艺术生高考数学专题讲义-考点29等比数列.docx

考点二十九 等比数列知识梳理1等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，q说明：等比数列中没有为0的项，其公比也不为0.(2)等比中项：如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项即：G是a与b的等比中项a，G，b成等比数列G2abG±说明：任何两个实数都有等差中项，但与等差中项不同，只有同号的两个数才有等比中项两个同号的数的等比中项有两个，它们互为相反数2等比数列的有关公式(1)通项公式：ana1qn1(2)前n项和公式：Sn3等比数列的性质已知数列an是等比数列，Sn是其前n项和(m，n，p，q，r，kN*)(1)若mnpq2r，则am·anap·aqa；(2)数列am，amk，am2k，am3k，仍是等比数列；(3)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，仍是等比数列(此时an的公比q1)典例剖析题型一 等比数列中基本量解题例1已知等比数列an的前n项和为Sn，a3，S3，则公比q_.答案 1或解析 设数列的公比为q，a3，S3，两式相除得3，即2q2q10.q1或q.变式训练 在等比数列an中，a23，a581，则an_答案 3n1解析 设an的公比为q，依题意得解得因此an3n1.解题要点 在等比数列中，基本量是a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)使问题得解题型二 利用等比数列的性质解题例2已知an为等比数列，a4a72，a5a68，则a1a10等于_.答案7解析方法一由题意得或a1a10a1(1q9)7.方法二由，解得或或a1a10a1(1q9)7.变式训练 在等比数列an中，若a1a2a3a41，a13a14a15a168，则a41a42a43a44_.答案1 024解析(2)方法一a1a2a3a4a1·a1q·a1q2·a1q3a·q61，a13a14a15a16a1q12·a1q13·a1q14·a1q15a·q548，÷：q488q162，又a41a42a43a44a1q40·a1q41·a1q42·a1q43a·q166a·q6·q160(a·q6)·(q16)101·2101 024.方法二由性质可知，依次4项的积为等比数列，设公比为p，设T1a1·a2·a3·a41，T4a13·a14·a15·a168，T4T1·p31·p38p2.T11a41·a42·a43·a44T1·p102101 024.解题要点 在数列问题中，要特别关注项数的特征，等比数列中项数和相等，则积相等，即“若mnpq，则am·anap·aq”，巧妙利用性质可以减少运算量，提高解题速度题型三 等比数列的前n项和及其性质例3若等比数列an满足a1a410，a2a520，则an的前n项和Sn_答案 (2n1)解析 由题意a2a5q(a1a4)，得20q×10，故q2，代入a1a4a1a1q310，得9a110，得a1.故Sn(2n1)变式训练 已知数列an满足2an1an0，a21，则数列an的前10项和S10为_.答案 (2101)解析 2an1an0，.又a21，a12，an是首项为2，公比为q的等比数列，S10(2101).例4设等比数列an的前n项和为Sn，若S6S312，则 S9S3等于_.答案 34解析 由等比数列的性质知S3，S6S3，S9S6仍成等比数列，于是(S6S3)2S3·(S9S6)，将S6S3代入得.变式训练 等比数列an的首项a11，前n项和为Sn，若，则公比q_.答案解析 由，a11知公比q1，则可得.由等比数列前n项和的性质知S5，S10S5，S15S10成等比数列，且公比为q5，故q5，q.解题要点 1. 运用等比数列的前n项和公式时，必须对q1与q1分类讨论2.注意性质的适用范围，公比不为1的等比数列an的前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为qn，当公比为1时，Sn，S2nSn，S3nS4n不一定构成等比数列当堂练习1(2015新课标II文)已知等比数列an满足a1，a3a54(a41)，则a2等于_.答案解析由an为等比数列，得a3a5a，所以a4(a41)，解得a42，设等比数列an的公比为q，则a4a1q3，得2q3，解得q2，所以a2a1q.2等比数列an的前n项和为Sn.已知S3a210a1，a59，则a1_.答案 解析 设数列an的公比为q，若q1，则由a59，得a19，此时S327，而a210a199，不满足题意，因此q1.q1时，S3a1·q10a1，q10，整理得q29.a5a1·q49，即81a19，a1.3. 已知等比数列an的前n项和为Sn，a3，S3，则公比q_.答案 1或解析 设数列的公比为q，a3，S3，a1q2，a1(1qq2).两式相除得3，即2q2q10.q1或q.4已知等比数列an，且a4a82，则a6(a22a6a10)的值为_.答案 4解析 a6(a22a6a10)a6a22a6·a6a6a10a2a4·a8a(a4a8)24.5若an为等比数列，a2a31，a3a42，则a5a6a7等于_.答案 24解析 由已知得解得q2，a1，a5a6a7a5(1qq2)a1q4(1qq2)24.课后作业一、 填空题1已知各项为正的等比数列an满足a3·a94a，a21，则a1_.答案 解析 a3a9a4a，又q>0，q2，a1.2在等比数列an中，若a1a21，a11a124，则a21a22的值为_.答案 16解析 设an的公比为q，则a11a12q10(a1a2)，所以4q10，a21a22q20(a1a2)16.3公比为2的等比数列an的各项都是正数，且a3a1116，则log2a10等于_.答案 5解析 a3·a1116，a16.又等比数列an的各项都是正数，a74.又a10a7q34×2325，log2a105.4在等比数列中，a1a2324，a3a436，则a5a6_.答案 4解析 为等比数列，a1a2，a3a4，a5a6也成等比数列，a5a64.5(2015新课标II理)已知等比数列an满足a13，a1a3a521，则a3a5a7_.答案42解析设等比数列an的公比为q，则由a13，a1a3a521得3(1q2q4)21，解得q23(舍去)或q22，于是a3a5a7q2(a1a3a5)2×2142.6各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn，若Sn2，S3n14，则S4n等于_.答案 30解析 设S2na，S4nb，由等比数列的性质知：2(14a)(a2)2，解得a6或a4(舍去)，同理(62)(b14)(146)2，所以bS4n30.7在等比数列an中，a37，前3项之和S321，则公比q的值为_.答案1或解析根据已知条件得÷得3.整理得2q2q10，解得q1或q.8已知等比数列an的公比为正数，且a3·a92a，a21，则a1_.答案解析因为a3·a92a，则由等比数列的性质有：a3·a9a2a，所以2，即()2q22.因为公比为正数，故q.又因为a21，所以a1.9(2015浙江文)已知an是等差数列，公差d不为零若a2，a3，a7成等比数列，且2a1a21，则a1_，d_.答案1解析因为a2，a3，a7成等比数列，所以aa2a7，即(a12d)2(a1d)(a16d)，a1d，2a1a21，2a1a1d1即3a1d1，a1，d1.10(2015广东文)若三个正数a，b，c成等比数列，其中a52，c52，则b_.答案1解析三个正数a，b，c成等比数列，b2ac(52)(52)1.b为正数，b1.11(2015新课标文)在数列an中，a12，an12an，Sn为an的前n项和若Sn126，则n_.答案6解析由an12an知，数列an是以a12为首项，公比q2的等比数列，由Sn126，解得n6.二、解答题12成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列bn中的b3，b4，b5.(1)求数列bn的通项公式；(2)数列bn的前n项和为Sn，求证：数列Sn是等比数列解析(1)设成等差数列的三个正数分别为ad，a，ad.依题意，得adaad15，解得a5.所以bn中的b3，b4，b5依次为7d,10,18d.依题意，有(7d)(18d)100，解得d2或d13(舍去)故bn的第3项为5，公比为2.由b3b1·22，即5b1×22，解得b1.所以bn是以为首项，以2为公比的等比数列，其通项公式为bn×2n15×2n3.(2)证明：由(1)得数列bn的前n项和Sn5×2n2，即Sn5×2n2.所以S1，2.因此Sn是以为首项，以2为公比的等比数列13设数列an的前n项和为Sn，a11，且数列Sn是以2为公比的等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)求a1a3a2n1.解析 (1)S1a11，且数列Sn是以2为公比的等比数列，Sn2n1，又当n2时，anSnSn12n2(21)2n2，an(2)a3，a5，a2n1是以2为首项，以4为公比的等比数列，a3a5a2n1.a1a3a2n11.