2023-2024学年秋季8年级上册数学人教版课时练《13.3.2 等边三角形》03（含答案）.docx

1332等边三角形课时练一、选择题1如图，已知和都是等边三角形，且 、三点共线与交于点，与交于点，与交于点，连结以下五个结论：；是等边三角形；其中正确结论的有（ ）个A5B4C3D22已知，在ABC中，如图，（1）分别以B，C为圆心，BC长为半径作弧，两弧交于点D； （2）作射线AD，连接BD，CD根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）ABBCD是等边三角形CAD垂直平分BCD3如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，若AC平分DAB，且AB=AC，AC=AD，有四个结论：ACBD；BC=DC；ABCADC；ABD 是等边三角形其中正确的是( )ABCD4如图点在同一条直线上，都是等边三角形，相交于点O，且分别与交于点，连接，有如下结论：；为等边三角形；其中正确的结论个数是（ ）A1个B2个C3个D4个5如图，过边长为 1 的等边ABC 的边 AB 上一点 P，作 PEAC 于 E，Q 为 BC 延长线上一点，当 PA=CQ 时，连PQ 交 AC 边于 D，则 DE 的长为（ ）A05B1C025D26已知AOB30°，点P在AOB的内部，OP=8，在OA、OB上分别取点M、N，使OMN的周长最短，则PMN周长的最小值为（ ）A4B8C16D327如图，在等边ABC中，AD是BC边上的高，BDE=CDF=30°，在下列结论中：ABDACD；2DE=2DF=AD；ADEADF；4BE=4CF=AB正确的个数是（）A1B2C3D48设是边长为的正三角形内的一点，到三边的距离分别为若以为边可以组成三角形，则应满足的条件为（）ABCD9边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图），按此方式依次操作，则第6个正六边形的边长为（ ）ABCD10如图，AOB30°，点P是AOB内的定点，且OP3若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则PMN周长的最小值是（ ）A12B9C6D3二、填空题11如图所示，AOB60°，点P是AOB内一定点，并且OP2，点M、N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，当PMN的周长取最小值时，点O到线段MN的距离为_12已知等边的边长为3，点在直线上，点在直线上，且，若，则的长为_13如图，过边长为1的等边三角形ABC的边AB上一点P，作PEAC于点E，Q为BC延长线上一点，当APCQ时，PQ交AC于D，则DE的长为_14如图，已知中，D为上一点，且，则的度数是_15如图，ABC和CDE都是等边三角形，且EBD=72°，则AEB的度数是_三、解答题16在ABC中，ACB=90°，A=30°，BD是ABC的角平分线，DEAB于点E（1）如图1，连接EC，求证：EBC是等边三角形；（2）点M是线段CD上的一点（不与点C，D重合），以BM为一边，在BM的下方作BMG=60°，MG交DE延长线于点G请你在图2中画出完整图形，并直接写出MD，DG与AD之间的数量关系；（3）如图3，点N是线段AD上的一点，以BN为一边，在BN的下方作BNG=60°，NG交DE延长线于点G试探究ND，DG与AD数量之间的关系，并说明理由17在边长为9的等边三角形ABC中，点Q是BC上一点，点P是AB上一动点，以1个单位每秒的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒（1）如图1，若BQ=6，PQ/AC求t的值；（2）如图2，若点P从点A向点B运动，同时点Q以2个单位的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时，为等边三角形（3）如图3，将边长为9的等边三角形ABC变换为AB，AC为腰，BC为底的等腰三角形，且AB=AC=10，BC=8，点P运动到AB中点处静止，点M，N分别为BC，AC上动点，点M以1个单位每秒的速度从点B向C运动，同时N以a个单位每秒的速度从点C向A运动，当全等时，求a的值18如图1，已知ABC和EFC都是等边三角形，且点E在线段AB上（1）求证：BFAC；（2）过点E作EGBC交AC于点G，试判断AEG的形状并说明理由；（3）如图2，若点D在射线CA上，且EDEC，求证：ABADBF19小敏与同桌小颖在课下学习中遇到这样一道数学题：“如图（1），在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且，试确定线段与的大小关系，并说明理由”小敏与小颖讨论后，进行了如下解答：（1）取特殊情况，探索讨论：当点为的中点时，如图（2），确定线段与的大小关系，请你写出结论：_（填“”，“”或“”），并说明理由（2）特例启发，解答题目：解：题目中，与的大小关系是：_（填“”，“”或“”）理由如下：如图（3），过点作EFBC，交于点（请你将剩余的解答过程完成）（3）拓展结论，设计新题：在等边三角形中，点在直线上，点在直线上，且，若的边长为，求的长（请你画出图形，并直接写出结果）20在ABC中，AB=AC，D是直线BC上一点，以AD为一条边在AD的右侧作ADE，使AE=AD，DAE=BAC，连接CE（1）如图，当点D在BC延长线上移动时，若BAC=40°，则ACE=，DCE=，BC、DC、CE之间的数量关系为；（2）设BAC=，DCE=当点D在BC延长线上移动时，与之间有什么数量关系？请说明理由；当点D在直线BC上（不与B，C两点重合）移动时，与之间有什么数量关系？请直接写出你的结论（3）当CEAB时，若ABD中最小角为15°，试探究ACB的度数（直接写出结果，无需写出求解过程）21如图，在中，点为内一点，且（1）求证：；（2）若，为延长线上的一点，且求的度数若点在上，且，请判断、的数量关系，并说明理由若点为直线上一点，且为等腰，直接写出的度数22如图，已知ABC和ADE均为等边三角形，BD、CE交于点F（1）求证：BD=CE；（2）求EFB的度数23（1）如图1，和都是等边三角形，且，三点在一条直线上，连接，相交于点，求证：（2）如图2，在中，若，分别以，和为边在外部作等边，等边，等边，连接、恰交于点求证：； 如图2，在（2）的条件下，试猜想，与存在怎样的数量关系，并说明理由参考答案1A 2D 3A 4D 5A 6B 7D 8B 9A 10D111123或9131420°15132°16（1）证明：如图1所示：在RtABC中，ACB=90°，A=30°，ABC=60°，BC= AB BD平分ABC，1=DBA=A=30°DA=DBDEAB于点EAE=BE= AB BC=BEEBC是等边三角形；（2）结论：AD=DG+DM证明：如图2所示：延长ED使得DW=DM，连接MW，ACB=90°，A=30°，BD是ABC的角平分线，DEAB于点E，ADE=BDE=60°，AD=BD，又DM=DW，WDM是等边三角形，MW=DM，在NGM和DBM中，WGMDBM，BD=WG=DG+DM，AD=DG+DM（3）结论：AD=DGDN证明：如图延长BD至H，使得DH=DN由（1）得DA=DB，A=30°DEAB于点E2=3=60°4=5=60°NDH是等边三角形NH=ND，H=6=60°H=2BNG=60°，BNG+7=6+7即DNG=HNB在DNG和HNB中，DNGHNB（ASA）DG=HBHB=HD+DB=ND+AD，DG=ND+ADAD=DGND17解：（1）是等边三角形，PQ/AC，是等边三角形，由题意可知：，则，解得：，故t的值为3；（2）当点Q在边BC上时，已知此时不可能为等边三角形；当点Q在边AC上时，若为等边三角形，则，由题意可知，解得：，故当时，为等边三角形；（3）由题意可知：，则，若，则，即：，解得：；若，则，即：，解得：；综上所述：当全等时，a的值为1或18解：（1）如图1，ABC和EFC都是等边三角形，ACB=ECF=A= 60°，AC=BC，CE=FC，1+3=2+3，1=2，在ACE与FCB中，,ACEFCB，CBF=A =60°，CBF =ACB，ACBF；（2）AEG是等边三角形，理由如下：如图，过E作EGBC交AC于G，ABC=ACB=60°，AEG=AGE=60°，AEG是等边三角形（3）如图2，过E作EGBC交AC于G，由（2）可知AEG是等边三角形，AE=EG=AG，GAE=AGC=60°，DAE=EGC=120°，DE=CE，D=1，ADEGCE，AD=CG，AC=AG+CG=AG+AD，由（1）得ACEFCB，BF=AE，BF=AG，AC=BF+AD，AB=BF+AD19解：（1），理由如下：，是等边三角形，点为的中点，；故答案为：；（2），理由如下：如图3：为等边三角形，且EFBC，；，在与中，（AAS），为等边三角形，（3）如图4，当点在的延长线上时，过点作EFBC，交的延长线于点：则，；，；为等边三角形，；而，；在和中，（AAS），；为等边三角形，；如图5，当点在的延长线上时，过点作EFBC，交的延长线于点：类似上述解法，同理可证：，、20（1）如图1所示：DAE=BAC，DAE+CAD=BAC+CAD，BAD=CAE在BAD和CAE中，BADCAE（SAS），ACE=B（180°40°）=70°，BD=CE，BC+DC=CEACD=B+BAC=ACE+DCE，BAC=DCEBAC=40°，DCE=40°故答案为：70°，40°，BC+DC=CE；（2）当点D在线段BC的延长线上移动时，与之间的数量关系是=理由如下：DAE=BAC，DAE+CAD=BAC+CAD，BAD=CAE在BAD和CAE中，BADCAE（SAS），B=ACEACD=B+BAC=ACE+DCE，BAC=DCEBAC=，DCE=，=；分三种情况：（）当D在线段BC上时，+=180°，如图2所示理由如下：同理可证明：ABDACE（SAS），ADB=AEC，ABC=ACEADC+ADB=180°，ADC+AEC=180°，DAE+DCE=180°BAC=DAE=，DCE=，+=180°；（）当点D在线段BC反向延长线上时，=，如图3所示理由如下：同理可证明：ABDACE（SAS），ABD=ACEACE=ACD+DCE，ABD=ACD+BAC，ACD+DCE=ACD+BAC，BAC=DCEBAC=，DCE=，=；（）当点D在线段BC的延长线上时，如图1所示，=；综上所述：当点D在BC上移动时，=或+=180°；（3）ACB=60°理由如下：当点D在线段BC的延长线上或在线段BC反向延长线上移动时，=，即BAC=DCECEAB，ABC=DCE，ABC=BACAB=AC，ABC=ACB=BAC，ABC是等边三角形，ACB=60°；当D在线段BC上时，+=180°，即BAC+DCE=180°CEAB，ABC+DCE=180°，ABC=BACAB=AC，ABC=ACB=BAC，ABC是等边三角形，ACB=60°；综上所述：当CEAB时，若ABD中最小角为15°，ACB的度数为60°21（1）CB=CA，DB=DA， CD垂直平分线段AB，CDAB；（2）在ADC和BDC中，ADCBDC（SSS），ACD=BCD=BCA=45°，CAD=CBD=15°，BDC=180-45°-15°=120°；结论：ME=BD，理由：连接MC，CAB=CBA=45°，CAD=CBD=15°，DBA=DAB=30°，BDE=30°+30°=60°，由得BDC=120°，CDE=60°，DC=DM，CDE=60°，MCD为等边三角形，CM=CD，EC=CA=CB，DMC=60°，E=CAD=CBD=15°，EMC=120°，在BDC和EMC中，BDCEMC（AAS），ME=BD；当EN=EC时，=75°或 =825°；当EN=CN时， =150°；当CE=CN时，点N与点A重合，CNE=15°，所以CNE的度数为75°或15°或825°或150°22（1）证明：ABC和ADE均为等边三角形，AE=AD、AB=AC，又EAD=BAC=60°，EAD+DAC=BAC+DAC，即DAB=EAC，在EAC和DAB中，EACDAB，BD=CE；（2）解：由（1）EACDAB，可得ECA=DBA，在等边ABC中，ABC=ACB=60°， EFC=FCB+FBC=FCA+ACB+FBC=ACB+ABC=60°+60°=120°23（1）证明：和都是等边三角形， BC=AC，CE=CD，ACB=DCE=60°， ABC+ACE=DCE+ACE， 即BCE=ACD， （SAS）， BE=AD； （2）证明：和是等边三角形， AC=BC，CD=CE，ACB=DCE=60°， ACB+BCD=DCE+BCD， 即ACD=BCE， （SAS）， AD=BE， 同理：（SAS）， AD=CF， 即AD=BE=CF； 解：结论：PB+PC+PD=BE，理由：如图2，AD与BC的交点记作点Q，则AQC=BQP， 由知， CAD=CBE， 在中，CAD+AQC=180°-ACB=120°， CBE+BQP=120°， 在中，APB=180°-（CBE+BQP）=60°， DPE=60°， 同理：APC=60°， CPD=120°， 在PE上取一点M，使PM=PC， 是等边三角形， ，PCM=CMP=60°， CME=120°=CPD， 是等边三角形， CD=CE，DCE=60°=PCM， PCD=MCE， （SAS）， PD=ME， BE=PB+PM+ME=PB+PC+PD