艺术生高考数学专题讲义-考点45直线与圆锥曲线的位置关系.docx

考点四十五 直线与圆锥曲线的位置关系知识梳理1直线与圆锥曲线的位置关系的判定(1)代数法：把圆锥曲线方程C1与直线方程l联立消去y，整理得到关于x的方程ax2bxc0.方程ax2bxc0的解l与C1的交点a0b0无解(含l是双曲线的渐近线)无公共点b0有一解(含l与抛物线的对称轴平行(重合)或与双曲线的渐近线平行)一个交点a00两个不相等的解两个交点0两个相等的解一个交点0无实数解无交点说明：在消去时，要特别注意a0时的情形，若a0，b0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点，且若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合(2)几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系2圆锥曲线的弦长设斜率为k (k0)的直线l与圆锥曲线C相交于A、B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x2x1|y2y1|.3中点弦问题中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解(1)点差法即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1x2，y1y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率点差法解题的实质是建立了圆锥曲线的弦的中点坐标与弦所在直线的斜率之间的联系，也是“设而不求”思想的具体应用(2)根与系数的关系即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解(3)在椭圆1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k；在双曲线1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k；在抛物线y22px中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k.典例剖析题型一 直线与圆锥曲线的位置关系的判断及应用例1若过点(0,1)作直线，使它与抛物线y24x仅有一个公共点，则这样的直线有()条答案 3条解析 结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x0，过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x0)变式训练 若直线ykx与双曲线1相交，则k的取值范围是_答案 解析 双曲线1的渐近线方程为y±x，若直线与双曲线相交，数形结合，得k.解题要点 (1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.(2)依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程并消元，得到一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为0，若为0，则方程为一次方程；若不为0，则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解题型二 中点弦问题例2过椭圆1内一点P(3，1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是_答案 3x4y130解析 法1：设直线与椭圆交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由于A、B两点均在椭圆上，故1，1，两式相减得0. P是A、B的中点， x1x26，y1y22， kAB. 直线AB的方程为y1(x3)即3x4y130.法2：直接利用结论k由中点弦斜率公式可得，中点弦所在直线斜率k，所求直线方程为：y1(x3)即3x4y130.变式训练 已知双曲线E的中心为原点，F(3，0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A、B两点，且AB的中点为N(12，15)，则E的方程为_答案 1解析 法1：设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，由题意知c3，a2b29.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有两式作差得，又AB的斜率是1，所以将4b25a2代入a2b29得a24，b25，所以双曲线的标准方程是1.法2：直接利用结论kkABkFN1，又由中点弦斜率公式kAB，1，4b25a2c3，a2b29.联立，解得a24，b25，所以双曲线的标准方程是1.解题要点 点差法是解决此类问题的基本方法，体现了“设而不求”的思想，但对计算要求高记住一些常见结论，更能提高解题效率常见结论有：在椭圆1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k；在双曲线1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k；在抛物线y22px中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k.题型三 弦长问题例3已知倾斜角为60°的直线l通过抛物线x24y的焦点，且与抛物线相交于A、B两点，则弦AB的长为_答案 16解析 直线l的方程为yx1，由得y214y10.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y214， |AB|y1y2p14216.变式训练 过抛物线y28x的焦点F作倾斜角为135°的直线交抛物线于A，B两点，则弦AB的长为_答案 16解析 抛物线y28x的焦点F的坐标为(2，0)，直线AB的倾斜角为135°，故直线AB的方程为yx2，代入抛物线方程y28x，得x212x40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦AB的长|AB|x1x2412416.解题要点 当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化同时还应充分挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍 当堂练习1已知以F1(2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线xy40有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为_答案 2解析 根据题意设椭圆方程为1(b>0)，则将xy4代入椭圆方程，得4(b21)y28b2yb412b20，椭圆与直线xy40有且仅有一个交点，(8b2)24×4(b21)(b412b2)0，即(b24)·(b23)0.b23，长轴长为22.2已知F1、F2为椭圆1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|F2A|F2B|30，则|AB|_答案 22解析 由题意知，a13，(|AF1|AF2|)(|BF1|BF2|)|AB|AF2|BF2|4a52，|BF2|AF2|30，|AB|22.3. 已知椭圆x22y24，则以(1,1)为中点的弦的长度为_答案解析设y1k(x1)，ykx1k.代入椭圆方程，得x22(kx1k)24.(2k21)x24k(1k)x2(1k)240.由x1x22，得k，x1x2.(x1x2)2(x1x2)24x1x24.|AB|·.4(2015四川文)过双曲线x21的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|等于_答案4解析右焦点F(2,0)，过F与x轴垂直的直线为x2，渐近线方程为x20，将x2代入渐近线方程得y212，y±2，A(2,2)，B(2，2)，|AB|4.5(2013·课标全国I)已知椭圆E：1(ab0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点若AB的中点坐标为(1，1)，则E的方程为_答案 1解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由A，B在椭圆上，得两式相减，得.kAB··.其中(x0，y0)为A，B的中点kAB，x01，y01，·(1)，即a22b2.又c3，a2b29.由解得a218，b29.E的方程为1.课后作业一、 填空题1直线ykx2与抛物线y28x有且只有一个公共点，则k的值为_答案 1或0解析 由得ky28y160，若k0，则y2，若k0，若0,即6464k0,解得k1,因此直线ykx2与抛物线y28x有且只有一个公共点，则k0或k1.2已知双曲线x21，过点A(1,1)的直线l与双曲线只有一个公共点，则l的条数为_答案4解析斜率不存在时，方程为x1符合设斜率为k，y1k(x1)，kxyk10.(4k2)x2(2k22k)xk22k50.当4k20，k±2时符合；当4k20，0，亦有一个答案，共4条3已知直线l过抛物线y24x的焦点F，交抛物线于A，B两点，且点A，B到y轴的距离分别为m，n，则mn2的最小值为_答案4解析抛物线y24x的焦点F(1,0)，准线方程为x1，由于直线l过抛物线y24x的焦点F，交抛物线于A，B两点，且点A，B到y轴的距离分别为m，n，所以由抛物线的定义得mn2|AB|，其最小值即为通径长2p44椭圆的焦点为F1，F2，过F1的最短弦PQ的长为10，PF2Q的周长为36，则此椭圆的离心率为_答案解析PQ为过F1垂直于x轴的弦，则Q(c，)，PF2Q的周长为36.4a36，a9.由已知5，即5.又a9，解得c6，解得，即e.5直线l过点(，0)且与双曲线x2y22仅有一个公共点，这样的直线有_答案3条解析该点为双曲线的顶点，与双曲线相切的直线有一条，与渐近线平行的直线有两条，共3条6若直线ykx2与双曲线x2y26的右支交于不同的两点，则k的取值范围是_答案(，1)7已知斜率为的直线l交椭圆C：1(a>b>0)于A，B两点，若点P(2,1)是AB的中点，则C的离心率等于_答案解析kAB，kOP，由kAB·kOP，得×().e.8直线l：yx3与曲线1交点的个数为_答案 3个解析 当x0时，曲线为1；当x0时，曲线为1，如图所示，直线l：yx3过(0,3)，又由于双曲线1的渐近线yx的斜率1，故直线l与曲线1(x0)有两个交点，显然l与半椭圆1(x0)有两个交点，(0,3)记了两次，所以共3个交点. 9动直线l的倾斜角为60°，若直线l与抛物线x22py(p0)交于A、B两点，且A、B两点的横坐标之和为3，则抛物线的方程为_答案 x2y解析 设直线l的方程为yxb，联立消去y，得x22p(xb)，即x22px2pb0，x1x22p3，p，抛物线的方程为x2y.10已知对kR，直线ykx10与椭圆1恒有公共点，则实数m的取值范围是_答案 m1且m5解析 因为直线ykx10过定点(0,1)，要使直线和椭圆恒有公共点，则点(0,1)在椭圆上或椭圆内，即1，整理，得1，解得m1.又方程1表示椭圆，所以m>0且m5，综上m的取值范围为m1且m5.11已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(0，1)，直线l与抛物线C相交于A、B两点，若AB的中点为(2，2)，则直线l的方程为_答案 xy0解析 由题意知，抛物线的方程为x24y，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1x2，联立方程得两式相减得xx4(y1y2)，1，直线l的方程为y2(x2)，即yx.二、解答题12已知椭圆M：1(a>b>0)的短半轴长b1，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为64.(1)求椭圆M的方程；(2)设直线l：xmyt与椭圆M交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过椭圆的右顶点C，求t的值解析 (1)由题意，可得2a2c64，即ac32，又b1，所以b2a2c21，ac32，解得a3，c2，所以椭圆M的方程为y21.(2)由消去x得(m29)y22mtyt290.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2，y1y2.因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C(3，0)，所以CA·CB0.由CA(x13，y1)，CB(x23，y2)得(x13)(x23)y1y20.将x1my1t，x2my2t代入上式，得(m21)y1y2m(t3)(y1y2)(t3)20，将代入上式，解得t或t3.13(2015陕西文)如图，椭圆E：1(ab0)，经过点A(0，1)，且离心率为.(1)求椭圆E的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.解析 (1)由题设知，b1，结合a2b2c2,解得a,所以椭圆的方程为y21.(2)证明由题设知,直线PQ的方程为yk(x1)1(k2),代入y21，得(12k2)x24k(k1)x2k(k2)0，由已知0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x20，则x1x2，x1x2，从而直线AP，AQ的斜率之和 kAPkAQ2k(2k)2k(2k)2k(2k)2k2(k1)2.