艺术生高考数学专题讲义-考点6二次函数与函数的最值.docx

考点六 二次函数与函数的最值知识梳理1二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)ax2bxc(a0)顶点式：f(x)a(xm)2n(a0)零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)(2)二次函数的图象和性质解析式f(x)ax2bxc(a>0)f(x)ax2bxc(a<0)图象定义域(，)(，)值域单调性在x上单调递减；在x上单调递增在x上单调递增；在x上单调递减对称性函数的图象关于x对称(3)二次函数对称轴的几种给出形式 二次函数f(x)的顶点坐标为(a,b)，则对称轴为x=a； 二次函数f(x)满足对任意x总有f(x)=f(a)，则对称轴为x； 二次函数f(x)满足对任意x总有f(a+x)=f(a)，则对称轴为xa； 二次函数f(x)满足对任意x总有f(a+x)=f(b)，则对称轴为x.2函数的最值前提函数yf(x)的定义域为D条件(1)存在x0D，使得f(x0)M；(2)对于任意xD，都有f(x)M.(1)存在x0D，使得f(x0)M；(2)对于任意xD，都有f(x)M.结论M为最大值M为最小值说明：闭区间上的二次函数必有最值. 求二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：定轴定区间、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论典例剖析题型一 二次函数的解析式例1二次函数的图象过点(0，1)，对称轴为x2，最小值为1，则它的解析式为_答案 f(x)(x2)21解析 依题意可设f(x)a(x2)21，又其图象过点(0，1)，4a11，a.f(x)(x2)21.变式训练 已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意xR，都有f(2x)f(2x)，求f(x)的解析式答案 f(x)x24x3解析f(2x)f(2x)对xR恒成立，f(x)的对称轴为x2.又f(x)图象被x轴截得的线段长为2，f(x)0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)a(x1)(x3)(a0)又f(x)的图象过点(4,3)，3a3，a1.所求f(x)的解析式为f(x)(x1)(x3)，即f(x)x24x3.解题要点 二次函数解析式的求法根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：(1)已知三个点坐标，宜选用一般式；(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式；(3)已知图象与x轴两交点坐标，宜选用零点式题型二 二次函数的图象和性质例2两个二次函数f(x)ax2bxc与g(x)bx2axc的图象可能是_(填序号) 答案解析 函数f(x)图象的对称轴为x，函数g(x)图象的对称轴为x，显然与同号，故两个函数图象的对称轴应该在y轴的同侧只有满足变式训练 如果函数f(x)x2(a2)xb(xa，b)的图象关于直线x1对称，则函数f(x)的最小值为_答案5解析由题意知得则f(x)x22x6(x1)255. f(x)的最小值为5.题型三 闭区间上二次函数最值例3函数f(x)2x22ax3在区间1，1上最小值记为g(a)，求g(a)的函数表达式解析 当a<2时，函数f(x)的对称轴x<1，则g(a)f(1)2a5；当2a2时，函数f(x)的对称轴x1，1，则g(a)f3；当a>2时，函数f(x)的对称轴x>1，则g(a)f(1) 52a.综上所述，g(a)变式训练 设函数yx22x，x2，a，若函数的最小值为g(a)，求g(a)解析 函数yx22x(x1)21，对称轴为直线x1，当2<a1时，函数在2，a上单调递减，则当xa时，y取得最小值，即ymina22a；当a>1时，函数在2，1上单调递减，在1，a上单调递增，则当x1时，y取得最小值，即ymin1.综上，g(a)解题要点 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考察对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论题型四 二次函数恒成立问题例4对于任意实数x，函数f(x)(5a)x26xa5恒为正值，则a的取值范围是_答案 (4,4)解析 由题意可得解得4a4.变式训练 已知a是实数，函数f(x)2ax22x3在x1,1上恒小于零，求实数a的取值范围解析 2ax22x30在1,1上恒成立当x0时，适合；当x0时，a2，因为(，11，)，当x1时，右边取最小值，所以a.综上，实数a的取值范围是.解题要点 1.二次函数在R上恒成立的两个常见结论：设f(x)ax2bxc，则对于xR，二次函数f(x)>0恒成立，二次函数f(x)<0恒成立.2.对于二次函数在某区间上恒成立问题，可以采取分离参数法，然后根据a> f(x)恒成立，则a> f(x)max，a<f(x)恒成立，则a< f(x)min.当堂练习1若二次函数f(x)满足f(x1)f(x)2x，且f(0)1，则f(x)的表达式为_答案f(x)x2x1解析设f(x)ax2bxc(a0)，由题意得故解得则f(x)x2x1.2已知f(x)x2bxc且f(1)f(3)，则f(3)、c、f() 的大小关系是_答案 cf()f(3)解析 选.由已知可得二次函数图象关于直线x1对称又f(3)f(5)，cf(0)f(2)，二次函数在区间(1，)上单调递增，故有f(3)f(5)f()f(2)f(0)c.3. 函数y2x28x2在区间1，3上的值域为_答案 6，12解析 y2(x2)26.当x2时，y最小为6；当x1时，y最大为12.4已知f(x)x22mx5在2，)上是增函数，则实数m的取值范围是_答案 (，25若二次函数f(x)ax2bxc(a0)满足f(x1)f(x)2x，且f(0)1.(1)求f(x)的解析式；(2)若在区间1，1上，不等式f(x)>2xm恒成立，求实数m的取值范围解析(1)由f(0)1，得c1，f(x)ax2bx1.又f(x1)f(x)2x，a(x1)2b(x1)1(ax2bx1)2x，即2axab2x.因此，所求解析式为f(x)x2x1.(2)f(x)>2xm等价于x2x1>2xm，即x23x1m>0，要使此不等式在区间1，1上恒成立，只需使函数g(x)x23x1m在区间1，1上的最小值大于0即可g(x)x23x1m在区间1，1上单调递减，g(x)ming(1)m1，由m1>0，得m<1.因此满足条件的实数m的取值范围是(，1)课后作业一、 填空题1函数y2x26x3，x1,1，则y的最小值是_答案 1解析 函数y2x26x3的图象的对称轴为x1，函数y2x26x3在x1,1上为单调递减函数，ymin2631.2已知a，b，cR，函数f(x)ax2bxc.若f(0)f(4)>f(1)，则下列说法正确的是_(填序号)a>0,4ab0 a<0,4ab0 a>0,2ab0 a<0,2ab0答案 解析 由f(0)f(4)可知x2，b4a0，又f(0)>f(1)知f(x)先减后增，即a>0.3函数f(x)ax2ax1在R上恒满足f(x)<0，则a的取值范围是_答案 4<a0解析 当a0时，f(x)1在R上恒有f(x)<0；当a0时，f(x)在R上恒有f(x)<0，4<a<0.综上可知：4<a0.4如果函数f(x)x2bxc对任意实数t都有f(2t)f(2t)，那么f(1)、f(2)、f(4)的大小关系是_答案f(2)<f(1)<f(4)解析 f(2t)f(2t)，f(x)关于x2对称，又开口向上f(x)在2，)上单调递增，且f(1)f(3)f(2)<f(3)<f(4)，即f(2)<f(1)<f(4).5已知函数f(x)x24xa(x0,1)，若f(x)有最小值2，则a的值为_答案 2解析 f(x)x24xa(x2)24a，且x0,1，f(x)minf(0)a2，a2.6已知二次函数yx22ax1在区间(2,3)内是单调函数，则实数a的取值范围是_答案 a2或a3解析 对称轴a2或a3，函数在(2,3)内单调递增7已知函数yx22x3在闭区间0，m上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为_答案 1，2解析 如图，由图象可知m的取值范围是1，28已知函数f(x)x22x2的定义域和值域均为1，b，则b等于_答案 2解析 函数f(x)x22x2(x1)21在1，b上递增，由已知条件，即，解得b2.9函数yx22x(x2,4)的增区间为_答案 2,410函数f(x)x23x1，x3，5的最小值为 答案 11解析 f(x)x23x1,其对称轴为,所以函数f(x)x23x1在3，5上递减，所以当x5时，函数有最小值为1111若函数f(x)ax2bx6满足条件f(1)f(3)，则f(2)的值为_答案 6解析 由f(1)f(3)知，对称轴x1，则b2a，所以f(2)4a2b66.二、解答题12已知函数f(x)x22ax3，x4,6(1)当a2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使yf(x)在区间4,6上是单调函数.解析 (1)当a2时，f(x)x24x3(x2)21，则函数在4,2)上为减函数，在(2,6上为增函数，所以f(x)minf(2)1，f(x)maxf(4)(4)24×(4)335.(2)函数f(x)x22ax3的对称轴为xa，所以要使f(x)在4,6上为单调函数，只需a4或a6，解得a4或a6.13二次函数f(x)满足f(x1)f(x)2x，且f(0)1.(1)求f(x)的解析式；(2)在区间1,1上，yf(x)的图象恒在y2xm的图象上方，试确定实数m的取值范围解析 (1)设f(x)ax2bxc，由f(0)1，得c1，故f(x)ax2bx1.f(x1)f(x)2x，a(x1)2b(x1)ax2bx2x，即2axab2x，得f(x)x2x1.(2)由题意得x2x12xm在1,1恒成立，即x23x1m0在1,1上恒成立，设g(x)x23x1m，其对称轴为x，g(x)在1,1上单调递减，g(1)131m0，得m1，故m的取值范围是m1.