艺术生高考数学专题讲义-考点39直线的交点与距离公式.docx
考点三十九 直线的交点与距离公式知识梳理1两直线相交交点：直线l1：A1xB1yC10和l2：A2xB2yC20的公共点的坐标与方程组的解一一对应相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行方程组无解；重合方程组有无数个解2三种距离公式(1)两点间距离公式点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离：|AB| .(2)点到直线的距离公式点P(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离：d .说明：求解点到直线的距离时，直线方程要化为一般式(3)两平行线间距离公式两平行直线l1：AxByC10与l2：AxByC20 (C1C2)间的距离为d.说明：求解两平行线间距离公式时，两直线x，y前系数要化为相同3过两直线交点的直线系方程过直线l1：A1xB1yC10与l2：A2xB2yC20的交点的直线系方程为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R)，其中是待定系数，在这个方程中，无论但取何值，都得不到A2xB2yC20，因此它不能表示直线l2.4对称问题(1)中心对称若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得，即对称点N坐标为(2ax1，2by1).直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用两直线平行，由点斜式得到所求直线方程(2)轴对称点关于直线的对称若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：AxByC0对称，则线段P1P2的中点在l上，而且连接P1P2的直线垂直于l，由方程组可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B0，x1x2)直线关于直线的对称此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行5关于对称的几个结论(1)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，y)；(2)点(x，y)关于y轴的对称点为(x， y)；(3)点(x，y)关于原点的对称点为(x，y)；(4)点(x，y)关于直线yx的对称点为(y，x)；(5)点(x，y)关于直线yx的对称点为(y，x)；典例剖析题型一 求两直线的交点例1直线2x3y80和直线xy10的交点坐标是_答案(1，2)解析 解方程组得即交点坐标是(1，2)变式训练 两条直线xmy120，2x3ym0的交点在y轴上，则m的值是_答案 ±6解析 设交点坐标为(0，b)，则有解得m±6解题要点 对于直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，它们的交点可由求解题型二 过两直线交点的直线方程求法例2求经过两直线l1：x2y40和l2：xy20的交点P，且与直线l3：3x4y50垂直的直线l的方程解析法一：由方程组，得，即P(0，2)ll3，kl，直线l的方程为y2x，即4x3y60.法二：直线l过直线l1和l2的交点，可设直线l的方程为x2y4(xy2)0，即(1)x(2)y420.l与l3垂直，3(1)(4)(2)0，11，直线l的方程为12x9y180，即4x3y60.变式训练 过两直线2xy50和xy20的交点且与直线3xy10平行的直线方程为_答案 3xy0解析 联立得交点P(1，3)设过点P且与直线3xy10平行的直线方程为3xym0，则3×13m0，解得m0.解题要点 求过两直线交点的直线方程，既可先联立方程组求出交点坐标然后再求方程，也可以利用过两直线交点的直线系求解，需注意，利用直线系方程A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R)求解时，要注意检验直线A2xB2yC20是否符合题意，以免漏求直线题型三 距离公式的应用例3正方形的中心为点C(1,0)，一条边所在的直线方程是x3y50，求其他三边所在直线的方程解析点C到直线x3y50的距离d.设与x3y50平行的一边所在直线的方程是x3ym0(m5)，则点C到直线x3ym0的距离d，解得m5(舍去)或m7，所以与x3y50平行的边所在直线的方程是x3y70.设与x3y50垂直的边所在直线的方程是3xyn0，则点C到直线3xyn0的距离d，解得n3或n9，所以与x3y50垂直的两边所在直线的方程分别是3xy30和3xy90.变式训练 已知直线l1的方程为3x4y70，直线l2的方程为6x8y10，则直线l1与l2的距离为_答案 解析 直线l1的方程为3x4y70，直线l2的方程为6x8y10，即3x4y0，直线l1与l2的距离为.解题要点 正方形的四条边两两平行和垂直，设平行直线系和垂直直线系可以较方便地解决，解题时要结合图形进行有效取舍这个解法可以推广到求平行四边形和矩形各边所在直线的方程运用点到直线的距离公式时，需把直线方程化为一般式；运用两平行线的距离公式时，需先把两平行线方程中x，y的系数化为相同的形式题型四 简单的对称问题例4已知光线从A(4，2)点射出，到直线yx上的B点后被直线yx反射到y轴上的C点，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点D(1,6)，求BC所在的直线方程解：作出草图，如图所示，设A关于直线yx的对称点为A，D关于y轴的对称点为D，则易得A(2，4)，D(1,6)由入射角等于反射角可得AD所在直线经过点B与C.故BC所在的直线方程为，即10x3y80.变式训练 如图，已知A(4,0)、B(0,4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是_答案2解析由题意知点P关于直线AB的对称点为D(4,2)，关于y轴的对称点为C(2,0)，则光线所经过的路程PMN的长为|CD|2.解题要点 对称问题的核心是“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解当堂练习1若三条直线2x3y80，xy1，和xky0相交于一点，则k的值等于_答案 解析 由得交点(1，2)，代入xky0得k2两条直线l1：2xym0与l2：xmy30的交点在y轴上，那么m的值为_答案 ±3解析 2xym0在y轴上的截距为，直线xmy30在y轴上的截距为，由得m±33. P点在直线3xy50上，且P到直线xy10的距离为，则P点坐标为_答案 (1,2)或(2，1)解析 设P(x,53x)，则d，|4x6|2,4x6±2，x1或x2，P(1,2)或(2，1)4已知直线l1：y2x3，直线l2与l1关于直线yx对称，则直线l2的斜率为_答案 解析 因为l1，l2关于直线yx对称，所以l2的方程为x2y3，即yx，即直线l2的斜率k为5与直线l：5x12y60平行且到l的距离为2的直线的方程为_答案5x12y320和5x12y200解析设所求直线的方程为5x12yc0.在直线l：5x12y60上取一点P0(0，)，则点P0到直线l：5x12yc0的距离为d，由题意，得2，解得c32或c20.所以，所求直线的方程为5x12y320和5x12y200.课后作业一、 填空题1点(1，1)到直线xy10的距离是_答案 解析 d.2已知过点A(2，m)和B(m，4)的直线与直线2xy10平行，则两平行线间的距离是_答案 解析 依题意得m8，直线AB方程为：2xy120d3已知直线3x4y30与直线6xmy140平行，则它们之间的距离是_答案2解析，m8，直线6xmy140.可化为3x4y70，两平行线之间的距离d2.4与直线3x4y50关于x轴对称的直线方程为_答案3x4y50解析 与直线3x4y50关于x轴对称的直线方程是3x4(y)50，即3x4y50.5若A(3，4)，B(6,3)两点到直线l：axy10的距离相等，则a等于_答案或解析依题意，解得a或a.6对任意实数a，直线yax3a2所经过的定点是_答案(3,2)解析直线yax3a2变为a(x3)(2y)0.又aR，解得得定点为(3,2)7直线x2y10关于直线yx1对称的直线方程是_答案 2xy20解析 设所求直线上任一点的坐标为(x1，y1)，它关于yx1对称点的坐标为(x0，y0)，则，得对称点的坐标为(y11，x11)，且点(y11，x11)在直线x2y10上，所以y112(x11)10，化简得2x1y120.8曲线1与直线y2xm有两个交点，则m的取值范围是_答案 m>4或m<4解析 曲线1的草图如图所示与直线y2xm有两个交点，令y0，则x，所以<2或>2，所以m>4或m<49直线l1过点(2，0)且倾斜角为30°，直线l2过点(2，0)且与直线l1垂直，则直线l1与直线l2的交点坐标为_答案 (1，)解析 直线l1的方程为y(x2)，由l2l1得直线l2的斜率为，直线l2的方程是y(x2)由得因此直线l1与l2的交点坐标是(1，)10过两直线7x5y240与xy0的交点，且与点P(5,1)的距离为的直线的方程为_答案3xy40解析 设所求的直线方程为7x5y24(xy)0，即(7)x(5)y240.，解得11.故所求直线方程为3xy40.11点P(1,3)到直线l：yk(x2)的距离的最大值等于_答案3解析P(1,3)到直线l：yk(x2)的距离为d3，由于1，所以d3，即距离的最大值等于3.二、解答题12过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2xy80和l2：x3y100截得的线段被点P平分，求直线l的方程解析 设l1与l的交点为A(a,82a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(a,2a6)在l2上，代入l2的方程得a3(2a6)100，解得a4，即点A(4,0)在直线l上，所以由两点式得直线l的方程为x4y40.13已知点P(2，1)(1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程(2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？解析 (1)过点P的直线l与原点的距离为2，而点P的坐标为(2，1)，显然，过P(2，1)且垂直于x轴的直线满足条件，此时l的斜率不存在，其方程为x2.若斜率存在，设l的方程为y1k(x2)，即kxy2k10.由已知得2，解得k.此时l的方程为3x4y100.综上，可得直线l的方程为x2或3x4y100.(2)作图可得过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线，如图由lOP，得klkOP1，所以kl2.由直线方程的点斜式得y12(x2)，即2xy50.所以直线2xy50是过点P且与原点O的距离最大的直线，最大距离为.
