四川省遂宁市2024届高三上学期零诊考试数学（理科）试题含答案.pdf
高三数学（理科）零诊试题第 1 页（共 7 页）遂 宁 市 高 中 2024 届 零 诊 考 试数学（理科）试题本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分。总分 150分。考试时间 120 分钟。第卷（选择题，满分 60 分）注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正确。2选择题使用 2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用 0.5 毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。3考试结束后，将答题卡收回。一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1复数z满足11izi，则z的虚部是AiB1CiD12 已知集合2340AxxxZ，2,Bx xn nZ，则AB A0,2,4B113,C 4,2,0D 3,1,13“函数 af xx在0,上单调递减”是“函数 41g xxax是偶函数”的A充分不必要条件B充要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件4已知 fx为函数 f x的导函数且 f x(R)x的图象如图所示，则不等式 0 xfx的解集为高三数学（理科）零诊试题第 2 页（共 7 页）A10,2,2B1,0,22C1,0,2D1,2,25等差数列 na中，1472120aaa，则746SaA60B30C10D06函数xxeexxxfcos2)(的大致图象为A BC.D7某数学兴趣小组到观音湖湿地公园测量临仙阁的高度。如图所示，记OT为临仙阁的高，测量小组选取与塔底O在同一水平面内的两个测量点,A B.现测得45OAB.105OBA，75ABm，在B点处测得塔顶T的仰角为 30，则临仙阁高OT大致为（）m（参考数据：45.26）A31.41mB51.65mC61.25mD74.14m高三数学（理科）零诊试题第 3 页（共 7 页）8已知为第二象限角，若,41)22023sin(则2tanA715B87C98D989记nS为等比数列 na的前n项和，若63254,8SS aa，则8a A6B36 3C36 9D1810函数log(21)3(0,1)ayxaa的图象恒过点),(nm，函数xmnxf)()(的定义域为2,0，)()2()(xfxfxg，则函数)(xg的值域为A90,2B6,2C12,2D20,211如图，ABC中，3BAC，2ADDB，P为CD上一点，且满足12APmACAB ，若3,4ACAB，则AP AB 的值为A125 B192C132D131212已知31ea，2log3b，sin(cos1.1)c，则AacbBacbCbacDcba高三数学（理科）零诊试题第 4 页（共 7 页）第卷（非选择题，满分 90 分）注意事项：1请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。2试卷中横线及框内注有“”的地方，是需要你在第卷答题卡上作答。二、填空题：本大题 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。13已知向量(1,2)a，向量(2,3)b ，则abrr.14若实数x、y满足不等式组1124yxyxy，则xy的最大值为 15已知函数,122)(1xxxxf若实数nm,满足22()(3)2,f mf n则21nm的最大值为 16已知函数xabxf)(的图象对称中心为)0,1(且过点)1,2(，函数)0)(2sin()(xxg的两相邻对称中心之间的距离为 1，且21x为函 数)(xgy 的一 个极大 值点.若方程)()(xgxf在1,3()xnnnZ 上的所有根之和等于 2024，则满足条件中整数n的值构成的集合为 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。17（12 分）已知 22 3sin cos2sinf xxxx（1）求函数 yf x在R上的单调增区间；高三数学（理科）零诊试题第 5 页（共 7 页）（2）将函数 yf x的图象向左平移0m m 个单位，再对图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的 2 倍，得到函数 yg x的图象，若函数 yg x的图象关于直线3x对称，求m取最小值时的 yg x的解析式18（12 分）已知数列 na的前n项和nS满足21,nSnn11,nnnnbTaa为数列 nb的前n项和（1）求数列 na的通项公式；（2）求使6445nT成立的n的最大值.19（12 分）在ABC中，内角,A B C的对边分别为,a b c，且sincosabAB，3a.（1）若BC边上的高等于 1，求cos A；（2）若ABC为锐角三角形，求ABC的面积的取值范围.20（12 分）已知函数,1)(23xaxxxf1xx 和2xx 分别是函数)(xf的极大值点和极小值点（1）若2a，求函数()f x的极值，并判断其零点个数；（2）求)()(21xfxf的取值范围.21（12 分）设xaexfx3)(,xxxxhln3)(2，（1）试讨论)(xf的单调性（2）若()()f xh x恒成立，求a的取值范围（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 4-4；坐标系与参数方程（10 分）在直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程为2232xttytt ，(t为参数且1t )，曲线C与坐标轴交于,A B两点.（1）求AOB的面积；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求以AB为直径的圆的极坐标方程.23选修 4-5；不等式选讲（10 分）已知函数()|2|f xxmxm（1）当1m 时，求不等式()5f x 的解集；（2）若()1f xm 恒成立，求实数m的取值范围高三数学（理科）试题参考答案第 1 页（共 6 页）遂 宁 市 高 中 2024 届 零 诊 考 试数学（理科）试题参考答案及评分意见一、选择题（每小题 5 分，12 小题，共 60 分）题号123456789101112答案DACABBCADCBD二、填空题（每小题 5 分，4 个小题，共 20 分）13.1014.515.216.1012,1011三、解答题17.（1）22 3sin cos2sin3sin2cos212sin 216f xxxxxxx，.3 分因为kxk222222，所以kxk63，.5 分故函数)(xfy 在单调增区间为6,3kk)(Zk；.6 分（2）将()f x向左平移m个单位得到1()2sin(2()16f xxm将1()f x纵坐标不变，横坐标变为原来的两倍得到1)62sin(2)(mxxg，又因为 yg x的图象关于直线3x对称，则2623km，.9 分解得：Zkkm，2，.10 分因为0m，所以当1k 时，2m取得最小值，.11 分故1)6sin(2)(xxg.12 分18.（1）当2n时，331)1()1(221nnnnSn.1 分22)33(1221nnnnnSSannn.3 分当1n时，111 Sa.4 分故1,1()22,2nnanNnn.5 分高三数学（理科）试题参考答案第 2 页（共 6 页）（2）212111211aab.6 分当2n时，)111(412)22(111nnnnaabnnn.8 分故)1111121.3121211(4121.21nnnnbbbTnn=nn4143)11(4121.10 分要使,6445nT即,64454143n解得,316n又Nn，故n的最大值为 5.12 分19.（1）由正弦定理，sincossinabbABB，所以sincosBB，4B.1 分11sin22ABCSahacB，则1123 13222c ，所以2c.3 分又由余弦定理，2222 cos5bacaB，所以5b.5 分所以22210cos210bcaAbc.6 分（2）由正弦定理，3sinsinsincaCAA，所以33sin3sin3141sinsintan2ACcAAA.8 分又因为锐角ABC，所以0,230,42AA解得42A，所以101tan A.9 分所以3622c，所以13 29 9sin,244 2ABCSacBc.11 分即ABC面积的取值范围是9 9,4 2.12 分20.（1）若2a，则)1)(13(143)(2xxxxxf令0)(xf，解得31,121xx.2 分当 x 变化时，)(),(xfxf的取值情况如下：高三数学（理科）试题参考答案第 3 页（共 6 页）x)1,(1)31,1(31),31()(xf+00+)(xf单调递增极大值单调递减极小值单调递增且02723)31(,01)1(,01)2(fff.4 分根据零点存在定理可得：)(xf在)1,2(有一个零点，所以函数)(xf的极大值为1，极小值为2723，且)(xf有 1 个零点.5 分（2）由题意知，12,x x是方程23210 xax 的两个不等实根，且12xx，23a 由韦达定理知，2221212122142,3393axxx xxxa，222121212442()43933xxxxx xaa .8 分所以 32321211122211f xf xxaxxxaxx22121122121xxxx xxa xx.9 分2322224124313393327aaaa.10 分其中3a 或3a.令23ta，则30427(),gttt，因为()g t在(0,)单调递增.11 分所以12f xf x的取值范围是0,.12 分21.（1）xaexfx3)(，13)(3xaexf.1 分（i）当0a时，0)(xf,所以)(xf在R上单调递减.3 分（ii）当0a时，令0)(xf，得33ln ax所以)(xf在33ln,a上单调递减，在，33ln a上单调递增.5 分高三数学（理科）试题参考答案第 4 页（共 6 页）（2）由题意得，0ln3)()(23xxxxaexhxfx，则3e3ln10 xaxxx，即3lne3ln10 xxaxx，.7 分令 3ln0tg xxx x，则 1313xgxxx，当103x时，0gx，g x单调递减，当13x 时，0gx，g x单调递增，所以 111 lnln3e33tg xg.9 分由e10tat ，即1etta，令1()(ln3)ttttee，则()0ttte恒成立，则)(t在ln3e,+单调递减，所以max2ln3()(ln3)3tee，.11 分所以max2ln3()3ate，因此，a 的取值范围是2ln3,)3e.12 分22.（1）令0 x，则23=0tt，解得1t （舍）或3t，则4y ，即(0,4)A.2 分令0y，则22=0tt，解得2t 或1t （舍），则3x ，即(3,0)B.4 分114 3622SOA OB；.5 分（2）由（1）可知圆心坐标为2,23，半径为252)40()30(22则以AB为直径的圆的方程为22225223yx，即04322yyxx.8 分由cos,sinxy可得，以AB为直径的圆的极坐标方程为3cos4sin0.10 分23.（1）由题知，当1m 时，原不等式即|1|2|5xx，.1 分当1x 时，不等式为12 5xx ，解得21x ；.2 分当12x 时，不等式为125xx，恒成立；.3 分当2x时，不等式为125xx，解得23x，.4 分综上，不等式()5f x 的解集为|23xx；.5 分（2）因为|2|2|3|xmxmxmxmm，当且仅当()(2)0 xm xm时不等式取等号，即min()|3|f xm，.8 分所以31mm，解得1124mm 或，所以m的取值范围是,4121,.10 分
