浙江省杭州师范大学附属中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试卷.docx

2022-2023学年浙江省杭州师大附中高二（下）期中数学试卷一、选择题1. “a3+a9=2a6”是“数列an为等差数列”的(    )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件2. 已知抛物线y=14x2，则它的焦点坐标是(    )A. (0,116)B. (116,0)C. (1,0)D. (0,1)3. 两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则，即在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法，如x0limex-1x=x0lim(ex-1)'x'=x0limex1=1，则x1limlnx+x-1x2+x-2=(    )A. 12B. 23C. 1D. 24. 2022年11月30日，神舟十四号字航员陈冬、刘洋、蔡旭哲和神舟十五号宇航员费俊龙、邓清明、张陆顺利“会师太空”，为记录这一历史时刻，他们准备在天河核心舱合影留念.假设6人站成一排，要求神舟十四号三名航天员互不相邻，且神舟十五号三名航天员也互不相邻，则他们的不同站法共有种(    )A. 72B. 144C. 36D. 1085. 设函数f(x)，g(x)在R上的导数存在，且f'(x)>g'(x)，则当x(a,b)时(    )A. f(x)<g(x)B. f(x)>g(x)C. f(x)+g(b)<g(x)+f(b)D. f(x)+g(a)>g(x)+f(a)6. 若7a=5，8b=6，e2c=2+e2，则实数a，b，c的大小关系为(    )A. a>c>bB. c>b>aC. b>c>aD. b>a>c7. 三棱锥P-ABC中，AB=AC=2，平面PBC平面ABC，BPC=2.若三棱锥P-ABC的外接球体积的取值范围是(329 3,323)，则BAC的取值范围是(    )A. (0,3)B. (3,2)C. (2,23)D. (3,23)8. 过抛物线：x2=4y的焦点F作斜率分别为k1，k2的两条不同的直线l1，l2，且k1+k2=2，l1与相交于点A，B，l2与相交于点C，D.分别以AB、CD为直径的圆M、圆N(M,N为圆心)的公共弦记为l，则点M到直线l的距离的最小值为(    )A. 7 520B. 5 720C. 7 522D. 5 7229. 下列命题中正确的是(    )A. 已知一组数据6，6，7，8，10，12，则这组数据的50%分位数是7.5B. 样本相关系数r的绝对值|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强C. 已知随机变量XB(10,12)，则E(X)=52D. 已知经验回归方程y =-2x+3，则y与x具有负线性相关关系10. 如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F，G分别为A1B1，B1C1，B1B的中点，若点P在线段EF上运动，则下列结论正确的为(    )A. AC1与EF为共面直线B. 平面ACD1/平面EFGC. 三棱锥P-AD1C的体积为定值D. AC1与平面A1BC所成角的正切值为 311. 已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交C的右支于点A，B，若F1AF1B=F1B2=35|F1A|F1B|，则(    )A. ABBF1B. C的渐近线方程为y=± 62xC. |AF2|=|BF1|D. AF1F2与BF1F2面积之比为2：112. 已知数列an的前n项和为Sn，且ai=1或ai=2的概率均为12(i=1,2,3,n).设Sn能被3整除的概率为Pn，则(    )A. P2=1B. P3=14C. P11=3411024D. 当n5时，Pn<1313. 已知随机变量XN(2,2)，且P(X>3)=0.3，则P(1<X<2)= _ 14. (1+1x2)(1+x)6展开式中x2的系数为_15. 期中考卷有8道单选题，小明对其中5道题有思路，3道题完全没思路.有思路的题做对的概率是0.9，没思路的题只能猜答案，猜对的概率为0.25，则小明从这8道题中随机抽取1道做对的概率为_ 16. 若函数f'(x)是函数f(x)的导函数，且满足f(0)=1，3f(x)=f'(x)-3，则不等式4f(x)>f'(x)的解集为_ 17. Sn为数列an的前n项和，已知an>0，an2+2an=4Sn+3(I)求an的通项公式；()设bn=1anan+1，求数列bn的前n项和18. 已知函数f(x)=x3-92x2+6x-a(1)若a=0，求y=f(x)在(1,f(1)处的切线方程；(2)若方程f(x)=0有且仅有一个实数根，求实数a的取值范围19. 杭师大附中三重门的樱花是师附校友心中最美的记忆.每年樱花季，在樱花树下流连超10小时的称为“樱花迷”，否则称为“非樱花迷”.从调查结果中随机抽取50人进行分析，得到数据如表所示： 樱花迷非樱花迷合计男2026女14合计50(1)补全2×2列联表，根据小概率值=0.01的独立性检验，能否认为是否为“樱花迷”与性别有关联？(2)现从抽取的“樱花迷”人群中，按性别采用分层抽样的方法抽取6人，然后从这6人中随机抽取2人，记这2人中男“樱花迷”的人数为X，求X的分布列和数学期望附：参考公式：2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d 0.100.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.82820. 如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ACC1A1为矩形，ABAC且AB=AC=2，D为B1C1的中点，AA1=B1C=2 2(1)证明：AC1/平面A1BD；(2)求平面AB1C与平面AA1D的夹角的余弦值21. 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F，C上任意一点M到F的距离最大值和最小值之积为3，离心率为12(1)求C的方程；(2)若过点P(n,0)(n<-2)的直线l交C于A，B两点，且点A关于x轴的对称点落在直线BF上，求n的值及FAB面积的最大值22. 已知函数f(x)=lnx-ax-1(1)讨论函数的单调性；(2)若g(x)=x+eaxf(x)(a>0)有两个不同的零点x1，x2，(0<x1<x2)，不等式x1x22>em恒成立，求实数m的取值范围答案和解析1.【解析】解：如果数列an是等差数列，根据等差中项的扩展可得一定有a3+a9=2a6，反之a3+a9=2a6成立，不一定有数列an是等差数列，所以“a3+a9=2a6”是“数列an为等差数列”的必要不充分条件故选：B2.【解析】解：抛物线y=14x2化为x2=4y，p=2，抛物线x2=4y开口向上，焦点在y轴正半轴，焦点为(0,p2)，即(0,1)故选：D3.【解析】解：x1limlnx+x-1x2+x-2=x1lim(lnx+x-1)'(x2+x-2)'=x1lim1x+12x+1=23故选：B利用洛必达法则直接求解即可本题主要考查极限及其运算，属于基础题4.【解析】解：由题知，不妨先将神舟十四号三名航天员全排为：A33=6，再将神舟十五号三名航天员插入到神舟十四号三名航天员中，因为神舟十四号三名航天员互不相邻，故先将神舟十五号三名航天员中选出两名插到神舟十四号三名航天员中间空出的两个位置上，进行排列：A32=6，最后一位神舟十五号航天员在首和尾中选一个位置站下，共A21=2，故不同站法有：A33×A32×A21=6×6×2=72种故选：A5.【解析】解：对于AB，不妨设f(x)=2x，g(x)=1，则f'(x)=2，g'(x)=0，满足题意，若x=1(a,b)，则f(x)=2>1=g(x)，故A错误(排除)，若x=0(a,b)，则f(x)=0<1=g(x)，故B错误(排除)；对于CD，因为f(x)，g(x)在R上的导函数存在，且f'(x)>g'(x)，令h(x)=f(x)-g(x)，则h'(x)=f'(x)-g'(x)>0，所以h(x)在R上单调递增，因为x(a,b)，即a<x<b，所以h(a)<h(x)<h(b)，由h(x)<h(b)得f(x)-g(x)<f(b)-g(b)，则f(x)+g(b)<g(x)+f(b)，故C正确；由h(a)<h(x)得f(a)-g(a)<f(x)-g(x)，则f(x)+g(a)>g(x)+f(a)，故D正确故选：CD6.【解析】解：由已知可得，a=log75=ln5ln7，b=log86=ln6ln8，由e2c=2+e2可得，2c=ln(e2+2)，所以c=2ln(e2+2)=lne2ln(e2+2)设f(x)=lnxln(x+2),x>1，则f'(x)=(x+2)ln(x+2)-xlnxx(x+2)ln2(x+2),x>1，因为x>1，故x+2>x>1，ln(x+2)>lnx>0，所以(x+2)ln(x+2)-xlnx>0即f'(x)>0，所以f(x)在(1,+)上为增函数，又a=f(5)，b=f(6)，c=f(e2)，又e2>6>5，所以c>b>a故选：B7.【解析】解：取BC的中点M，连接AM，PM， 因为AB=AC=2，则AMBC，平面PBC平面ABC，平面PBC平面ABC=BC，AM平面ABC，所以AM平面PBC，且BPC=2，则M为RtPBC的外接圆的圆心，所以P-ABC的外接球的球心O在直线AM上，连接OC，设BAM=(0,2)，P-ABC的外接球的半径为R，则329 3<43R3<323，解得2 33<R<2，则AM=2cos，CM=BM=2sin，OA=OC=R，OM=|2cos-R|，因为OC2=CM2+OM2，即R2=4sin2+(2cos-R)2，解得R=1cos，可得2 33<1cos<2，即12<cos< 32，注意到(0,2)，则(6,3)，所以BAC=2的取值范围是(3,23)故选：D8.【解析】解：由题意得焦点F(0,1)，设直线l1：y=k1x+1，联立y=k1x+1x2=4y，整理得x2-4k1x-4=0，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1+x2=4k1,y1+y2=k1(x1+x2)+2=4k12+2，由抛物线的定义得|AB|=y1+y2+2=4k12+4，由题知M为A，B的中点，则xM=x1+x22=2k1,yM=y1+y22=2k12+1，M(2k1,2k12+1)，圆M的标准方程为(x-2k1)2+(y-2k12-1)2=(|AB|2)2=(2k12+2)2，即x2+y2-4k1x-2(2k12+1)y-3=0，同理可得圆N的方程为x2+y2-4k2x-2(2k22+1)y-3=0，联立x2+y2-4k1x-2(2k12+1)y-3=0x2+y2-4k2x-2(2k22+1)y-3=0，圆M与圆N的公共弦所在的直线l的方程为(k2-k1)x+(k22-k12)y=0，由题知k2k1，k2+k1=2，则直线l的方程为x+2y=0，点M到直线l的距离为：d=|2k1+2(2k12+1)| 5=4|(k1+14)2+716| 57 520，当k1=-14时，取得最小值，故点M到直线l的距离的最小值为7 520故选：A9.【解析】解：对于A选项，由6×50%=3，所以第3个和第4个数的平均数为7+82=7.5，故A正确；选项B样本相关系数r的意义可知，样本相关系数r的绝对值|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强，故选项B正确对于C选项，由XB(10,12)，则E(X)=np=10×12=5，故C错误；对于D选项，由-2<0，可得y与x具有负线性相关关系，可知D正确故选：ABD10.【解析】解：对于A：连接A1C1，如图所示： E，F分别为A1B1，B1C1的中点，EF/A1C1，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1C1/AC，EF/AC，AC1EF=A，故A错误；对于B：连接BC1，点F，G分别为B1C1，B1B的中点，FG/BC1，由选项A得EF/AC，EF平面EFG，FG平面EFG，EF平面ACD1，FG平面ACD1，EF/平面ACD1，FG/平面ACD1，又EFFG=F，平面ACD1/平面EFG，故B正确；对于C：由选项B得EF/平面ACD1，点P在线段EF上运动，点P到平面ACD1的距离等于点E到平面ACD1的距离，且为定值，又AD1C的面积为定值，则三棱锥P-AD1C的体积为定值，故C正确；对于D：建立以D为原点的空间直角坐标系D-xyz，如图所示： 则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，A1(2,0,2)，C1(0,2,2)，C(0,2,0)，AC1=(-2,2,2)，CA1=(2,-2,2)，BA1=(0,-2,2)，设平面A1BC的一个法向量为n=(x,y,z)，则nCA1=2x-2y+2z=0nBA1=-2y+2z=0，取y=1，则z=1，x=0，平面A1BC的一个法向量为n=(0,1,1)，设AC1与平面A1BC所成角为，sin=|cos<AC1，n>|=|nAC1|n|AC1|=42 3× 2= 63，cos= 1-sin2= 33，tan=sincos= 2，故D错误故选：BC11.【解析】解：由F1AF1B=|F1A|F1B|cosAF1B=35|F1A|F1B|，得cosAF1B=35，又由F1B2=|F1B|2=35|F1A|F1B|，得|F1B|=35|F1A|，不妨设|F1B|=3m,|F1A|=5m，在AF1B中，由余弦定理得|AB|2=|F1B|2+|F1A|2-2|F1B|F1A|cosAF1B=16m2，|AB|=4m，|F1B|+|AB|2=|F1A|2，即ABBF1，故A正确；在RtBF1F2中，由双曲线定义得|BF1|-|BF2|=2a，|BF2|=3m-2a，在AF1F2中，由双曲线定义得|AF1|-|AF2|=2a，|AF2|=5m-2a，|AB|=|AF2|+|BF2|=8m-4a=4m，m=a，|BF1|=3a，|BF2|=3a-2a=a，在RtBF1F2中，|BF1|2+|BF2|2=|F1F2|2，即9a2+a2=4c2，10a2=4(a2+b2)，b2a2=32，即ba= 62，渐近线方程为y=± 62x，故B正确；|AF2|=|AB|-|BF2|=4a-a=3a，|BF1|=3a，则|AF2|=|BF1|，故C正确；SBF1F2=12|BF1|BF2|=32a2,SF1AB=12|AB|BF1|=6a2，SAF1F2=SF1AB-SBF1F2=92a2，AF1F2与BF1F2面积之比为3：1，故D错误，故选：ABC12.【解析】解：由题可知，Sn被3整除的余数有3种情况，分别为0，1，2，Sn能被3整除的概率为Pn，Sn被3整除的余数分别为1，2的概率为1-Pn2，Pn+1=0×Pn+12×1-Pn2+12×1-Pn2=1-Pn2，Pn+1-13=-12(Pn-13)，且P1=0，Pn-13为首项为-13，公比为-12的等比数列，Pn-13=-13(-12)n-1，即Pn=-13(-12)n-1+13，P2=-13×(-12)+13=12，A错误；P3=-13×(-12)2+13=14，B正确；P11=-13×(-12)10+13=3411024，C正确；当n5，且n为偶数时，Pn>13，D错误故选：BC13.【解析】解：P(1<X<2)=P(2<X<3)=0.5-P(X>3)=0.2故答案为：0.214.【解析】解：当(1+1x2)选择1时，(1+x)6展开式选择x2的项为C62x2；当(1+1x2)选择1x2时，(1+x)6展开式选择为C64x4，所以(1+1x2)(1+x)6展开式系数为C62+C64=30；故答案为30 15.【解析】解：设事件A表示“考生答对”，设事件B表示“考生选到有思路的题”，则小胡从这8道题目中随机抽取1道做对的概率为：P(A)=P(B)P(A|B)+P(B-)P(A|B-)=58×0.9+38×0.25=2132故答案为：213216.【解析】解：3f(x)=f'(x)-3，f'(x)=3f(x)+3；可设f(x)=aebx+c，由f(0)=1，a+c=1；又3f(x)=f'(x)-3，3aebx+3c=abebx-3，即(3a-ab)ebx=-3-3c，3a-ab=0-3-3c=0，解得b=3，c=-1，a=2；f(x)=2e3x-1，xR；又4f(x)>f'(x)，8e3x-4>6e3x，即e3x>2，解得x>ln23，所求不等式的解集为(ln23,+)故答案为：(ln23,+)17.【答案】解：(I)an2+2an=4Sn+3，an+12+2an+1=4Sn+1+3，两式相减得：an+12-an2+2an+1-2an=4an+1，整理得：an+12-an2=2(an+1+an)，又an>0，an+1-an=2，又a12+2a1=4a1+3，a1=3或a1=-1(舍)，数列an是以3为首项、2为公差的等差数列，an=3+2(n-1)=2n+1；()由(I)可知an=2n+1，bn=1anan+1=1(2n+1)(2n+3)=12(12n+1-12n+3)，数列bn的前n项和为：12(13-15+15-17+12n+1-12n+3)=12(13-12n+3)=13n2n+3 18.【答案】解：(1)当a=0时，f(x)=x3-92x2+6x，f'(x)=3x2-9x+6，切线的斜率为f'(1)=3×12-9×1+6=0，又f(1)=13-92×12+6×1=52，y=f(x)在(1,f(1)处的切线方程为y-52=0×(x-1)，即y=52(2)若方程f(x)=0有且仅有一个实数根，即x3-92x2+6x-a=0有一根，即h(x)=x3-92x2+6x,g(x)=a两个函数图像只有一个交点，h'(x)=3x2-9x+6，令h'(x)>0，可得3x2-9x+6>0，x>2或x<1，h(x)在(2,+)和(-,1)上单调递增，令h'(x)<0，可得3x2-9x+6<0，1<x<2，h(x)在(1,2)上单调递减，h(x)的极大值为h(1)=52，极小值为h(2)=2，如图所示： 由图可知当a>52或a<2时，h(x)，y=g(x)=a两个函数图像只有一个交点，故方程f(x)=0有且仅有一个实数根，实数a的取值范围为(52,+)(-,2) 19.【答案】解：(1)2×2列联表如下表所示： 樱花迷非樱花迷合计男20626女101424合计3020502=50(20×14-10×6)230×20×24×266.46<6.635，故根据小概率值=0.01的独立性检验，不能认为“樱花迷”与性别有关联(2)由20：10=2：1可得，抽取的6人中男生为4人，女生为2人则X的所有可能取值为0，1，2，又P(X=0)=C22C62=115,P(X=1)=C41C21C62=815,P(X=2)=C42C62=25X的分布列如下表： X012P11581525E(X)=0×115+1×815+2×25=43 20.【答案】解：(1)连接AB1与A1B交于点O，连接OD， 三棱柱ABC-A1B1C1为三棱柱，ABB1A1为平行四边形，点O为AB1的中点，又D为B1C1的中点，则AC1/OD，又OD平面A1BD，AC1平面A1BD，AC1/平面A1BD(2)CAAB，CAAA1，ABAA1=A，CA面ABB1A1，AB1面ABB1A1，CAAB1，AB1= CB12-AC2= (2 2)2-22=2，AB=2,AB1=2,BB1=2 2，AB2+AB12=BB12，即ABAB1，以A为坐标原点，AB，AB1，AC所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， A(0,0,0)，A1(-2,2,0)，B(2,0,0)，B1(0,2,0)，C1(-2,2,2)，D(-1,2,1)，AA1=(-2,2,0),A1D=(1,0,1)，ABAB1，ABAC，AB1AC=A，AB面AB1C，则平面AB1C的一个法向量为n1=(1,0,0)，设平面AA1D的法向量为n2=(x,y,z)，则AA1n2=0A1Dn2=0，即-2x+2y=0x+z=0，令x=1，y=1，z=-1，n2=(1,1,-1)，设平面AB1C与平面AA1D的夹角为，cos=|n1n2|n1|n2|=|1×1+0×1+0×(-1)|1× 1+1+(-1)2=1 3= 33，平面AB1C与平面AA1D的夹角的余弦值是 33 21.【答案】解：(1)由题意可得，M(x0,y0)，F(-c,0)，|MF|= (x0+c)2+y02= (x0+c)2+(1-x02a2)b2= (cax0+a)2=cax0+a，又因为-ax0a，|MF|max=a+c，|MF|min=a-c，由已知可得a2-c2=3，即b2=3，又e=ca=12，所以a=2c，则a2-c2=3c2=3，解得c=1，所以a=2，所以椭圆C的方程为x24+y23=1；(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，又F(-1,0)，因为PFA+PFB=，所以kAF+kBF=0，即x1y2+y2+x2y1+y1=0设直线l：x=my+n(m0)，联立方程x=my+nx24+y23=1，得(3m2+4)y2+6mny+3n2-12=0，=(6mn)2-4(3m2+4)(3n2-12)=48(3m2-n2+4)>0，可得n2<3m2+4，由韦达定理，可得y1+y2=-6mn3m2+4，y1y2=3n2-123m2+4，将x1=my1+n，x2=my2+n代入，可得2my1y2+(n+1)(y1+y2)=0，再将代入，可得6m(n2-4)3m2+4=6mn(n+1)3m2+4，解得n=-4，所以直线l的方程为x=my-4，且由可得，3m2+4>16，即m2>4，由点F(-1,0)到直线l的距离d=3 1+m2，|AB|= 1+m2 (y1+y2)2-4y1y2=12 1+m2 m2-43m2+4，所以SFAB=12|AB|d=12×12 1+m2 m2-43m2+43 1+m2=18 m2-43m2+4，令 m2-4=t,t>0，则SFAB=18t3t2+16=183t+16t182 3×16=3 34，当且仅当3t=16t时，即t2=163=m2-4，m=±2 213等号成立，所以FAB面积S最大值为3 34 22.【答案】解：(1)函数f(x)=lnx-ax-1，定义域为(0,+)，f'(x)=1x-a，当a0时，f'(x)>0恒成立，f(x)在(0,+)上单调递增；当a>0时，f'(x)>0解得0<x<1a，f'(x)<0解得x>1a，f(x)在(0,1a)上单调递增，在(1a,+)上单调递减(2)g(x)=x+eax(lnx-ax-1)有两个不同零点x1，x2(0<x1<x2)，由x+eax(lnx-ax-1)=0，可得xeax+(lnx-ax)-1=elnx-ax+(lnx-ax)-1=0，构造函数u(x)=ex+x-1，u'(x)=ex+1>0，所以u(x)为(-,+)上的增函数，且u(0)=0，即lnx-ax=0有两个不等实根x1，x2(0<x1<x2)，则ax1=lnx1ax2=lnx2，令lnx1lnx2=x1x2=t，(0<t<1)，由x1=tx2，可得lnx1=lnx2+lnt，又lnx1=tlnx2，所以tlnx2=lnx2+lnt，则lnx2=1t-1lnt，lnx1=tt-1lnt，故lnx1+2lnx2=t+2t-1lnt，而x1x22>em两边取对数，可转化为lnx1+2lnx2>m，即t+2t-1lnt>m，设v(x)=x+2x-1lnx(0<x<1)，则m<v(x)在(0,1)上恒成立，v'(x)=1(x-1)2(-3lnx+x2+x-2x)，设(x)=-3lnx+x-2x+1，'(x)=(x-1)(x-2)x2，'(x)>0在(0,1)上恒成立，(x)在(0,1)递增，(1)=0，(x)<0在(0,1)上恒成立，得v'(x)<0在(0,1)上恒成立，则v(x)在(0,1)递减，所以v(x)的最小值接近极限值x1lim (x+2)lnxx-1，设p(x)=(x+2)lnx，则p'(x)=lnx+x+2x，x1lim (x+2)lnxx-1=x1lim p(x)-p(1)x-1=p'(1)=3，所以v(x)的最小值无限接近3，即得m的取值范围为(-,3