陕西省安康市2023-2024学年高三上学期第一次质量联考数学（理科）试题含答案.pdf
学科网（北京）股份有限公司20232024 学年度安康市高三年级第一次质量联考学年度安康市高三年级第一次质量联考数学试卷（理科）数学试卷（理科）考生注意：考生注意：1.本试卷分第本试卷分第 I 卷（选择题）和第卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，共卷（非选择题）两部分，共 150 分分.考试时间考试时间 120 分钟分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上请将各题答案填写在答题卡上.第第卷卷一一选择题：本大题共选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合1,1,1,23,12AaBaa，若AB，则a（）A.2 B.23 C.1 D.02.若复数i 1i43iaa ，则实数a（）A.2 B.2 C.-2 D.13.设,x y满足约束条件36 0,33 0,26 0,xyxyxy则2zxy的最小值为（）A.-12 B.3 C.-10 D.04.已知0.30.3ln0.3,log0.5,5abc，则（）A.bca B.abcC.cba D.bac5.某地居民对某项服务满意度评分的频率分布直方图如图所示，若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，则估计该地居民对这项服务满意度评分的平均值为（）A.67.5 B.68 C.67 D.66.56.已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左右焦点分别为12,F F P为椭圆上一点，1PF的最大值为 6，且学科网（北京）股份有限公司12122PFPFFF，则椭圆C的标准方程为（）A.221128xy B.221169xyC.2211612xy D.221129xy7.在ABC中，角,A B C的对边分别是,a b c，已知34 5,5,cos5abA，则c（）A.11 B.6 C.5 D.98.函数 sincos55xxf x 的最小正周期和最小值分别是（）A.10和-2 B.5和2 C.10和2 D.5和-29.函数 22exf xx的极大值点为（）A.-2 B.2e C.0 D.-110.已知 f x是定义在R上的奇函数，且 f x单调递增，若 32f，则不等式232fx的解集为（）A.0,6 B.3,3 C.6,0 D.6,611.过抛物线2:8C yx的焦点作直线12,l l与抛物线C分别交于点,A B和点,M N，若直线1l与2l互相垂直，则ABMN的最小值为（）A.8 B.16 C.24 D.3212.已知圆锥的底面半径为 4，母线长为 9，则该圆锥内半径最大的球的表面积为（）A.16513 B.32013 C.320 65169 D.165 6513第第 II 卷卷二二填空题：本大题共填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.一批产品的次品率为 0.01，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取 100 次.X表示抽到的次品件数，则D X _.14.225coscos1212_.学科网（北京）股份有限公司15.九章算术商功：“斜解立方（正方体），得两堑堵.”如图，在堑堵111ABCABC中，则异面直线1AB与1BC所成的角为_.16.已知向量1,2,3,4ab，若a,c abc，则c _.三三解答题：共解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答题为必考题，每个试题考生都必须作答.第第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分.17.（12 分）已知 na是各项均为正数的等比数列，1328,332aaa.（1）求 na的通项公式；（2）设4lognnba，求 nb的前n项和nT.18.（12 分）如图，在四棱锥PABCD中，PC 平面,ABCD ABCD为矩形，,M N分别是,PB CD的中点.（1）证明：MN平面PAD.（2）若23412PCABBC，求平面AMN与平面ABCD夹角的余弦值.19.（12 分）某商场进行有奖促销，一次性消费 5000 元以上的顾客可以进行抽奖，游戏规则如下：甲盒中装有 2 个红球和3 个白球，乙盒中装有 3 个红球和 2 个白球，先从甲盒中一次性取两个球，若两球同色奖励 100 元购物券，不同色没有奖励，并将取出的两个球（不管是否同色）放入乙盒中；再从乙盒中一次性取出两个球，若两球同色再奖励 100 元购物券，不同色没有奖励，并将取出的两个球（不管是否同色）放入甲盒；若前两次都没学科网（北京）股份有限公司有获得奖励可再获得一次抽奖机会，从甲乙两盒中各取一个球，若两球同色奖励 100 元购物券，不同色没有奖励，抽奖结束.已知顾客A获得了抽奖机会.（1）求顾客A获得 200 元购物券的概率；（2）试判断顾客A获得多少元购物券的概率最大.20.（12 分）已知函数 21ln12f xa xaxx.（1）求 f x的单调区间；（2）当0a 时，对任意1,x，不等式 21e2axf xxxax恒成立，求实数a的取值范围.21.（12 分）设双曲线2222:1(,0)xyCa bab的左右焦点分别为12,F F，且焦距为 4，点6,1在双曲线 C 上.（1）求双曲线C的方程；（2）已知M是直线22ax 上一点，直线2MF交双曲线C于,A B两点（A在第一象限），O为坐标原点，过点M作直线OA的平行线,l l与直线OB交于点P，与x轴交于点Q，证明：P为线段MQ的中点.（二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 两题中任选一题作答两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分如果多做，则按所做的第一题计分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为,56xtyt（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为262sin.（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（2）求曲线C上一点P到直线l的距离d的最大值.23.选修45：不等式选讲（10 分）已知函数()|24|(0)f xxxaa.（1）若2a，求不等式 4f x 的解集；（2）若 f x的图象与x轴围成的三角形面积为 6，求a.学科网（北京）股份有限公司20232024 学年度安康市高三年级第一次质量联考学年度安康市高三年级第一次质量联考数学试卷参考答案（理科）数学试卷参考答案（理科）1.D 因为AB，所以1B.当231a时，2a，此时11a，舍去；当1 21a时，0a，此时1,1,1,3,1AB ，符合题意.2.C 因为2i 1i21 i43iaaaa ，所以224,13,aa 故2a .3.A 作出可行域（图略），当直线2zxy经过点0,6时，z有最小值，最小值为-12.4.B 因为0.30.3ln0.30,log0.50,1,51abc，所以abc.5.A 45 0.1 55 0.265 0.375 0.285 0.1595 0.0567.5x.6.C 因为1PF的最大值为ac，所以6ac.因为12122PFPFFF，由椭圆定义得24ac，即2ac，所以2,4ca.因为222abc，所以2 3b，所以椭圆C的标准方程为2211612xy.7.A 因为2222cosabcbcA，且34 5,5,cos5abA，所以280256cc，整理得26555110cccc，故11c.8.C 因为 sincos2sin5554xxxf x，所以 f x的最小正周期是21015，最小值为2.9.D 因为 221 exfxx x，所以 f x在,1,0,上单调递增，在1,0上单调递减，故极大值点为-1.10.A 因为 f x为奇函数，且 32f，所以32f .因为 f x单调递增，所以不等式232fx等价于3 33x，故0,6x.11.D 设直线1l与2l的斜率分别为12,k k，则121k k ，联立方程组122,8,ykxyx消去y并整理得22221114240k xkxk，设1122,A x yB xy，则211222114284kxxkk，学科网（北京）股份有限公司 12218228ABAFBFxxk，同理2288MNk，于是得212221218811616832ABMNkkkk，当且仅当22121kk时，等号成立，所以ABMN的最小值为 32.12.B 圆锥内半径最大的球为该圆锥的内切球，如图，该圆锥的母线长9BS，底面半径BC 4，则高2265SCBSBC.记该内切球与母线BS切于点D，则,4ODOCr BCBD.在 RtSOD中，222SOODSD，即222(65)(94)25rr，解得4 6513r，故所求球的表面积为2320413r.注：也可用三角形的内切圆半径公式计算，在SAB中，9,SASBAB8，高65SC，则19982r，所以4 6513r，故所求球的表面积为32013.13.0.99 因为100,0.01XB，所以100 0.01 0.990.99D X.14.32 因为5coscossin1221212，所以222253coscossincoscos 2cos121212121262 .15.2 由题意知斩堵111ABCABC为半个正方体，连接1AB，则11ABAB.因为1111111,ABAC ABACA，所以1AB 平面11ABC，所以11ABBC，所以异面直线1AB与1BC所成的角为2.学科网（北京）股份有限公司16.5 因为1,2,aa c，所以可设,2c.因为abc，所以0abca ba c.因为3,4b，所以550，得1，所以1,2c，故5c.17.解：（1）设 na的公比为q，因为1328,332aaa，所以282432qq，即234410qqqq，解得1q 或4q.因为0na，所以4q，故1218 42nnna.（2）由（1）知21441loglog 22nnnban，所以2112222nn nnnTn.18.（1）证明：取AB的中点G，连接,MG NG.因为,M G分别是,PB AB的中点，所以MGPA.因为,N G分别是,CD AB的中点，且ABCD为矩形，所以NGAD.因为,MGNGG ADPAA，所以平面MNG平面PAD.因为MN 平面MNG，所以MN平面PAD.学科网（北京）股份有限公司（2）解：由题意易知，,CP CB CD两两垂直.如图，以C为坐标原点，,CD CB CP 的方向分别为,x y z轴的正方向建立空间直角坐标系.因为23412PCABBC，所以4,3,0A，32,0,0,0,32NM.设平面AMN的法向量为,mx y z，因为34,3,2,3,02AMAN ，所以3430,2230.m AMxyzm ANxy 令3x，得3,2,3m.取平面ABCD的一个法向量为0,0,1n，因为33 22cos,2222 1m nm nm n ，所以平面AMN与平面ABCD夹角的余弦值为3 2222.19.解：（1）记顾客A获得 200 元购物券为事件M，即前两次取的球都同色，所以顾客A获得 200 元购物券的概率222222225333722222222225757557CC C C CCC C1919.C CCC CCC105P M（2）顾客A获得购物券的金额可能为 0 元，100 元，200 元.记顾客A获得 0 元购物券为事件N，即前两次取的球均不同色，第三次取的球仍不同色，111111112343223322115755C CC CC CC C156CCC C875P N，学科网（北京）股份有限公司所以顾客A获得 100 元购物券的概率为19156168211058752625，所以顾客A获得 100 元购物券的概率最大.20.解：（1）2111(0)xaxaxaxafxaxxxxx.当0a时，f x在0,1上单调递减，在1,上单调递增.当01a时，令 0fx，得0 xa或1x，令 0fx，得1ax，所以 f x在0,a和1,上单调递增，在,1a上单调递减.当1a 时，0fx恒成立，则 f x在0,上单调递增.当1a 时，令 0fx，得01x或xa，令 0fx，得1xa，f x在0,1和,a上单调递增，在1,a上单调递减.综上所述，当0a时，f x的单调递减区间为0,1，单调递增区间为1,；当01a时，f x的单调递增区间为0,a和1,，单调递减区间为,1a；当1a 时，f x的单调递增区间为0,，无单调递减区间；当1a 时，f x的单调递增区间为0,1和,a，单调递减区间为1,a.（2）21e2axf xxxax，即lneaxa xx x，整理得lnlnee.aaxxxx因为1,0 xa，所以1,e1axx.令 ln,1,g xxx x.因为 110gxx，所以 g x在1,上单调递减.因为lnelneeaaaxxxg xxxg，所以eaxx，所以lna x x.因为ln0 x，所以lnxax.令,1,lnxh xxx，则 2ln1(ln)xh xx.令 0h x，得ex，令 0h x，得1ex，学科网（北京）股份有限公司所以 h x在1,e上单调递减，在e,上单调递增，所以 min()ee,h xh所以0ea，即实数a的取值范围是0,e.21.（1）解：因为焦距为 4，所以2c.将点6,1代入C的方程中，得22611ab.因为2224abc，解得223,1ab，所以双曲线C的方程为2213xy.（2）证明：由（1）知，M的横坐标为32，设直线2MF的方程为2xmy，则12Mym.联立方程组222,1,3xmyxy得223410mymy.设1122,A x yB xy，则12122241,333myyy ymmm.因为lOA，所以直线l的方程为1113222yyxmmy.直线OB的方程为222yyxmy，联立方程组112213,222,2yyxmmyyyxmy得12212122y yymyyy，由12122241,33myyy ymm两式相除，得121214y yyym，则121214y yyym，学科网（北京）股份有限公司所以12212212121112222Py yyyyymmmyyyyy121211224yymyym.因为0Qy，所以2MQPyyy，故P为线段MQ的中点.22.解：（1）因为直线l的参数方程为,56xtyt（t为参数），所以直线l的普通方程为650 xy.因为曲线C的极坐标方程为262sin，所以2262sin，即2222sin6.因为222,sin,xyy所以22236xy，所以曲线C的直角坐标方程为221.32xy（2）因为曲线C的参数方程为3cos,2sinxy（为参数），所以设3cos,2sinP，所以3 2cos2sin52 5cos5,77d当cos1时，max3 357d.23.解：（1）若2a，则 242f xxx.当2x时，由242 4xx，得10 x，所以102x；当22x 时，242 4xx，得23x，所以223x ；学科网（北京）股份有限公司当2x时，由242 4xx，得2x，所以x.综上所述，不等式 4f x 的解集为210,3.（2）因为 4,2,2434,2,4,xa xf xxxaxaxaxa x a 所以 f x的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为44,0,03aAaB，2,2Ca，所以ABC的面积为214242(2)233aaaa.由22(2)63a，得1a 或5a （舍去），故1a.
