第二章直线方程和圆的方程单元设计课件3-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册.pptx

直线的方程直线点斜式方程直线两点式方程斜截式截距式直线的一般式方程20252025届届数学2.2 直线的方程2.2.32.2.3直线的一般式方程直线的一般式方程20252025届届数学学习目标素素 养养 目目 标标学学 科科 素素 养养1.了解直线的一般式方程的形式特征，理解直线的一般式方程与二元一次方程的关系2.能正确地进行直线的一般式方程与特殊形式的方程的转化1、数学运算2、数学抽象3、逻辑推理20252025届届数学复习引入适用于斜率存在斜率存在的情形适用于斜率存斜率存在且不为在且不为0的情形适用于不过原点、不过原点、斜率存在且不为斜率存在且不为0的情形20252025届届数学问题1：由下列各条件,写出直线的方程,并画出图形.(1)斜率是1,经过点A(1,8);(2)在x轴和y轴上的截距分别是-7,7;(3)经过两点P1(-1,6),P2(2,9);(4)在y轴上的截距是7,倾斜角是45.复习引入y-8=x-1 7+7=1y=x+7.请根据前面我们学习的直线方程形式,分别利用点斜式、截距式、两点式和斜截式,求出对应的4个直线方程，并在一个坐标系中画出这4条直线；发现:这4条直线是重合的.事实上,它们的方程都可以化简为x-y+7=0.20252025届届数学问题探究思考一 平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x x，y y的二元一次方程来表示吗？20252025届届数学思考一 平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x x，y y 的二元一次方程来表示吗？分类讨论时，常分类讨论时，常按照按照 9090和和=90=90分类分类 因此因此,在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,对于任何一条直线对于任何一条直线,其方程都可以表示成形如其方程都可以表示成形如Ax+By+C=0的二元一次方程，且的二元一次方程，且A A，B B不同时为不同时为0.0.20252025届届数学问题探究思考二 任意一个关于x，y的二元一次方程AxAx+ByBy+C C=0=0(A A，B B不同时为不同时为0)0)都表示一条直线吗？20252025届届数学由上可知由上可知,关于关于x,y的二元一次方程的二元一次方程A Ax+B By+C C=0=0都表示一条直线都表示一条直线.任意一个二元一次方程任意一个二元一次方程AxAx+ByBy+C C=0(=0(A A,B B不同时为不同时为0),0),如果能把它化为直线方程的某种形式，那么我们就可以断定它表示条直线如果能把它化为直线方程的某种形式，那么我们就可以断定它表示条直线.当当B B 0 0时时,方程方程A Ax+B By+C C=0=0 可变形为可变形为当当B B=0 0时时,A A0,0,方程方程A Ax+B By+C C=0=0可变形为可变形为它表示过点它表示过点 ,斜率为斜率为 的直线的直线.它表示过点它表示过点 ,且垂直于且垂直于x轴的直线轴的直线.思考二 任意一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线吗？20252025届届数学由由讨论可知：讨论可知：(1 1)平面上任一条直线都可以用一个关于平面上任一条直线都可以用一个关于x x,y y的二元一次方程表示的二元一次方程表示(2 2)反之，任何一个关于反之，任何一个关于x x,y y的二元一次方程都表示一条直线的二元一次方程都表示一条直线.问题总结20252025届届数学新知学习 我们把关于我们把关于x x,y y的二元一次方程的二元一次方程AxAx+ByBy+C C=0=0(其中其中A A,B B不不同时为同时为0)0)叫做叫做直线的一般式方程直线的一般式方程,简称简称一般式一般式.直线的一般式方程注意：（1）直线的一般式要满足A,B不同时为0（2）方程中等号的左侧自左向右一般按x，y常数的先后顺序排列表达时x,y的系数，常数项一般需要分数化整数，x前的系数化为正数。20252025届届数学新知探究问题问题2 2：在：在方程方程AxAx+ByBy+C C=0 0（A A、B B不同时为不同时为0 0）中，）中，A A、B B、C C为何值时，方程为何值时，方程所表示的直线所表示的直线 平行于平行于x x轴轴；平行于平行于y y轴；轴；与与x x轴重合；轴重合；与与y y轴重轴重合；合；过原点过原点.20252025届届数学在在方程方程AxAx+ByBy+C C=0 0（A A、B B不同时为不同时为0 0）中，）中，A A、B B、C C为何值时，方程所表示的直线为何值时，方程所表示的直线 平行于平行于x x轴轴；平行于平行于y y轴；轴；与与x x轴重合；轴重合；与与y y轴重轴重合；合；过原点过原点.20252025届届数学小结辨析适用于斜率存在斜率存在的情形适用于斜率存斜率存在且不为在且不为0的情形适用于不过原点、不过原点、斜率存在且不为斜率存在且不为0的情形AxByC0(A，B不同时为0)任何情况任何情况20252025届届数学师生活动20252025届届数学例例6.6.把直线把直线l l的一般式方程的一般式方程x x-2 2y y+6 6=0 0化成斜截式，求出直线化成斜截式，求出直线l l的斜率以及它在的斜率以及它在x x轴与轴与y y轴上的截距，并画出图形轴上的截距，并画出图形.师生活动 结合例结合例6 6，我们可以我们可以从几何角度看一个二元一次方程，即一个二，我们可以我们可以从几何角度看一个二元一次方程，即一个二元一次方程表示一条直线元一次方程表示一条直线.20252025届届数学在代数中，我们研究了二元一次在代数中，我们研究了二元一次方程的解方程的解，因为二元一次方程的每一组解都，因为二元一次方程的每一组解都可以看成平面直角坐标系中一个点的坐标，所以这个可以看成平面直角坐标系中一个点的坐标，所以这个方程方程的全体解组成的集合的全体解组成的集合，就是坐标满足二元一次就是坐标满足二元一次方程方程的全体点的集合，这些点的集合组成一条直线的全体点的集合，这些点的集合组成一条直线.平面直角坐标系是把二元一次方程和直线联系起来的桥梁，这是笛卡平面直角坐标系是把二元一次方程和直线联系起来的桥梁，这是笛卡儿儿的伟的伟大贡献大贡献.在平面直角坐标系中，任意一个二元一次方程是直角坐标平面在平面直角坐标系中，任意一个二元一次方程是直角坐标平面上上一条确定一条确定的直线的直线；反之，直角坐标平面上的任意一条直线可以用一个确定的二元一次方程反之，直角坐标平面上的任意一条直线可以用一个确定的二元一次方程表示表示.20252025届届数学课堂目标检测20252025届届数学课堂小结作业布置教材第66页练习第1题、第2题 第67页习题2.2第9题20252025届届数学2.3 直线的交点坐标与距离公式2.3.1两直线的交点坐标20252025届届数学学习目标素素 养养 目目 标标学学 科科 素素 养养1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；2.会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系；1、数学运算2、数学抽象3、数学抽象20252025届届数学几何元素及关系几何元素及关系代数表示代数表示点点A A直线直线l 点点A A在直线在直线l上上A A的坐标满足方程的坐标满足方程 思考思考：点与直线的关系是什么？点与直线的关系是什么？20252025届届数学几何元素代数表示直线 与 的交点AA A的坐标是方程组的坐标是方程组20252025届届数学联立方程组解得 即为两条直线交点坐标.一、求解两条直线交点坐标已知两条直线已知两条直线 相交，两条相交，两条直线的交点坐标求法直线的交点坐标求法20252025届届数学求下列两条直线的交点：求下列两条直线的交点：l l1 1：3x+4y3x+4y2=02=0；l l2 2：2x+y+2=0.2x+y+2=0.解:解方程组l1与l2的交点是M(-2，2)xyM-220l1l2例120252025届届数学直线 和 存在唯一交点，记为 直线 和 相交.直线相交直线相交方程组有方程组有唯一解唯一解点 既在 上，又在 上.是方程组 的唯一解.一、求解两条直线交点坐标20252025届届数学如果如果两条直线两条直线 ,平行，能否判平行，能否判断对应方程组解的情况？断对应方程组解的情况？二、方程组的解与两直线位置的对应关系如果如果两条直线两条直线 ,重合，能否判重合，能否判断对应方程组解的情况？断对应方程组解的情况？20252025届届数学(1)若方程组若方程组有且只有一个解有且只有一个解,(2)若方程组若方程组无解无解,(3)若方程组若方程组有无数解有无数解,则则l1/l2;则则l1与与l2相交相交;则则l1与与l2重合重合.两条直线的交点的分类：两条直线的交点的分类：追问：根据以上的总结归纳，我们可以怎样来判断直线追问：根据以上的总结归纳，我们可以怎样来判断直线l1与与l2的位的位置关系？置关系？20252025届届数学例例2 2：判定下列各对直线的位置关系，若相交，则求交点的坐标判定下列各对直线的位置关系，若相交，则求交点的坐标20252025届届数学（1）解：解：解方程组解方程组得得所以直线所以直线l1与与l2相交，相交，交点是交点是另一方面，另一方面，20252025届届数学（2）另一方面，另一方面，无解无解所以所以 l1 /l2所以直线所以直线 l1 与与 l2 无公共点，无公共点，l1 /l2解：解：解方程组解方程组20252025届届数学（3）直线直线l1与与l2重合重合解解:直线直线l1与与l2的方程可化为同一个方程的方程可化为同一个方程 直线直线l1与与l2的方程表示同一条直线的方程表示同一条直线用斜率判断和通过解方程组判断这两种方法都是通过代数方法研究两条直线的位置关系.用斜率容易判断两条直线平行或相交(或垂直)，但无法直接得出相交时两条直线的交点坐标.还有其他方法吗？画图！画出直线20252025届届数学课堂目标检测20252025届届数学课堂小结回顾本节课的探究过程，说一说你学到了什么？1.相交直线交点坐标的求法通过解方程组求两直线交点坐标；2.方程组解的个数与交点个数的关系及判断两直线位置关系的方法.20252025届届数学2.3 直线的交点坐标与距离公式2.3.2两点间的距离公式20252025届届数学学习目标素素 养养 目目 标标学学 科科 素素 养养1.能够运用公式求出两点间的距离；2.能够根据题意，建立合适的平面直角坐标系，完成对平面几何问题的证明1、数学运算2、数学抽象3、逻辑推理20252025届届数学我们知道，在各种几何量中，直线段的长度是最基本的.所以，在解析几何中，最基本的公式自然是用平面内两点的坐标表示这两点间距离的公式.引言20252025届届数学问题探究如图，已知平面内两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，如何求P1,P2间的距离|P1P2|？20252025届届数学一、两点间的距离公式平面内两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)特别地，原点O(0,0)与任意一点P(x,y)20252025届届数学一、两点间的距离公式 平面内两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)特殊地，当特殊地，当P1P2垂直于垂直于x轴时，轴时，|P1P2|=|y2-y1|当当P1P2平行于平行于x轴时，轴时，|P1P2|=|x2-x1|20252025届届数学练习巩固20252025届届数学20252025届届数学拓展补充分析分析:设设A(-1,2)，B(3,1)，P(x,0)，则问题转化为求点，则问题转化为求点P(x,0)到到点点A(-1,2)，B(3,1)两点的距离之和的最小值两点的距离之和的最小值.求出求出A关于关于x轴轴的对称点的对称点A的坐标，则的坐标，则|PA|+|PB|=|PA|+|PB|AB|20252025届届数学yxPBAAO520252025届届数学练习巩固20252025届届数学20252025届届数学例例2 已知已知ABC的三个顶点的三个顶点A(-3,1)，B(3,-3)，C(1,7)，试判断，试判断ABC的形状的形状.20252025届届数学练习练习2 2 已知点已知点A(1,1)A(1,1)，B(5,3)B(5,3)，C(0,3)C(0,3)，求证：，求证：ABCABC为直角三角形为直角三角形20252025届届数学例例3 3.用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍.20252025届届数学思考思考2 2：在：在“平面向量及其应用平面向量及其应用”的学习中，我们用的学习中，我们用“向量法向量法”证明过这个命题证明过这个命题.你能回忆一下证明过程吗？比较你能回忆一下证明过程吗？比较“坐标法坐标法”和和“向量法向量法”，你有什么体会？，你有什么体会？上述利用上述利用“坐标法坐标法”解决平面几何问题的基本步骤可以概括为解决平面几何问题的基本步骤可以概括为第一步：建立坐标系，第一步：建立坐标系，用坐标表示有关的量用坐标表示有关的量第二步：建进行有关第二步：建进行有关代数运算代数运算第三步：把代数运算第三步：把代数运算的结果的结果“翻译翻译”成几成几何结论何结论思考思考3 3：根据例根据例3 3的条件，你是否还有其他建立坐标系的方法？你能说说建立适的条件，你是否还有其他建立坐标系的方法？你能说说建立适当坐标系对证明的重要性吗？当坐标系对证明的重要性吗？20252025届届数学用用“坐标法坐标法”解决平面几何问题解决平面几何问题20252025届届数学方法技巧：方法技巧：利用坐标法解决平面几何问题的利用坐标法解决平面几何问题的4 4步骤步骤(1)(1)建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上；建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上；(2)(2)用坐标法表示有关的量；用坐标法表示有关的量；(3)(3)将几何关系转化为坐标运算；将几何关系转化为坐标运算；(4)(4)把代数运算结果把代数运算结果“翻译翻译”成几何关系成几何关系.20252025届届数学20252025届届数学20252025届届数学2.4 圆的方程2.4.1圆的标准方程20252025届届数学学习目标素素 养养 目目 标标学学 科科 素素 养养1.建立圆的标准方程；2.运用坐标法判断点与圆的位置关系；3.利用待定系数法及结合图形几何性质确定圆的标准方程.1、数学运算2、数学抽象3、逻辑推理20252025届届数学多边形和圆是平面几何中的两类基本图形.建立直线的方程后，我们可以运用它研究多边形这些“直线形”，解决边所在直线的平行或垂直、边与边的交点以及点到线段所在直线的距离等问题.类似地，为了研究圆地有关性质，解决与圆有关地问题，我们首先需要建立圆的方程.引言20252025届届数学思考在平面直角坐标系中，如何确定一个圆？圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合.圆心坐标，半径确定一个圆20252025届届数学问题探究AMOxyr圆心圆心A(a,b)，半径为，半径为r，圆上任意，圆上任意一点一点M(x,y)满足满足|AM|=r，即，即两边同时平方，得两边同时平方，得(x-a)2+(y-b)2=r220252025届届数学一圆的标准方程 圆心为圆心为A(a,b)，半径为，半径为 r 的圆的标准方程的圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2与直线方程比，与直线方程比，圆的标准方程圆的标准方程有什么特点？有什么特点？圆心为原点，半径为圆心为原点，半径为 r 的圆的标准方程的圆的标准方程x 2+y 2=r220252025届届数学例1求圆心为求圆心为A(2,-3)，半径为，半径为5的圆的标准方程，并判断的圆的标准方程，并判断点点M1(5,-7)，M2(-2,-1)是否在这个圆上是否在这个圆上.【分析】根据点的坐标与圆的方程的关系，只要判断一个点的坐标是否满足圆的方程，就可以得到这个点是否在圆上.20252025届届数学例1求圆心为求圆心为A(2,-3)，半径为，半径为5的圆的标准方程，并判断的圆的标准方程，并判断点点M1(5,-7)，M2(-2,-1)是否在这个圆上是否在这个圆上.解解:圆心为圆心为A(2,-3)，半径为，半径为5的圆的标准方程是的圆的标准方程是(x-2)2+(y+3)2=25把点把点M1(5,-7)的坐标代入方程的坐标代入方程(x-2)2+(y+3)2=25的左边，的左边，得得(5-2)2+(-7+3)2=25，等式成立，所以点，等式成立，所以点M1在这个圆上在这个圆上.把点把点M2(-2,-1)的坐标代入方程的坐标代入方程(x-2)2+(y+3)2=25的左边，的左边，得得(-2-2)2+(-1+3)225，等式不成立，所以点，等式不成立，所以点M1不在这个圆上不在这个圆上.20252025届届数学【答案】【答案】(1)(x+3)2+(y-4)2=5 (2)(x+8)2+(y-3)2=2520252025届届数学思考点M0(x0,y0)在圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2内的条件是什么？在圆(x-a)2+(y-b)2=r2外的条件是什么？CCCM0M0M0(x0-a)2+(y0-b)2r2在圆内在圆上在圆外20252025届届数学例2 已知圆的标准方程是已知圆的标准方程是(x-3)2+(y+2)2=16，判断下列各点，判断下列各点在圆上、圆外，还是在圆内在圆上、圆外，还是在圆内.(1)M1(4,-5)(2)M2(6,1)(3)M3(3,-6).解解:(1)M1代入圆的方程，代入圆的方程，(4-3)2+(-5+2)216，所以点，所以点M1在圆外；在圆外；(1)M3代入圆的方程，代入圆的方程，(3-3)2+(-6+2)2=16，所以点，所以点M1在圆上在圆上.20252025届届数学例3 ABC的三个顶点分别是的三个顶点分别是A(5,1)，B(7,-3)，C(2,-8)，求求ABC的外接圆的标准方程的外接圆的标准方程.20252025届届数学【代数法】【代数法】:设所求的方程是设所求的方程是(x-a)2+(y-b)2=r2 把三个点的坐标代入上式把三个点的坐标代入上式，可得可得故外接圆的标准方程是故外接圆的标准方程是(x-2)2+(y+3)2=2520252025届届数学ABC20252025届届数学例4 已知圆心为已知圆心为C的圆经过的圆经过A(1,1)，B(2,-2)两点，且圆心两点，且圆心C在直线在直线l：x-y+1=0上，求此圆的标准方程上，求此圆的标准方程.20252025届届数学【代数法】【代数法】:设所求的方程是设所求的方程是(x-a)2+(y-b)2=r2 把点把点A,B的坐标代入圆得方程，圆心的坐标代入圆得方程，圆心C(a,b)代入直线代入直线l，得得故外接圆的标准方程是故外接圆的标准方程是(x+3)2+(y+2)2=2520252025届届数学例4 已知圆心为已知圆心为C的圆经过的圆经过A(1,1)，B(2,-2)两点，且圆心两点，且圆心C在直线在直线l：x-y+1=0上，求此圆的标准方程上，求此圆的标准方程.几何角度几何角度:如何确定圆心呢？xOA(1,1)B(2,-2)y 圆心在l上在AB中垂线上AB中点AB斜率20252025届届数学xOA(1,1)B(2,-2)y20252025届届数学(1)几何法它是利用图形的几何性质,如圆的性质等,直接求出圆的圆心和半径,代入圆的标准方程,从而得到圆的标准方程.(2)待定系数法由三个独立条件得到三个方程,解方程组以得到圆的标准方程中三个参数,从而确定圆的标准方程.它是求圆的方程最常用的方法,一般步骤是:设设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2;列由已知条件,建立关于a,b,r的方程组;解解方程组,求出a,b,r;代将a,b,r代入所设方程,得所求圆的方程.圆的标准方程的两种求法20252025届届数学1.以C(2,-3)为圆心,且过点B(5,-1)的圆的方程为()A.(x-2)2+(y+3)2=25B.(x+2)2+(y-3)2=65C.(x+2)2+(y-3)2=53D.(x-2)2+(y+3)2=13答案:D 课堂目标检测20252025届届数学2.已知点P(1,-1)在圆(x+2)2+y2=m的外部,则实数m的取值范围是.解析:由题意,得(1+2)2+(-1)2m,即m0,故m的取值范围是(0,10).答案:(0,10)3.已知AOB的三个顶点分别是A(4,0),O(0,0),B(0,3),求AOB的外接圆的标准方程.(x4)2(y3)225.20252025届届数学 设所求圆的标准方程设所求圆的标准方程(xa)2(yb)2r2；2、圆的标准方程圆的标准方程的求法的求法(1)用待定系数法，用待定系数法，一般步骤如下：一般步骤如下：(2)利用圆的几何性质利用圆的几何性质，由圆的几何性质直接求出圆心坐标和半径，然后代入标准式写方程由圆的几何性质直接求出圆心坐标和半径，然后代入标准式写方程1、圆的标准方程、圆的标准方程根据已知条件，建立关于根据已知条件，建立关于a，b，r的方程组；的方程组；解方程组，求出解方程组，求出a，b，r的值；的值；将将a，b，r的值代入方程，即为所求圆的方程的值代入方程，即为所求圆的方程课堂小结数学