福建省部分校2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题含答案.pdf

学科网（北京）股份有限公司高三数学考试高三数学考试注意注意事事项：项：1答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2 回 回答答选选择择题时，选出每小题答案后，用铅题时，选出每小题答案后，用铅笔笔把答题卡上对应题目的答案标号涂把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷题卡上。写在本试卷上无效。上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡考试结束后，将本试卷和答题卡一并一并交回。交回。4本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语，函数与导数，不等式，三角函数与解三角形，本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语，函数与导数，不等式，三角函数与解三角形，平面向量，复数，数列，立体几何初步。平面向量，复数，数列，立体几何初步。一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的符合题目要求的1已知集合21,5,1,23AaBa=+，且BA，则a=（）A1 B1 C3 D3 2命题“()20,1,sin21xxxx +”的否定为（）A()20,1,sin21xxxx +B()20,1,sin21xxxx +C()20,1,sin21xxxx +D()20,1,sin21xxxx +3函数()()22loglogeesinxxf xx=在区间,上的图象大致为（）ABCD4若()20.5:90,:log11p xqx，则p是q的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D 既不充分也不必要条件 5 在长方体1111ABCDABC D中，已知122AAADCD=，点E是线段CD的中点，则异面直线1D E与1BC所成角的余弦值为（）A8 8585B89C25D85856当强度为x的声音对应的等级为()f x分贝时，有()010lgxf xA=（其中0A为常数），某挖掘机的声音约为 90 分贝，普通室内谈话的声音约为 50 分贝，则该挖掘机的声音强度与普通室内谈话的声音强度的比值为（）福建省部分校2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题学科网（北京）股份有限公司A4eB410 C95D35107如图，在圆锥PO中，用一个平行于底面的平面去截圆锥PO，可得一个圆锥1PO和一个圆台1OO，若圆锥1PO的体积是圆锥PO体积的18，则圆锥1PO与圆台1OO的侧面积的比值为（）A12B14C23D138已知函数()()sin2cos,0,0f xxaxaxxxf x=，则实数a的取值范围是（）A1,4+B10,4C1,3+D10,3 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9已知()22iiz+=，则下列说法正确的是（）Az在复平面内对应的点的坐标为21,55B21i55z=C.z在复平面内对应的点与点21,55关于原点对称 D55z=10如图，这是函数()()sin0,0,02f xAxb A=+，且3mn+=，则（）学科网（北京）股份有限公司 A333loglog2log 4mn+B222elnln 2eeemnmn C2182113mn+D229mn+12意大利数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现了这样一个数列：1,1,2,3,5,8,这个数列的前两项均是 1，从第三项开始，每一项都等于前两项之和人们把这样的一列数组成的数列nF称为斐波那契数列现将数列nF中的各项除以 3 所得余数按原顺序构成的数列记为nG，则下列说法正确的是（）A2024202611iiFF=B20242202320241iiFFF=C20240G=D202412277iiG=三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在答题卡中的横线上分把答案填在答题卡中的横线上 13已知向是,a b的夹角为3，且()1,22aaab=，则b=_ 14若1tan42+=，则tan=_ 15已知正项等比数列 na的前n项和为nS，若313S=，且5436aaa=+，则满足41nS，现为加强技术研发，该企业把原有技术人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员x名（xN且100500 x），调整后研发人员的年人均投入增加()0.2%x，技术人员的年人均投入调整为31000 xa m万元（1）若要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前 1000 名技术人员的年总投入，则调整后的研发人员的人数最少为多少？（2）为了激发研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在投入方面要同时满足以下两个条件：研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入；技术人员的年人均投入始终不减少请问是否存在这样的实数m，满足以上两个条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由 22（12 分）已知函数()()414 ln 2xf xeax=（1）当1a=时，求曲线()yf x=在点11,22f处的切线方程；（2）当0a 时，若关于x的不等式()()ln 2xaafa+恒成立，求实数a的取值范围 高三数学考试参考答案高三数学考试参考答案 1D【解析】本题考查集合间的基本关系，考查数学运算的核心素养 若235a+=，则1a=，此时21a=，不满足互异性；若223aa=+，则解得3a=或1a=，显然，3a=学科网（北京）股份有限公司 符合题意，而当1a=时，21a=，不满足互异性 2B【解析】本题考查常用逻辑用语，考查逻辑推理的核心素养 全称量词命题的否定为存在量词命题，故原命题的否定为()20,1,sin21xxxx +3C【解析】本题考查函数的图象与性质，考查直观想象与逻辑推理的核心素养 因为()()()()()2222loglogloglogeesineesinxxxxfxxxf x=，所以()f x为奇函数，A，B错 误 又 当01x时，22log0logxx，所 以22loglogeexx，从 而()()22loglogeesin0 xxf xx=，得13x，所以p是q的必要不充分条件 5A【解析】本题考查异面直线所成的角，考查直观想象的核心素养 设2ADCD=，则14AA=，易知11/ADBC，所以异面直线1D E与BC，所成的角为 1AD E经计算可知1117,2 5,5D EADAE=，所以1172058 85cos852 172 5AD E+=6B【解析】本题考查函数的应用，考查数学建模的核心素养 设该挖掘机的声音强度为1x，普通室内谈话的声音强度为2x，由题意知102010lg90,10lg50,xAxA=化简得91052010,10,xAxA=所以41210 xx=7D【解析】本题考查旋转体的体积与侧面积，考查直观想象的核心素养 设圆锥1,PO PO的底面圆半径分别为,r R，它们的母线长分别为,l L，因为1318POPOVrVR=，所以12rR=，从而12lL=，即2,2Rr Ll=所以111223COPOSrlSrlrl=侧侧 8C【解析】本题考查导数在研究函数中的应用，考查逻辑推理的核心素养()0,0 xf x 等价于sin2cosxaxx+记()sin2cosxg xaxx=+，即()0g x 在)0,+上 恒成立()()222cos111132cos332cosxgxaaxx+=+学科网（北京）股份有限公司 当103a，即13a 时，()()0,gxg x在)0,+上单调递减，所以当0 x 时，()()00g xg=，即()0f x 恒成立；当103a单 调 递 增，所 以()()00h xh=，即sin3xax，所 以 当()00,xx时，sinsin2cos3xxaxx+，即()0f x，不符合题意；当0a 时，102fa=，不符合题意 综上，a的取值范围是1,3+9BCD【解析】本题考查复数的运算与几何意义，考查数学运算的核心素养 由题可得()22i121i2i4i55z=+，即z在复平面内对应的点的坐标为2 1,5 5，与 点21,55关于原点对称，A 错误，C 正确；21i55z=，B 正确；22215555z=+=，D 正确 10BC【解析】本题考查三角函数的图象与性质，考查直观想象与数学运算的核心素养 因 为3,1,AbAb+=+=所 以2,1.Ab=又1741234T=，所 以T=，则2=，故()()2sin 21f xx=+将 点,13的 坐 标 代 入()()2sin 21f xx=+，得3=，则()2sin 213f xx=+，B 正 确；若()2sin 216f xx=+，则23f=，A错 误；而51 2cos 21 2cos 22sin 216323xxx+=+=+，C 正确；若()1 2cos 23f xx=+，则()00f=，D 错误 11ABC【解析】本题考查不等式，考查数学运算与逻辑推理的核心素养 因为22mnmn+，所以()233333loglogloglog2log 42mnmnmn+=，当且仅当mn=时，等号 成 立，A正 确；易 知ee2 e emnmn+，即22ee2e emnmn+，所 以22e2e eemnmn，学科网（北京）股份有限公司 1222222e2ee2ee0emnmn，故222elnln 2eeemnmn，B 正确；因为2122,32112122mnmnmn+=+=，所以21223mn+=，()2112214442212242113 212232122nmmnmnmnmn+=+=+，因为44422 442122nmmn+=，所以1444284321223nmmn+，当且仅当57,44mn=时，等号成立，C 正确；()2222929mnmnmnmn+=+=，D 错误 12ACD【解析】本题考查数学文化与数列的求和，考查数学抽象与数学运算的核心素养 对于 A，因为21nnnFFF+=，所以321432543202620252024,FFF FFF FFFFFF=，上式两边分别相加得20262012 24iiFFF=，又121FF=，所以2024202611iiFF=，A 正确 对于B，因为12nnnFFF+=，所以21211nnnnnFFFFF+=，所以222223221343324544320242025202420242023,FF FF F FF FF F FF FF FFFFFF=，上式两边分别相加得222232024202520241FFFFF+=，所以202421202420251iFFF=，B 错误 对于 C，由题意知123456789101,1,2,0,2,2,1,0,1,1,GGGGGGGGGG=，所以数列nG是最小正周期为 8 的数列，故202480GG=，C 正确 对于 D，()202412531 12022 1 02277iiG=+=，D 正确 133【解析】本题考查平面向量的夹角与模，考查数学运算的核心素养 因为()212|21222aabaa bb=，所以3b=143【解析】本题考查三角恒等变换，考查数学运算的核心素养 因为tan11tan41tan2+=，所以tan3=154【解析】本题考查等比数列的性质与求和，考查数学运算的核心素养 设公比为q，因为5436aaa=+，所以260qq=，解得3q=又由313S=，即1113913aaa+=，解 学科网（北京）股份有限公司 得11a=，所以312nnS=由31412n，得383n，所以1cos2B=又因为()0,B，所以3B=18解：（1）因为()23lnf xxxx=+，所以()()()211123xxfxxxx=+学科网（北京）股份有限公司 令()0fx，解得112x，解得102x，所以()f x在10,2上单调递增，在1,12上单调递减 所以()f x在(0,1上的最大值为15ln224f=（2）()264lng xxxx=+，它 的 定 义 域 是()0,+，且()()()221426xxgxxxx=+，当()()0,12,x+时，()0gx，当()1,2x时，()0gx，所以()g x在()0,1上单调递增，在()1,2上单调递减，在()2,+上单调递增 因为方程()21g xm=有 3 个不同的根，()()15,24ln28gg=，所以4ln28215m ，解得72ln222m，所以2201000 xx，解得0500 x,因为xN且100500 x，所以100500 x，故5001000900 x，即要使这()1000 x名研发人员的年总投入不低于调整前 1000 名技术人员的年总投入，则调整后的研发人员的人数最少为 500（2）由 条 件 研 发 人 员 的 年 总 投 入 始 终 不 低 于 技 术 人 员 的 年 总 投 入，得()231000110001000 xxxax ma+，上式两边同除以ax，得1000231110001000 xxmx+，整理得100011000 xmx+由条件技术人员年人均投入不减少，得31000 xa ma，解得311000 xm+假设存在这样的实数m，使得技术人员在已知范围内调整后，满足以上两个条件，学科网（北京）股份有限公司 即()3100011 10050010001000 xxmxx+恒成立 设()21000110001110001000 xf xxxx=+=+，易知()f x在(0,1000上单调递减，因为xN且100500 x，所以()f x在100,500上单调递减，则min1000500()13.55001000f x=+=，当500 x=时，等号成立，所以3.5m 又因为100500 x，当500 x=时，max312.51000 x+=，所以2.5m，所以2.53.5m，即存在这样的m满足条件，m的取值范围为2.5,3.5 评分细则：【1】第一问，写出调整后研发人员的年人均投入为211000 xa+万元，得 1 分，写出0500 x，累计得 3 分，写出调整后的研发人员的人数最少为 500，累计得 5 分【2】第二问，求出()231000110001000 xxxax ma+，累计得 6 分，求出311000 xm+，累计得 8分，写出()3100011 10050010001000 xxmxx+恒成立，累计得 9 分，直到给出正确结论得 12 分 22解：（1）当1a=时，()()41e4ln 2xf xx=，所以()4,144exfxx=，114e8,e22ff=，所以切线方程为()1e4e82yx=，即()4e8e4yx=+（2）()f x的定义域为()()()0,ln 2f xaaa+，即()()41e4 ln 2ln 20 xaxaaa 设()()()41e4 ln 2ln 2xg xaxaaa=，则()4144exagxx=因为0a，所以()gx在()0,+上为增函数，当0 x 时，()gx，当x +时，()gx+，所以存在唯一的00 x，使()0410044e0 xagxx=，且当()00,xx时，()0gx 由()0410044e0 xagxx=，得0410exax=，则()()00ln 2ln 241axx=+所以()()()()000414141min000()e4 ln 2ln 2ee4ln 21 ln 2xxxg xaxaaaxxa=+学科网（北京）股份有限公司()0412000e1 5 ln 240 xxxx=因为()()2000000011 5 ln 245ln 240 xxxxxxx=，所以()00015ln 240 xxx 设()()15ln 24h xxxx=，易知它在()0,+上为减函数，注意到102h=，所以0102x又0410exax=，设()411e02xu xxx=，可知()u x在10,2上单调递增，则e0,2a，即实数a的取值范围是e0,2 分评分细则：【1】第一问，写出()4144exfxx=，得 2 分，正确求出曲线()yf x=的切线方程，累计得 4分【2】第二问，写出()4144exagxx=，累计得 6 分，推导出()()00ln 2ln 241axx=+，累计得 8 分，推出()0412000e1 5 ln 240 xxxx，累计得 9 分证出()()4141 e0 xuxx=+，累计得 11 分，求出实数a的取值范围是e0,2，累计得 12 分【3】采用其他方法，参照本评分标准依步骤给分