艺术生高考数学专题讲义-考点28等差数列.docx

考点二十八 等差数列知识梳理1数列的定义按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项2数列的通项公式如果数列an的第n项与序号n之间的函数关系可以用一个式子表示成anf(n)，那么这个式子叫作这个数列的通项公式3已知数列an的前n项和Sn，则an.4数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列an1>an其中nN递减数列an1<an常数列an1an5等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差是同一个常数，我们称这样的数列为等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，通常用字母d表示6等差数列的通项公式如果等差数列an的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是ana1(n1)d.说明：等差数列an的通项公式可以化为anpnq(其中p，q为常数)的形式，即等差数列的通项公式是关于n的一次表达式，反之，若某数列的通项公式为关于n的一次表达式，则该数列为等差数列.7等差数列的前n项和公式设等差数列an的公差为d，其前n项和Sn，则Snna1d.说明：数列an是等差数列SnAn2Bn(A、B为常数)这表明d1时，等差数列的前n项和公式是关于n的二次表达式，并且没有常数项.8等差中项如果A，那么A叫作a与b的等差中项9等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN)(2)若an为等差数列，且klmn(k，l，m，nN)，则akalaman.(3)若an是等差数列，公差为d，则a2n也是等差数列，公差为2d.(4)若an，bn是等差数列，则panqbn也是等差数列(5)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN)是公差为md的等差数列(6) 若an是等差数列，则Sk，S2kSk，S3kS2k，(kN) 也是等差数列10等差数列的前n项和的最值在等差数列an中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值典例剖析题型一 基本量法在等差数列中的运用例1设Sn为等差数列an的前n项和，若a33，S9S627，则该数列的首项a1等于_答案 解析 由得解得a1.变式训练 等差数列an的前n项和为Sn，已知a58，S36，则S10S7的值是_答案 48解析 设等差数列an的公差为d，由题意可得，解得，则S10S7a8a9a103a124d48.解题要点 在等差数列中，a1，an，d，n，Sn这五个基本量，只要知道其中三个，就可以求出另外两个，即“知三求二”。解题时利用的是方程的思想，即构造基本量有关的方程或方程组求解。题型二 利用等差数列的性质解题例2(1)设数列an，bn都是等差数列若a1b17，a3b321，则_.(2) 等差数列an中，a1a510，a47，则数列an的公差为_答案(1)35 (2) 2解析(1)，为等差数列，为等差数列，(a1b1)(b5a5)2(a3b3)42，a5b542735.(2) a1a52a310，a35，又a47，da4a32.变式训练 (1)在等差数列an中，已知a4a816，则该数列前11项和S11等于_ (2) 已知等差数列an的前n项和为Sn，且S1010，S2030，则S30_.答案(1) 88 (2) 60解析(1)S1188.(2) S10，S20S10，S30S20成等差数列，且S1010，S2030，S20S1020，S3030102×1030，S3060.解题要点 在等差数列an中，数列Sm，S2mSm，S3mS2m也成等差数列；也是等差数列等差数列的性质是解题的重要工具题型三 等差数列的前n项和例3设Sn为等差数列an的前n项和，a128，S99，则S16_.答案 72解析 设等差数列an的首项为a1，公差为d，由已知，得解得S1616×3×(1)72.变式训练 在等差数列an中，a11，a33.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列an的前k项和Sk35，求k的值解析 (1)设等差数列an的公差为d，则ana1(n1)d.由a11，a33，可得12d3，解得d2.从而an1(n1)×(2)32n.(2)由(1)可知an32n，所以Sn2nn2.由Sk35，可得2kk235，即k22k350，解得k7或k5.又kN*，故k7.解题要点 1. 等差数列前n项和Sn公式为：Snna1d.在求解前n项和时，应根据题意选取合适的求和公式。2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法题型四 等差数列的前n项和的最值问题例4在等差数列an中，已知a120，前n项和为Sn，且S10S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值解析 a120，S10S15，10×20d15×20d，d.法一：由an20(n1)×n.得a130.即当n12时，an0，n14时，an0.当n12或13时，Sn取得最大值，且最大值为S12S1312×20×130.法二：Sn20n·n2n2.nN*，当n12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12S13130.解题要点 求等差数列前n项和Sn最值的两种方法(1)配方法：利用等差数列前n项和的函数表达式Snan2bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解(2)不等式组法：a1>0，d<0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm；当a1<0，d>0时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.当堂练习1(2015重庆理)在等差数列an中，若a24，a42，则a6_答案0解析由等差数列的性质，得a62a4a22×240.2(2015新课标文)已知an是公差为1的等差数列，Sn为an的前n项和，若S84S4，则a10等于_答案解析公差为1，S88a1×18a128，S44a16.S84S4，8a1284(4a16)，解得a1，a10a19d9.3. 等差数列an的前n项和为Sn，已知a58，S36，则S10S7的值是_答案 48解析 设等差数列an的公差为d，由题意可得解得则S10S7a8a9a103a124d48.4设等差数列an的前n项和为Sn，若a29，a3a76，则当Sn取得最小值时，n_答案 6解析 a3a72a56，a53，d2，a61，a71，S6最小.5等差数列中，3(a3a5)2(a7a10a13)24，则该数列前13项的和是_答案 26解析 a3a52a4，a7a10a133a10，6(a4a10)24，故a4a104.S1326.课后作业一、 填空题1 (2015新课标II文)设Sn是等差数列an的前n项和，若a1a3a53，则S5等于_答案5解析an为等差数列，a1a52a3，a1a3a53a33，得a31，S55a35.2设Sn为等差数列an的前n项和，S84a3，a72，则a9_答案 6解析 由S84a3知：a1a8a3，a8a3a12da7d，所以a7d2.所以a9a72d246.3在等差数列中，a22，a1015，则a18的值为_答案 28解析 为等差数列，a2a182a10，a182a10a228.4在等差数列an中，若a1a510，a47，则数列an的公差为_答案2解析a1a5102a3，a35.故da4a3752.5已知数列an为等差数列，其前n项和为Sn，若a36，S312，则公差d等于_答案2解析由已知得S33a212，即a24，da3a2642.6已知等差数列an中，a3a4a5a68，则S7_答案 28解析 an为等差数列，a4a62a5，a3a4a5a6a3a52a48，a44，S77a428.7在等差数列an中，若a2a4a6a8a1080，则a7a8的值为_答案8解析a2a4a6a8a105a680，a616.a7a88.8已知等差数列an满足a1>0,5a88a13，则前n项和Sn取最大值时，n的值为_答案 21解析 由5a88a13得5(a17d)8(a112d)da1，由ana1(n1)da1(n1)0，得n21，数列an前21项都是正数，以后各项都是负数，故Sn取最大值时，n的值为21.9(2015安徽文)已知数列an中，a11，anan1(n2)，则数列an的前9项和等于_答案27解析由已知数列an是以1为首项，以为公差的等差数列S99×1×91827.10(2015广东理)在等差数列an中，若a3a4a5a6a725，则a2a8_.答案10解析因为an是等差数列，所以a3a7a4a6a2a82a5，a3a4a5a6a75a525，即a55，a2a82a510.11(2015陕西理)中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为_答案5解析由题意设首项为a1，则a12 0152×1 0102 020，a15.二、解答题12 (2015四川文)设数列an(n1,2,3，)的前n项和Sn满足Sn2ana1，且a1，a21，a3成等差数列 (1)求数列an的通项公式； (2)设数列的前n项和为Tn，求Tn.解析(1)由已知Sn2ana1，有anSnSn12an2an1(n2)，即an2an1(n2)，从而a22a1，a32a24a1，又因为a1，a21，a3成等差数列，即a1a32(a21)，所以a14a12(2a11)，解得a12，所以，数列an是首项为2，公比为2的等比数列，故an2n.(2)由(1)得，所以Tn1.13等差数列an满足a33，a63，求数列an的前n项和Sn的最大值.解析 法一由a33，a63得，解得Snna1dn28n(n4)216.当n4时Sn有最大值16.法二由a33，a63得解得所以an92n.则n4时，an>0，当n5时，an<0，故前4项和最大且S44×7×(2)16.