C 因为f(x)f(x),所以f(x)关于轴x对称,又因为f(x)是奇函数,f(x)f(x),f(x)f(x),f(x)f(x),f(x)是周期为的函数,所以f()f()f(),故选C D 因为f(x)为奇函数,所以f(),即ab,所以ba,又f()f()f()f()aba,f()f()f()f(),由f()f(),得a,所以f()f()f()f()f(),f()f()f()f(),aba,故选D微点特训 二次函数、幂函数考点对点练 保分必拿 A 由f()f(),得f(x)a xb xc图象的对称轴为xba,所以ab,又f()f(),f()f(),所以f(x)先减后增,于是a,故选A D 因为f(x)在,)上单调递减,所以a,且ba,所以aab C 已知f(x)l g(a xxa)的定义域为R,即a xxa恒 成 立,当a时,x不 恒 成 立,aa,解得:a,所以实数a的取值范围是(,)Df(x)xa|x|,f(x)(x)a|x|xa|x|f(x),f(x)为实数集上的偶函数,因为在区间,和,上均为增函数,所以f(x)在区间,递增和在,上递减,函数f(x)xa|x|,x的对称轴xa,得a,故选D D 设关于f(x)的方程mf(x)n f(x)p有两根,即f(x)t或f(x)t而f(x)a xb xc的图象关于xba对称,因而f(x)t或f(x)t的两根 也 关 于x ba对 称而 选 项D中 故选D微点特训数学(新)B 当x时,f(x)x(|x|)xx(x),当x时,f(x)x(|x|)xx(x),作出函数f(x)的图象如图:当x时,由f(x)xx,解得x当x时,f()当x时,由f(x)xx即xx,解 得x ,此时x,m,n 上的最小值为,最大值为,n,m,nm的最大值为,D 因为抛物线f(x)xb xc开口向上,由方程f(x)x无实数根可知,抛物线f(x)xb xc必在直线yx上方,即对任意的xR,f(x)xf(f(x)f(x)x,所以方程f(f(x)x没有实根,故选D 函数f(x)xxa(x)a,x,且函数有最小值故当x时,函 数 有 最 小 值,当x时,函 数 有 最大值当x时,f()a,f(x)xx,当x时,f(x)m a xf(),故填 当x时,x,f(x)f(x)(x),因为x,所以f(x)m i nf(),f(x)m a xf(),所以m,n,mn所以mn的最小值是 D 因为幂函数yx的图象经过点,(),所以(),所以 又因为f(x),所以x,所以x D 由幂函数的图象关于y轴对称,可知该函数为偶函数,所以p为偶数,则q为奇数,因为图象在第一象限内向上凸起,且在(,)单调递增,所以pq D 因为y()x是单调递减函数,所以()(),因为幂函数yx在(,)上递增,;所 以()(),即()()(),故选D A 因为BMMNNA,点A(,),B(,),所以M,(),N,(),分别代入yxa、yxb中,a l o g,b l o g,所以ab l o gl o g,故选A(,因为对任意的xa,a,均有(xa)x,函数yx在R上单调递增,所以xax在xa,a 上恒成立,即xa,所以aa,得到a 和(,当xc时,由x得x当x时,由xx,得x,所以函数f(x)的零点为和当xc时,f(x)x,所以f(x)c;当x时,f(x)xxx(),所以此时f(x)若f(x)的值域是,则有c,即c,即c的取值范围是(,素养提升练 高分必抢 B 由图象知,幂函数f(x)的性质为:()函数f(x)的定义域为(,);()当x时,f(x),且f(x)x;当x时,f(x),且f(x)x;所以f(x)可能是yx故选B A 当x时,f(x)f(x)xf(x)x(xR)f(x)在R上是增函数,tmm t对任意实数t恒成立m ttm对任意实数t恒成立m mm,(),故选A C 若yf(g(x)g(f(x)没有零点,即f(g(x)g(f(x)无解,即f(x)g(x)x无解,所以x(a)xbx(c)xd无解,整理得(ac)xdb无解,所以ac,bd C二次函数f(x)xb xcxb()cb,对称轴x b,b 即b时,函 数f(x)在,递 增,f(x)m i nf()bc,f(x)m a xf()bc,故f()f()b,|f()f()|b|得b,b时,即b时,|f()f()|b|得b,b,即b时,函数f(x)在,b 递减,函数f(x)在b,递增,|f()f(b)|,且|f()f(b)|,即|bb|,且|bb|,解得:b,又b,故b的取值范围是,Ax,f(x)m恒成立,等价于x,f(x)m恒成立令g(x)f(x)mxm xm,对称轴为xm即等价于x,gm a x(x)即可当m时,得到mg()mm,解得:m当m时,得 到mg()mmg()mm,解得:m 微点特训数学(新)当m时,得 到mg()mm,解 得:m综上所述:m C 因为ba c(ac)a c(ac),所以f(x)至少有一个根,因为对任意的实数b,c都有不等式f(bc)f(b c)成立,bcb c恒成立,所以f(x)a xb xc(a)在区间ba,()上单调递增,所以a若b,由bac得ca,此时f(x)a xa有一个负根和一个正根;若b,则xba,结合可知f(x)至少有一个负根;若b,由a,bac,得c,则f(x)有一个负根和一个正根 A 对于内层函数ux|x|x|(),所以,当|x|时,即当x时,内层函数ux|x|取得最小值,此时,函数yf(x)取得最小值由题意 可 知(t,t)或(t,t),即tt或tt,解得t或t因此,实数t的取值范围是,(),()D 存在两个实数x,x,使|f(x)f(x)|fm a x(x)fm i n(x),f(x)a x x ,与ya x的图象完全“全等”,即可以通过平移完全重合因为txt且tR,即用一个区间宽度为的任意区间去截取函数图象,使得图象的最高点与最低点间的纵坐标之差大于,因此取纵坐标之差最小的状态为f(x)a x(x),当a时,此时fm a x(x)fm i n(x)a,故a;当a时,显然符合;当a时,此时fm a x(x)fm i n(x)a,故a C D 若幂函数的图象经过点,(),则解析式为yx,故A错 误;函 数f(x)x是 偶 函 数 且 在(,)上单调递减,故在(,)单调递增,B错误;幂函数yx()始终经过点(,)和(,),C正确;任意的x,x,要 证f(x)f(x)fxx(),即xxxx,即xxxxxx,即(xx),易知成立,故D正确 A C D 将点(,)代入函数f(x)x得:,则所以f(x)x,显然f(x)在定义域,)上为增函数,所以A正确f(x)的定义域为,),所以f(x)不具有奇偶性,所以B不正确当x时,x,即f(x),所以C正确当xx时,f(x)f(x)()fxx()xxxxxxxxxxxxxx(xx)即f(x)f(x)fxx()成立,所以D正确 幂函数图象不过第四象限,正确;yx图象是直线y上去掉点(,),错误;函数yx的定义域是x|x,则它的值域是y|y,错误;函数yx的定义域是x|x,则它的值域是y|y,错误;若函数yx的值域是y|y,则它的定义域也可能是x|x,错误,故填(,)(,)(方法一)在同一坐标系中画f(x)|xx|,和g(x)a|x|的图象(如图),问题转化为f(x)与g(x)图象恰有四个交点当ya(x)与yxx(或ya(x)与y xx)相切时,f(x)与g(x)图象恰有三个交点把ya(x)代入yxx,得xxa(x),即x(a)xa,由,得(a)a,解得a或a又当a时,f(x)与g(x)仅两个交点,a或a(方法二)显然x,axxx令tx,则atttt(,tt(,)结 合 图 象 可 得a或a 真题体验练 实战抢分 DA B递 减,排 除,C有 增 有 减,排 除,因 此 只 有D正确f(x)x(xR)开放性问题,答案不唯一,所有的形如f(x)xnm,n,mN的函数都成立,以f(x)x为最优微点特训 指数函数、对数函数考点对点练 保分必拿 C 令a bt,则t,t,a l o gtl gtl g,b l o gtl gtl g,|a|b|l gt|l g|l gt|l g|l gt|(l g l g)l gl g,因此,|a|b|B 因为a l o g,bl o g,所以a b,abl o g l o g l o g,(),所以ab,所以a b(ab)a b,所以选B D 因为yf(x)l gx,所以当y 时,可得 l gx 即x ,当y 时,可得 l gx ,即x,所以喷气式飞机起飞时的声音强度是一般说话时声音强度的 倍 C 将x ,G 代入G e x得 e ,将G 代入G e x,得 e x,由得e x ,即 (x )l n,解得x 微点特训数学(新)